《应用数学 教学课件 ppt 作者 方鸿珠 蔡承文 4-4 简单常微分方程 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用数学 教学课件 ppt 作者 方鸿珠 蔡承文 4-4 简单常微分方程 （27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、微分方程的基本概念,二、可分离变量的微分方程,第4节 简单常微分方程,三、一阶线性微分方程,下一页,上一页,返回,引例 一物体以初速V0垂直上抛，设此物理运动只受重力的影响，试确定该物体运动的速度与时间的函数关系式,一、微分方程的基本概念,设物体速度方程为 V=V(t). 根据导数的力学意义，函数 V=V(t) 应满足关系式,解,观察上例，,是含有未知函数导数的方程,下一页,上一页,返回,定义 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程，,称为微分方程，,未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，,未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.,本书仅讨论常微分方程，并简称为微分方程.,( y
2、 - 2xy) dx + x2 dy = 0；,都是微分方程，,其中最后一个是偏微分方程,下一页,上一页,返回,定义 微分方程中出现的各阶导数的最高阶数称为微分方程的阶如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，,那么这样的解称为微分方程的通解在通解中若使任意常数取某一定值，或利用附加条件确定任意常数应取的值，这样所得的解称为微分方程的特解确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,例1 验证 y = e x + e x 是方程,y + 2y + y
3、 = 4e x,的解.,解 由 y =e x + e x 得，,y = e x + e - x,y = e x + e - x,将 y，y 及 y 代入原方程的左边，有,(e x + e - x) + 2(e x - e - x) + e x +e x =4 e x ,即函数 y = e x +e x 满足原方程，所以,y =e x + e x是方程,y + 2y + y = 4e x的解.,下一页,上一页,返回,得 C =1/3，故所求特解为 y = 1/3x3 .,解 由 y = Cx3 得,y = 3Cx2,将y及y代入原方程的左边，,有 3Cx3 - x3Cx2 = 0，,即函数 y
4、= Cx3 满足原方程.,又因为该函数含有,一个任意常数，所以 y = Cx3 是一阶微分方程,将初始条件 y(1) = 1/3代入通解，,例2 验证,是方程3y- 的通解,并求满足初始条件 y(1) = 1/3 的特解.,的通解.,下一页,上一页,返回,二、可分离变量的微分方程,称为可分离变量的微分方程.,这里 f(x)、g(y)分别是变量 x、y 的已知连续函数，且 g(y) 0,下一页,上一页,返回,求解可分离变量微分方程的一般步骤：,(1) 分离变量,(2) 两边积分,(4) 若方程给出初始条件确定常数C，得到方程的满 足初始条件的特解,下一页,上一页,返回,例3 求方程,解 分离变量
5、，得,两边积分，得,化简得,此外，易看出y = 0 也是方程的解，所以,即C2 为任意常数,故而方程的通解是,下一页,上一页,返回,两边积分得,所以方程的通解为,(C 为任意常数).,分离变量得,对于积分后是对数的情形，按理都需作类似于上述的讨论为了避免不必要的重复，今后对于积分后是对数的情形都作如下简化理 （以例3作示范）,下一页,上一页,返回,例4 求方程 (1-y2)dx + (xy-y)dy =0 满足初始条件 y(0) = - 2 的特解.,解,分离变量，得,两边积分，得,即,所以方程的通解为,（C为任意常数）,将初始条件 y(0) = -2 代入，,得 C = 3.,因此所求特解为
6、,下一页,上一页,返回,例5 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系,解,设降落伞下落速度为 v(t) ，降落伞在空中下落时，同时受到重力p与空气阻力R的作用，重力大小为mg，方向与v 一致；阻力大小为kv（k为比例系数），方向与 v 相反，从而降落伞所受外力为,下一页,上一页,返回,此为一阶可分离变量微分方程，按题意，初始条件为,分离变量，得,两边积分，得,根据牛顿第二定律 F = ma（其中 a 为加速度），函数 v(t) 应满足方程,下一页,上一页,返回,所以方程的通解为,将初始条件 vt=0 = 0 代
7、入通解，,（C为任意常数）,故降落伞下落速度与时间的函数关系为,下一页,上一页,返回,方程,称为一阶线性微分方程，,其中P(x)、Q (x) 都是x的连续函数.,当Q (x) 0时，方程(4-1)称为一阶线性齐次微分方程；当Q (x) 0时，,(4-1),方程（4-1）称为一阶线性非齐次微分方程,三、一阶线性微分方程,都是一阶线性微分方程，其中第二个是齐次的,下一页,上一页,返回,当Q (x) 0时，方程(4-1)是可分离变量的,分离变量，得,两边积分，得,1. 一阶线性齐次微分方程,（4-2）,即得一阶线性齐次微分方程的通解公式：,下一页,上一页,返回,当Q (x) 0时，与齐次的情形相对照
8、，猜想方程（4-1）的解为以下形式,（4-3）,两边求导，得,2. 一阶线性非齐次微分方程,将y及y 代入方程（4-1），得,下一页,上一页,返回,代入(4-3)，即得,一阶线性非齐次微分方程的通解公式：,（4-4）,下一页,上一页,返回,说明：通解公式的不定积分式表示被积函数的一个原函数.,上述讨论中所用的方法，是将常数C变为待定函数C(x)，,再通过确定C(x)而求得方程解的方法，称为常数变易法.,下一页,上一页,返回,解 运用常数变易法求解,将所给的方程改写成：,不难求出齐次方程,设所给非齐次方程的通解为,例6 求方程 xy + y = cosx 满足y( )=1的特解.,下一页,上一页,返回,将 y 及 y 代入该方程，得,因此，原方程的通解为,下一页,上一页,返回,解 运用通解公式求解将所给方程改写成,所以方程的通解为,例7 求方程 的通解.,下一页,上一页,返回,例8 设有一电路如图所示，R是电阻，L是电感，它们都是常数，电源的电动势为,在时刻 t =0 时合上开关S，电路中的电流为i(t)， 根据电学原理，知道,下一页,上一页,返回,解 将方程,下一页,上一页,返回,利用分部积分，不难求得,代入上式，得,下一页,上一页,返回,所以,下一页,上一页,返回,
