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1、第三章 微分中值定理与导数的应用,第一节 微分中值定理,第二节 洛必达法则,第三节 泰勒公式,第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性,第五节 函数的极值与最大值最小值,第六节 函数图形的描绘,第五节 函数的极值与,最大值最小值,一、函数的极值及其求法,二、函数的最大值最小值问题,三、经济应用问题举例,定义,(1),则称 为 的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,极大值点与极小值点统称为极值点 .,一、函数的极值及其求法,注,为极大值点,为极小值点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.,1)函数的极值是函数的局部性质
2、.,例如,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,函数,极小值的情况可类似证明.,定理1（极值的必要条件）,由定义知,若,定理2 (极值的第一充分条件),且在空心邻域,内有导数,(自证),例1 求函数,的极值.,解,函数的定义域,令,得驻点,列表判别：,所以，极大值为,，极小值为,例2 求函数,的极值 .,解,函数的定义域为,令,得,当 时，,列表判别,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,不存在，,定理3 (极值第二充分条件),则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,证 (1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证 .,例3 求函数,的极值 .,解 1)求导数,2) 求
3、驻点.,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,二、最大值与最小值问题,则其最值只能在极值点或,端点处达到.,求函数最值的方法如下:,(1)求 在 内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,注,（1）当f (x)在a,b内只有一个极值可疑点时,若在此点取,极大(或极小)值,则也是最大(或极小)值；,(2) 当f (x)在a,b上单调时,最值必在端点处达到；,(3)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为,最大值点或最小值点.,例4,解,最小值为:,，,例5 某农场需围建一个面积为512平方米的矩形晒谷场,一边 可以利用原来的石条沿,其余三边需砌新的石条沿
4、.问晒谷场的长、宽各为多少时，用料最省？,要求用料最省, 就是要求新砌的石条沿总长度最短.,设宽为x米，,则长为,米.,新砌的石条沿总长度为:,得,所以,即当晒谷场的宽为16米,长为32米时,用料最省.,解,(k为某常数),例6 铁路上AB段的距离为100 km,工厂C 距A处20,ACAB,要在AB线上选定一点D 向工厂修一条公路，,已知铁路与公路每公里货运价之比,为使货物从B 运到工厂C 的,解 设,则,令,得,故 AD =15 km时运费最省 .,总运费,运费最省,问D点应如何取?,km ,为3:5 ,例7 生产某产品的固定成本是1万元,可变成本与日产量(单位: 吨)的立方成正比,已知日
5、产量是20吨时,总成本为1.004万元,日产量为多少时,才能使每吨的平均成本最小.,解,设日产量为 吨，,总成本为：,（万元）,由条件,得,总成本函数为,平均成本函数为,所以，日产量为100吨时，每吨的平均成本最小.,三、经济应用问题举例,某企业生产,件产品的成本函数为：,例8,求:(1)若使平均成本最小,应生产多少件?,(2)以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件?,解,(1)平均成本函数,得,即，若使平均成本最小,应生产1000件.,(2)利润函数,得,即，生产6000件时，利润最大,利润的生产水平? 如果存在, 找出它来.,售出该产品x千件的收入是,例9 设某工厂生产某产品 千件的成本是,解 售出x千件产品的利润为,问是否存在一个取得最大,故在x2 = 3.414千件处达到最大利润,而在x1= 0.586千件处发生局部最大亏损.,内容小结,1.连续函数的极值,(1) 极值可疑点,使导数为0或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,2.连续函数的最值,
