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1、 2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第二篇难点七 直线与圆锥曲线的位置关系【难点考法】本难点主要以选择题、填空题或解答题形式，以直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系为载体，考查直线与圆锥曲线间的位置关系、弦长问题、最值问题、定点定值、参数范围问题等，考查运算求解能力及分析问题与解决综合问题的能力，考查“设而不求思想”，考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，是高考中区分度较大的题目，分值为12-16分【热点考向】考向一 直线与圆锥曲线交点问题【解决法宝】1.在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用设而不求法，即常将圆锥曲线与直线联立，消去（或）化为关于（或）的一元二次方程，设出直
2、线与圆锥曲线的交点坐标，则交点的横（纵）坐标即为上述一元二次方程的解，利用根与系数关系，将，表示出来，注意判别式大于零不能丢，然后根据问题，再通过配凑将其化为关于与的式子，将，代入再用有关方法取处理，注意用向量法处理共线问题、垂直问题及平行问题.2. 再处理直线与圆锥曲线位置关系问题时，首先确定直线的斜率，若不能确定，则需要分成直线斜率存在与不存在两种情况讨论，也可以将直线方程设为，避免分类讨论.例1【2017届河南省新乡市高三二模】设椭圆： 的左、右焦点分别为，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且恰好是线段的中点（1）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，
3、是椭圆的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，若直线的斜率分别为，试问： 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【分析】（1）依据题设条件建立方程求解；（2）运用直线与椭圆的位置关系进行分析推证：【解析】（1）由题意知： ， 是线段的中点，设， ，则，因为，所以.由题意知： 外接圆的圆心为斜边的中点，半径等于.因为过三点的圆恰好与直线相切，所以到直线的距离等于半径，即，解得， ， ，所以，椭圆的方程为.（2）设，直线的方程为，由消去得：，所以， ，由三点共线可知： ，即，同理可得： ，所以，因为，所以，故为定值，且定值为考向二 圆锥曲线上点关于直线对称问题
4、【解决法宝】这类问题通常，先设出对称点的坐标，写出过对称点的直线方程，与圆锥曲线方程联立化为一元二次方程，利用根与系数关系和中点公式，求出对称点的中点坐标，利用对称点的中点在直线上，对称点连线与对称轴垂直解题。例2【河北武邑中学2017届高三上学四调，21】(本小题满分12分)已知椭圆的离心率,以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线相切()求椭圆的标准方程；()对于直线和点,是否椭圆上存在不同的两点与关于直线对称,且,若存在实数的值,若不存在,说明理由【分析】()由得，圆的方程为，由圆心到直线的距离等于半径可得，故可得椭圆方程；() 设，直线方程为：，联立方程组结合韦达定理，结合点在直线上，点在
5、直线上得，由得的值为. ()由题意设，直线方程为：.联立消整理可得：，5分由，解得6分，设直线之中点为，则，7分由点在直线上得：，又点在直线上，所以9分又，解得：或11分综合，的值为.12分考向三 参数的取值范围问题【解决法宝】参数范围问题常见解法有两种：（1）不等式法：利用题意结合图形列出所讨论参数满足的不等式（组），通过解不等式（组）解出参数的范围，注意判别式大于0不能遗漏.(2)函数最值法：利用题中条件和相关知识，将所讨论参数表示为某个变量的函数，通过讨论这个函数的值域求出该参数的范围.例3【江西省2017届高三4月新课程教学质量监测】已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2
6、）过点且斜率大于0的直线与椭圆相交于点， ，直线， 与轴相交于， 两点，求的取值范围.【分析】（1）运用椭圆的离心率公式的关系，以及点在椭圆上，列出方程；（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，消去得，由判别式大于零，运用韦达定理，再将表示为关于的函数式，分离常数，进而可得结果.【解析】（1）椭圆的离心率为，所以，过点，则，椭圆的方程为.由，可得， ， ， ，因为， ，所以，因此，即，的取值范围是.考向四 直线与圆锥曲线中的最值问题.最值问题常见解法有两种：（1）几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决，如三角不等式、圆锥曲线的定义等.(2)代数法：利用相关
7、知识和方法结合题中的条件，建立目标函数，利用函数的性质、不等式或导数知识求出这个函数的最值.例4【湖北省六校联合体2017届高三4月联考】如图，已知圆经过椭圆的左右焦点，与椭圆在第一象限的交点为，且， ， 三点共线.（1）求椭圆的方程；（2）设与直线（为原点）平行的直线交椭圆于两点，当的面积取取最大值时，求直线的方程.【分析】（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出 ，再由条件得为圆的直径，且，根据勾股定理求出，根据椭圆的定义和依次求出的值，代入椭圆方程即可；（2） 由（1）求出的坐标，根据向量共线的条件求出直线的斜率，设直线的方程和的坐标，联立直线方程和椭圆方程消去，利用韦达定理和弦长公式求出
