《信号与系统 教学课件 ppt 作者 张延华 等第2章-连续时间信号与系统 《信号与系统》第二章-第11讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统 教学课件 ppt 作者 张延华 等第2章-连续时间信号与系统 《信号与系统》第二章-第11讲（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、ThemeGallery PowerTemplate,2-11 LTI微分方程的求解,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,微分方程的时域经典解法,微分方程的时域经典解法,2-11 LTI微分方程的求解,本讲研究具有初始状态的连续时间LTI系统在外部强制输入信号作用下的系统输出（或者响应）问题。这里仅讨论常系数微分方程解法中涉及本课程内容的基本方法。,连续时间LTI系统的动态特性可用阶常系数微分方程来描述，其一般形式为,（2-11-1）,式中 和 分别表示系统的输入和输出信号， 且 和 是与时间无关的实常数。如果式（2-11-1）要与一个真实的物理系统完全对应，还要求满足 。,2-11
2、 LTI微分方程的求解,系统的初始状态（或条件）是式（2-11-1）中隐含的一个约束条件。因为形式上式（2-11-1）除了外部输入信号 作用之外，方程还被来自系统内部的初始状态（一般由系统的过去到初始时刻累积的系统能量确定）产生的内部作用所驱动。从微分方程基础理论可知，要求解阶常系数微分方程（式（2-11-1），必须给定一组初始条件： 。这组初始状态包含输出 及其n-1阶导数在系统的初始时刻 时的信息，也就是说系统的初始状态 必须是已知的，或者是可以求出的。,2-11 LTI微分方程的求解,2-11 LTI微分方程的求解,系统的初始状态要求在 时刻包含两方面的含义：一方面如果需要 获得时刻系统
3、对单位冲激信号 作用下的系统的单位冲激响应 ，积分的下限必须从 时刻开始，以便在整个积分区间完全包含 信号；另一方面，系统在输入信号为零时的响应或输出（称为零输入响应）是由系统的初始状态产生的，而系统的初始状态在输入信号施加于系统之前就已经存在，换句话说，假设输入信号在 时刻施加于系统的输入端，那么系统的初始状态必定定义在 时刻之前，也就是 时刻。解系统的微分方程，就是求出在 的任意时刻，在系统初始状态 和系统输入信号 共同作用下的系统响应（或输出） 。,2-11 LTI微分方程的求解,从常微分方程基础理论可知， 阶常系数微分方程式（2-11-1）的解由齐次解和特解两部分组成。其中齐次解是微分
4、方程的齐次方程的解，记为 ；而特解是微分方程的任意一个解，记为 。一般而言，系统的初始状态决定方程的齐次解，系统的外部输入信号决定方程的特解。应用中齐次解有时也被称为系统的自然（自由）响应，特解则被称为系统的强迫（受迫）响应。因此，微分方程的完全解就是,（2-11-2）,2-11 LTI微分方程的求解,注意，齐次解 满足相应的微分方程的齐次方程，即令式（2-11-1）中 ，可得到,而特解 是任何满足微分方程式（2-11-1）的解，它不取决于系统的初始状态是什么。,2-11 LTI微分方程的求解,讨论了系统的齐次解和特解之后，下面我们还需要引入所谓的零输入响应和零状态响应的概念。在通常情况下，零
5、输入响应和零状态响应分别对应着动态系统微分方程解中的齐次解部分和特解部分。它们的定义是,定义2-11-1 仅由系统的（内部）初始状态产生的LTI系统的响应称为系统的零输入响应，记为 。此时系统的外部输入信号置为零。,定义2-11-2 仅由系统的外部输入信号产生的LTI系统的响应称为系统的零状态响应，记为 。此时系统的（内部）初始状态置为零。,2-11 LTI微分方程的求解,由零输入响应和零状态响应的定义可知，LTI系统的响应包括两个分量：一个分量是由系统的初始状态决定的零输入响应 ，另一个分量是由系统的外部输入信号产生的零状态响应 。因此，对于连续时间LTI系统，式（2-11-1）的解又可以由
6、 给出。,内容安排,2-11-1 齐次解,2-11-2 特解,2-11-3 完全解,2-11-1 齐次解,将微分方程（式（2-11-1）中与输入信号 相关的项全部置为零，即可得到系统微分方程的齐次方程。因此，对于连续时间LTI系统而言， 就是齐次方程,（2-11-4）,的解。,设齐次微分方程的解 。对 求各阶导数，有,2-11-1 齐次解,将上述各项代入式（2-11-4），有,如果假设齐次解 是非平凡解( )，那么由上式可得,（2-11-5）,2-11-1 齐次解,特征多项式可分解为,（2-11-6）,2-11-1 齐次解,1、系统的特征值是单根,（2-11-7）,若设系统的特征值是单根，即,
