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1、楚雄师范学院本科论文（设计）圆锥曲线的几个最值问题万力（楚雄师范学院数学系2003级2班）指导老师 郎开禄摘要：文1研究了抛物线的十个最值问题(见文1定理1定理10)。在文1的基 础上，文3研究了圆锥曲线的九个最值问题（见文3定理1定理9）。受文1和文3的启发，本文在文1和文3的基础上进一步研究了圆锥曲线的八个最值问题，获得一些结果。关键词：圆锥曲线，最大值，最小值。On the maximum and minimum value of the conic curve Wan LiDepartment ofMathematics,ChuXiongNormalUniversityAbstract
2、:In the article 1 ,the author discussesten problems about maximum and minimum value of parabol (seeTheorem one to ten).In thearticle 3 ,the author discussesnine problems about maximum and minimum value of conic curve(seeTheorem one to nine).Based on these two papers,this thesis discussessome problem
3、s about maximum and minimum value of conic curve and makes some conclusions.Key words:conic curve, minimum value,maximum value.导师评语：湖南师范大学附属中学李迪淼老师在文1 (1.李迪淼.关于抛物线的十个最值问题J.数学通报，2002，(8)：21-22.)中研究了抛物线的最值问题,并获得了十个十分有意义的结果.在文1的基础上,受文1的启发,我系2002级1班陈海平同学的毕业论文 (陈海平.圆锥曲线的最值问题研究 D.楚雄：楚雄师范学院，2006.)进一步研究了双曲线
4、和椭圆的最值问题,获得十个十分有意义的结果.万力同学的毕业论文在此基础上,进一步研究了圆锥曲线的最值问题,获得七个十分有意义的结果(文中的定理2, 定理3, 定理5,定理6,定理9,定理11,定理12).这十七个结果和李迪淼老师研究获得的抛物线最值问题十个结果合在一起共二七个结果,基本上形成了圆锥曲线最值问题的一个较完整的知识块.万力同学的毕业论文选题具有理论与实际意义,通过研究获得了圆锥曲线最值问题七个具有理论与实际意义的结果.该论文计算量较大,技巧性较高,需熟练的综合应用圆锥曲线和数学分析中的相关知识分析研究解决问题,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文规
5、范.该同学在论文撰写过程中,悟性好,钻研性强.圆锥曲线的几个最值问题前言圆锥曲线的最值问题一直是圆锥曲线中的重点学习、研究的问题，并有许多结果在数学通报、数学通讯等刊物上发表。文1研究了抛物线的十个最值问题(见文1定理1定理10)，受文1的启发，在文1的基础上，文2研究了椭圆和双曲线的一些最值问题，获得了九个最值问题（见文2定理1定理9）。受文1和文2的启发，在文1和文2的基础上，本文进一步研究了椭圆、双曲线的一些最值问题，获得了七个结果。1.圆锥曲线的垂直弦三角形面积的最值关于抛物线的垂直弦三角形面积的最值，在文1中有：定理过抛物线的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB，则. AO X B(
6、图1)关于椭圆和双曲线的垂直弦三角形面积的最值，我们有下列结果：定理2 过椭圆的中心O引两条互相垂直的动弦OA和OB，则，。证明：不妨设A，BYBAO X （图2）因OAOB，故，即B=OAOB=故当时，；当或时，。定理3 过双曲线的中心O引两条互相垂直的动弦OA和OB，则。证明：不妨设A，B，（图3）又OAOB，故，即B=OAOB= = = =故当时，2.圆锥曲线的焦点弦三角形面积的最值关于抛物线的焦点弦三角形面积的最值，在文1中有：定理 设AB是抛物线的焦点弦，O为坐标原点，则。（图4）关于椭圆和双曲线的焦点弦三角形面积的最值，我们有下列结果：定理5 设AB是椭圆的焦点弦，O为坐标原点，则
7、.证明：如下图，以为极点建立坐标系，则椭圆方程， A O XB （图5）过A，B两点向X轴作垂线段，令，则= =，即。当且仅当=，即=时取等号，故有.定理6 设AB是双曲线的焦点弦，O为坐标原点，则.证明：如下图，以为极点建立坐标系，则椭圆方程， Y AO XB（图6）过A，B两点向X轴作垂线段，令，则= =令，再令，则，因且，故，即在上为增函数。故于是。3.圆锥曲线的准线与焦点弦的张角的最值关于抛物线的准线与焦点弦的张角的最值，在文1中有：定理 设AB是抛物线的焦点弦，准线与抛物线对称轴的交点M，则。（图7）关于椭圆的准线与焦点弦的张角的最值，在文2中有：定理 设AB是椭圆的右焦点弦，右准线
8、与X轴的交点为M，则。Y A O M XB（图8）关于双曲线的准线与焦点弦的张角的最值，我们获得下列结果：定理9 设AB是双曲线的右焦点弦，右准线与X轴的交点为M，则证明：如下图，过分别作右准线的垂线，垂足分别为. Y O X（图8）由相似关系有：又则=当时，即，于是；当时，即，于；当时，即,于是.4.圆锥曲线定长动弦中点到坐标轴距离的最值关于抛物线定长动弦中点到坐标轴距离的最值，在文1中有：定理 设AB是抛物线的长为的动弦，则（1）当时，AB的中点M到轴的距离的最小值为；（2）当时，AB的中点M到轴的距离的最小值为. Y X （图10）关于抛物线定长动弦中点到坐标轴距离的最值，在本文中有下列
9、结果：定理11 设AB是抛物线的长为的动弦，则AB的中点M到轴的距离的最小值为.（图11）证明：设M，将直线AB的参数方程表示为代入到抛物线方程中，化简并整理得：又A，B即A，B.令， 则由韦达定理和的几何意义及，得故因，故不存在.关于椭圆的定长动弦中点到坐标轴距离的最值，我们有下列结果：定理12 设AB是椭圆的长为的动弦，则（1）当时AB的中点M到轴的距离的最小值为0，最大值为；（2）当时AB的中点M到轴的距离的最小值为0，最大值为证明：设M，将AB的参数方程表示为代入到椭圆方程中，化简并整理得： Y AMB O X（图12）又A，B即A，B.令，则 由韦达定理和的几何意义及，得整理，得，（1）令，则，于是，因，故，于是为上的增函数.故则当时,即为增函数.故,所以，.（2）令，则，于是，因，故，于是为的减函数.故则当时,即为增函数.故，.所以，.参考文献1李迪淼.关于抛物线的十个最值问题J.数学通报，2002，(8)：21-22.2李迪淼.双曲线的几个定值定位问题J.中学教研(数学)，2003，(7)：40-41.3陈海平.圆锥曲线的最值问题研究 D.楚雄：楚雄师范学院，2006.致谢非常感谢我的指导教师郎开禄老师在我写论文的整个过程中给予我的悉心指导,没有他的帮助，论文不会顺利完成。同时感谢大学四年里所有老师对我的帮助。11