8、，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形的面积公式求出，化简后求最值即可.【解析】(1)， ， 三点共线，为圆的直径，且，.由，得， ， ， .，椭圆的方程为. (2)由（1）知，点的坐标为，直线的斜率为，故设直线的方程为，将方程代入消去得： ， 设 ， ， ， 又：=，点到直线的距离， ，当且仅当，即时等号成立，此时直线的方程为.考向五 直线与圆锥曲线位置关系中的弦的问题 【解决法宝】1.对弦长问题，将其化为一元二次方程，运用韦达定理与弦长公式解之；2.弦的中点问题或中点轨迹问题 常用参数法或平方差法处理之。例5【四川省宜宾市2017届高三第二次诊断】在平面直角坐标系中，过椭圆右
9、焦点的直线交椭圆于两点， 为的中点，且直线的斜率为（）求椭圆的方程；（）设另一直线与椭圆交于两点，原点到直线的距离为，求面积的最大值【分析】（）由题意，焦点，所以，再由，得，进而得，即可得到椭圆的标准方程.（）由题意，当直线的斜率不存在时或者斜率为0时，易得；设直线的方程为： ，由题意，原点到直线的距离得到设交点的坐标分别为，联立方程组，得到，再由弦长公式，利用均值不等式，即可求解最值，进而得到面积的最值.【解析】（）由题意，直线与轴交于焦点： ， ，设， ， ，则： ， ，又， ，即椭圆的方程为： 由题意， ，当且仅当，即时等号成立， ； 综上所述，当直线的斜率时，即时， 面积的最大值 考向
10、六 定点与定值问题【解决法宝】.定点与定值问题处理方法有两种：（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个定点（定值）与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）.例6 【河北省唐山市2017届高三年级第二次模拟】已知的顶点，点在轴上移动， ，且的中点在轴上（）求点的轨迹的方程；（）已知过的直线交轨迹于不同两点， ，求证： 与， 两点连线， 的斜率之积为定值【分析】（）利用定义法求动点的轨迹方程；（）设出直线方程，联立直线与抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系和斜率公式进行求解【解析】（）设（），因为在轴上且中点在轴上，所以，由，得，化
11、简得，所以点的轨迹的方程为（）（）直线的斜率显然存在且不为0，设直线的方程为， ， ，由得，所以， ，同理，所以与， 两点连线的斜率之积为定值4【热点集训】1.已知抛物线y=x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）A.3 B.4 C.3 D.4【答案】C2.【河北省衡水中学2017届高三下学期三调】如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于， 两点，点的坐标为，连接， .设， 与轴分别相交于， 两点.如果的斜率与的斜率之积为，则的大小等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 设点坐标为，点的坐标为，因为三点共线，所以，即 ，因为， ， ，所
12、以，所以，所以。3.【2017届河南郑州十一中上学期第3次月考】已知双曲线，则过点M（3，1）的弦的中点轨迹方程 .【答案】4.【山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟】已知是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于， 两点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B5.【江西省南昌市十所省重点中学命制2017届高三第二次模拟】设P为双曲线C： ， 上且在第一象限内的点，F1，F2分别是双曲的左、右焦点，PF2F1F2，x轴上有一点A且APPF1，E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M若，则双曲线的离心率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题设条件知， ，
13、 ， 在RtPF1A中，由射影定理得，所以所以， .所以EF1的直线方程是，当x = c时即， ，又，所以，即，同除以a4得，得或所以6.【河北省石家庄市高三数学一模】已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于, 两点,且,抛物线的准线与轴交于点, 于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，知，直线的方程为设，则， 由，得，即 设直线的方程为，代入抛物线方程消去，得，所以 联立，得或（舍去），所以因为，将的值代入解得，所以直线的方程为，故选A7.【山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为
14、， ， 是椭圆的长轴的两个端点（位于右侧），是椭圆在轴正半轴上的顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同两点和，使得向量与共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）设椭圆的方程为，.依题意得解得， .所以椭圆的方程为.（2）假设存在过点且斜率为的直线适合题意，则因为直线的方程为： ，于是联立方程， .由直线与椭圆交于不同两点和知， ， .令， ， ， ， ，由题知， ， .从而，根据向量与共线，可得， ，这与矛盾.8.【福建省2017届高三4月单科质量检测】已知， 内切于点是两圆公切线上异于的一点，直线切于点， 切于点，且均不与重合，直线相交于点.（1）求的轨迹的方程；（2）若直线与轴不垂直，它与的另一个交点为， 是点关于轴的对称点，求证：直线过定点.【解析】（1）因为内切于于，所以，解得，所以的方程为： ，因为直线分别切于，所以，连结， 在与中，所以，所以，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆（除去长轴端点），所以的轨迹的方程为.，直线的方程，令，得，故直线过定点.10.