7、的根满足 。由于微分方程是线性的，这些解（单根）的和仍然是方程的解，对于这些单根，式（2-11-4）的齐次解具有如下形式,（2-11-8）,式中常数 的值与系统的特解有关，因此留待后面确定。,2-11-1 齐次解,建模。该微分方程的特征方程为,例2-11-1 一连续时间LTI系统可以用一个齐次线性微分方程,从上式中解出特征值 ，故其对应的系统齐次解为,2-11-1 齐次解,2、系统的特征值是共轭复数对,（2-11-9）,2-11-1 齐次解,（2-11-9）,对于式（2-11-9），如果继续应用欧拉公式并从系统初始状态中确定 和 常数，能够更进一步简化这个解。其实，由于 是以时间为自变量的实函
8、数，故其最终的表达式中是不可能包含复数成份。而且，由一对复数共轭特征根描述的系统响应是临界或者不稳定的，因此，由欧拉公式就可以在 的最终表达式中将复数化为包含正弦和余弦函数形式。鉴于上述理由，当系统特征方程中存在复数共轭特征根时，齐次解的一种更为简便的形式为,（2-11-10）,2-11-1 齐次解,该齐次方程的特征方程为,例2-11-2 一连续时间LTI系统的齐次微分方程为,上式具有一个复数共轭特征根对： 故其对应的系统齐次解由式（2-11-9）可知为,2-11-1 齐次解,3、系统的特征值是重根,（2-11-11）,当式（2-11-5）给出的系统特征方程的特征根有多重根时，齐次解的形式与单
9、根时略有不同。现设系统存在r个相同的特征值 ，并且其它特征值彼此互不相同，则式（2-11-4）的齐次解具有如下形式,一般而言，对于系统特征方程的特征根中包含的每个重的特征值，在对应的微分方程齐次解中都会产生如下形式的一项：,（2-11-12）,2-11-1 齐次解,（2-11-13）,在具有多重复数特征值的情况下，例如存在r重特征值，则在齐次解的对应项将具有以下形式（类似于存在多重实数特征值的情况）,2-11-1 齐次解,例2-11-3 一连续时间LTI系统的齐次微分方程为,该齐次方程的特征方程为,上式有一个 的单根和一个二重根 ，故其对应的系统齐次解由式（2-11-11）可知为,2-11-1
10、 齐次解,例2-11-4 一连续时间LTI系统的齐次微分方程为,该齐次方程的特征方程为,上式有一个三重根 ，故其对应的系统齐次解由式（2-11-12）可知为,内容安排,2-11-1 齐次解,2-11-2 特解,2-11-3 完全解,2-11-2 特解,如果输入信号与齐次解中某一项具有相同的函数形式时，求特解的步骤将略有不同。这时，需假定一个与齐次解中所有项的函数形式均不同的特解项。具体讲，可将特解乘以最低幂次的t，使其相异于齐次解中所有项的函数形式，然后将假定的特解代入原微分方程以便确定系数。,式（2-11-2）中的 称之为微分方程的特解。它是微分方程系统对给定输入 的任意一个解，因此， 不是
11、唯一的，一般可通过假设输出与输入具有相同的函数形式来求解。,2-11-2 特解,常用输入信号激励下系统微分方程所对应的特解形式见表2-1。,表2-1常用输入信号对应的特解形式,2-11-2 特解,另外，在第8讲中我们曾经指出，松弛系统（Relaxed systems，即初始状态为零的微分方程系统）的响应 是任意输入信号 与系统单位冲激响应 的卷积积分。即,（2-11-14）,这里我们指出，松弛系统的响应 其实就是通过卷积积分给出的特殊形式的一个微分方程系统的特解 。而卷积积分的积分下限必须选择为 ，以便在 时刻的单位冲激函数 能够被包括在积分限内。注意，当 时，系统的单位冲激响应中将包括在原点
12、处的 函数，这一点将在下一个例子中予以说明。,2-11-2 特解,还要强调的是，卷积积分式（2-11-14）所给出的系统特解代表了系统的所谓零状态响应 ，即,（2-11-15）,由于特解 是满足式（2-11-1）的任意解，而不论系统初始状态是什么。但是，根据式（2-11-2）可知，对于任意的 ，在初始时刻都必须满足下列关系：,（2-11-16）,由于系统的初始条件指定在 ，因此对上式需要有进一步的解释。下面通过一个简单的一阶系统说明这个问题。,2-11-2 特解,讨论题2-11-5 考虑微分方程,（2-11-17）,其中系统的输入信号 ，系统初始条件为 。这个系统的解为,注意，在 时刻有 ，而
13、系统初始条件 。显然，在系统的初始时刻 ，当t从 时，从 到 存在一个跳变。系统在 时刻的这种跳变起因于输入信号的微分运算，通常是由输入信号中包含的开关运算或者加窗运算所引起，例如本例中输入信号的微分为： 。 方程中一旦存在 函数，则它能够瞬间改变系统的初始状态。,2-11-2 特解,现在我们可以求出上述微分方程的齐次解和特解。该微分方程的齐次方程为,它的齐次解为 。为了求出一个特解，不妨假设特解的形式为 并将其带入原微分方程式（2-11-17），可以解出 ，因此系统的一个特解就是 。显见，系统的解就是,（2-11-18）,2-11-2 特解,方程解中待定系数 应该如何确定？如果使用系统的初始状态，也就是 时刻的值 ，带入
