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1、第7章,数字滤波器设计,有了前面阐述的章节作为背景知识，在这一章将展开数字滤波器设计这一主题。我们从滤波器的基本概念出发，简单介绍模拟滤波器的设计方法，把重点放在数字滤波器的几种经典设计方法的讨论。与滤波器的设计相关联，我们还描述在模拟域和数字域进行频率变换，从而将低通原型滤波器变换到另一类型的选频滤波器。实现数字滤波器的网络结构的不同将会影响系统的精度、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要性能，在这一章还将讨论用信号流图描述的几种数字滤波器的结构。,7.1 滤波器的基本概念,在对信号进行分析与处理时，常常会遇到有用信号中叠加了无用噪声的问题，根据信号和噪声的不同特征，消除或减弱噪声，提取有用
2、信号的过程称为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。根据滤波器所处理的信号性质，可将其划分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器处理的是连续时间信号（模拟信号），数字滤波器处理的是离散时间信号。数字滤波器既可以在通用计算机或者数字信号处理器上编程实现，也可以通过设计专门的硬件电路来实现。由于采用数值运算的方法来实现滤波，使得数字滤波器具有精度高、稳定性好、使用灵活、体积小等显著的优点。,7.1.1 选频滤波器的分类,当信号和噪声的频带不同时，可用具有选频特性的经典滤波器，从本质上说，经典滤波器就是改变信号中各频率分量的相对幅度和相位。当噪声与有用信号的频带重叠时，经典滤波器无法在消除噪声的同时保留
3、信号，由此产生了另一类所谓的现代滤波器，即从统计的概念出发，在时域对所要提取的有用信号进行估计，在统计指标最优的前提下，使估计值最优地逼近有用信号。本书主要讨论选频滤波器。,模拟滤波器和数字滤波器都是对信号实现滤波处理的线性时不变系统，下面我们把它们放在一起，比对着讨论它们的选频原理。一个连续时间信号x(t)通过一个单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统后，其输出响应y(t)为,（7.1. 1),将上式两边取傅里叶变换，可得,（7.1. 2),同理，一个输入序列x(n)，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为,（7.1. 3),将上式两边取离散时间傅里叶变换DT
4、FT，可得 式（7.1. 2)和式（7.1. 4)中，X(j)、X(e j)分别为模拟滤波器系统和数字滤波器系统输入信号的频谱函数，Y(j)、Y(e j)分别为模拟滤波器系统和数字滤波器系统输出信号的频谱函数，H(j)、H(e j)分别是模拟滤波器系统和数字滤波器系统的频率响应函数。可以看出，输入信号的频谱通过系统（经过滤波）后，变为它与频率响应函数H(j)或H(e j)的乘积。如果|H(j)|或|H(e j)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(j)或H(e j)，使得滤波后输出信号的频谱
5、函数符合人们的要求，这就是滤波器的滤波原理。,（7.1. 4),线性滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻等几种选频形式。模拟滤波器的理想模式如图7- 1所示，c称截止频率，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在c范围内所有分量全部滤掉。相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在c范围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于c的低频分量。带通滤波器只保留介于低频截止频率c1和高频截止频率c2之间的频率分量。而带阻滤波器只滤掉介于低频截止频率c1和高频截止频率c2之间的频率分量。,图7- 1 理想模拟滤波器的幅频特性,理想数字滤波器的幅频特性如图7- 2所示。
6、其选频特性与理想模拟滤波器相同。所要注意的是，数字系统的单位脉冲响应h(n)为实序列时，其幅频特性|H(e j)|以2为周期，且相对于点为偶对称，|H(e j)|可以通过计算0的H(e j)结果来完全确定。,图7- 2 理想数字滤波器的幅频特性,7.1.2 滤波器技术指标 图7- 1和图7- 2所示的各种理想滤波器，在物理上是无法实现的。实际滤波器的幅频特性有通带、过渡带和阻带三个频带范围。图7- 3所示为低通滤波器的幅频特性，图(a)为模拟滤波器，图(b)为数字滤波器。p与p分别表示模拟滤波器和数字滤波器的通带截止频率；r与r分别表示模拟滤波器和数字滤波器的阻带截止频率。,图7- 3实际低通
7、滤波器的幅频特性 (a)模拟低通 (b)数字低通,在通带内，幅度响应以最大误差1逼近于1，即,（7.1. 5),（7.1. 6),在阻带内，幅频响应以最小误差2而逼近于零，即,（7.1. 7),（7.1. 8),在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）Ap和阻带应达到的最小衰减Ar描述，在归一化的情况下，即对于模拟滤波器|H(j0)|=1，Ap及Ar的定义分别为,（7.1. 9),（7.1. 10）,对于数字滤波器|H(ej0)|=1，Ap及Ar的定义分别为,（7.1. 11）,（7.1. 12）,及都是衰减，其单位为分贝（dB）。例如| H(e j)|=1在=p处满足| H(e j
8、p)|=0.707，则Ap=3dB；在r处满足 | H(e jp)|=0.001，则Ar=60dB。,数字滤波器根据其单位脉冲响应h(n)的时域特性可以分为无限长单位脉冲响应IIR（Infinite Impulse Response）数字滤波器和有限长单位脉冲响应FIR（Finite Impulse Response）数字滤波器。 IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶差分方程为,（7.1. 13）,式（7.1. 13）中的系数k至少有一项不为零。k0说明必须将延时的输出序列反馈回来，也即递归系统必须有反馈环路。相应的IIR滤波器的系统函数为,（7.1. 14）,7.1.3 IIR型滤波
9、器和FIR型滤波器,IIR滤波器的系统函数H(z)在Z平面上不仅有零点，而且有极点。 FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)是有限长的，即0nN-1， 该系统一般采用非递归型的实现结构，但如果系统函数中出现零、 极点相消时, 也可以有递归型的结构（如频率抽样型结构）。FIR滤波器的系统函数为,（7.1. 15）,由式（7.1. 15）可知，H(z)在z平面除了原点不存在极点。 IIR滤波器的设计一般采取间接法和直接法。间接法是先按照设计要求设计一个合适的模拟滤波器，然后转化成满足参数要求的数字滤波器。当前模拟滤波器的设计技术已经非常成熟，有完善的图表和公式，并且设计参数已经表格化了，设计起来既方便
10、又准确。直接法是指在某种最优化设计准则下，借助计算机辅助设计技术，直接设计出所需要的滤波器。本章主要讨论前一种方法,FIR滤波器可以做到严格线性相位，同时FIR滤波器的单位脉冲响应是有限长的，所以它肯定是稳定的。FIR滤波器的设计方法与IIR滤波器有很大差别，具体设计方法有窗函数法，频率抽样法等。,7.2 常用模拟滤波器的设计方法 在上一节提到，可以通过先设计一个满足技术指标的模拟原型滤波器来设计IIR数字滤波器。模拟滤波器的设计技术已经非常成熟，有很多典型模型可以供我们使用，如巴特沃斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、贝塞尔（Bessel）滤波器与椭圆形
11、（Ellipse）滤波器等。 巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者在阻带有波动，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的, 但在通带和阻带内均为等波纹幅频特性。在设计的时候，需要根据具体要求选择相应滤波器。本书仅对巴特沃斯滤波器与切比雪夫滤波器进行介绍。,当给定滤波器的技术指标后，设计任务就是要找到一个符合要求的系统函数。我们假定模拟滤波器的系统函数是Ha (s)，它是s的有理函数; Ha (j)是滤波器的频率响应特性；|Ha (j)|是滤波器的幅度特性。 模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha (j)|
12、2来表示，即,（7.2. 1）,由于滤波器冲激响应ha (t)是实函数，所以Ha (j)满足,（7.2. 2）,7.2.1 由幅度平方函数来确定系统函数,则有,（7.2. 3）,其中Ha (-s)的极点和零点是Ha (s)的极点和零点的负值，因此Ha (s) Ha (-s)的极点和零点成对出现，关于原点对称。,设Ha (s)有一个极点（或零点）位于s=s0处，由于冲激响应ha (t)为实函数，极点（或零点）必以共轭对形式出现，因而s=s0*处也一定有一极点（或零点）。与之相对应，Ha (-s)在s=-s0和-s0*处必有极点（或零点）。就是说，Ha (s)与Ha (-s)的极点、零点分布是成象
13、限对称的。只有稳定的滤波器才存在频率响应，因此Ha (s) Ha (-s)不包含虚轴极点，但可以包含零点，且虚轴上的零点必定是二阶的。图7- 4 是Ha (s)、 Ha (-s)的零极点分布图。,图7- 4 Ha(s)、Ha(-s)的极点、零点分布,一个物理可实现的滤波器必须是稳定的，因此, 其系统函数Ha (s)的极点一定落在s域的左半平面，所以左半平面的极点一定属于Ha (s)，则右半平面的极点必属于Ha (-s)。,零点的分布与滤波器的相位特征有关。如果要求最小的相位延时特性，则Ha (s)应取左半平面零点。如果没有最小相位延时要求，则可将对称零点的任一半（应为共轭对）取为Ha (s)的
14、零点。 最后, 按照Ha (j)与Ha (s)的低频特性或高频特性的对比确定出增益常数。由求出的Ha (s)的零点、极点及增益常数，则可完全确定系统函数Ha (s)。,7.2.2 巴特沃斯低通逼近,1数学模型建立 巴特沃思逼近又称最平幅度逼近。巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义为,（7.2. 4）,式中，N为正整数，表示滤波器的阶数；c是滤波器的截止频率。不同阶数的巴特沃思低通滤波器的幅频特性如图7- 5所示。该特性具有以下特点。 （1）最大平坦性：当=0时，。并且在=0附近幅频特性都平直的，即为“最平幅度逼近”的来由。,（3）通带阻带下降的单调性：幅频特性是单调下降的，相位特性较好。,图7-
15、 5 巴特沃思滤波器的幅频特性与N的关系,（2）3dB不变性：当=c时， |Ha (jc)|=0.707， c为3 dB截止频率。当=c时，不管N为多少，所有的特性曲线都通过3 dB点，或者说衰减为 3 dB。越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄。,要设计一个符合性能指标要求的巴特沃斯滤波器，由式（7.2. 4）可知首先要确定的参数是-3dB截止频率和系统阶数N。 2确定N和c 由设计指标p、Ap、r和Ar，来求得由这些参数所决定的滤波器阶次和截止频率c。将式（7.2. 4）代入Ap和Ar的定义式 （7.1. 9)和（7.1. 10），可以列出两个方程,（7.2. 5）,（7.2. 6）,解此方
16、程组可得滤波器阶数N为,（7.2. 7）,因为是系统的阶数，因此取大于的最小正整数，使得技术指标能满足或超出一些。将代入式（7.2. 5）求得滤波器的截止频率,（7.2. 8）,也可将所求得的滤波器阶数代入式（7.2. 6）求得滤波器的截止频率,（7.2. 9）,若用式（7.2. 8）确定c，阻带指标得到改善；若用式（7.2. 9）确定c，通带指标得到改善，通常取在两者之间。,3确定H (s) 由式（7.2. 3）Ha (s) Ha (-s)与|Ha (j)|2的关系，为求取巴特沃思低通滤波器的系统函数Ha (s)，可令j=s，代入式（7.2. 4），得到,（7.2. 10）,由S2N+(jc)2N=0，对应Ha (s) Ha (-s)的极点分布：,（7.2. 11）,pk即为Ha
