《数字信号处理 教学课件 ppt 作者 杨毅明 2013版 第7章 无限脉冲响应滤波器的设计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理 教学课件 ppt 作者 杨毅明 2013版 第7章 无限脉冲响应滤波器的设计（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、从大的方面来看，设计无限脉冲响应数字滤波器有两种基本方法：一种是间接设计法，另一种是直接设计法。间接设计法的基础是模拟滤波器。 7.1 模拟滤波器的设计 这里的模拟滤波器指调整模拟信号频谱的模拟系统。理想模拟滤波器在通带和阻带交界处的幅度是突,第7章 无限脉冲响应滤波器的设计,图7.1,变的，而实际模拟滤波器在通带和阻带之间的幅度是渐变的。 7.1.1 模拟滤波器的描述方法 模拟滤波器的频率响应是根据非周期函数的傅里叶变换定义式(3.84)得来的。实际模拟滤波器的频率响应 其中h(t)是实际模拟滤波器的单位脉冲响应，是因果的。脉冲响应h(t)的拉普拉斯变换的定义是,(7.1),(7.4),模拟
2、滤波器的幅频特性|H(j)|也有用分贝的衰减函数A()来表示的，即 如果|H(j)|max=1，则衰减函数将变为 幅频特性的平方|H(j)|2叫做幅度平方响应，它也是描述模拟滤波器的有效方法。因为，利用系统频谱H(j)的共轭特点，即,(7.7),(7.8),(7.9),幅度平方响应有这种关系， 这种关系让设计模拟滤波器的事情变为解方程的事情。下面介绍两种常用的模拟滤波器设计。 7.1.2 巴特沃斯滤波器的设计 模拟低通巴特沃斯滤波器的幅度平方响应是 它的幅度随频率的增大而变小。例如H(j)在阶N=1和5时，它们的频率响应曲线为,(7.10),(7.11),为了得到用复频率s表示的系统，让我们将
3、s=j代入幅度平方响应，就可以得到,图7.2,(7.12),巴特沃斯幅度平方响应的分母有2N个根，确定这些根的依据是 利用-1=ej(2k-)来求解方程(7.13)，就能得到这些根 只要你选择s左半平面的极点s1N，用它们组成幅度平方函数中的系统函数H(s)，即,(7.13),(7.14),(7.18),就可以获得稳定的模拟巴特沃斯滤波器。 例题7.1 船舶通信需要一个模拟低通滤波器，其通带截止频率fp=5kHz，通带衰减Ap=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带衰减As=20dB。请设计一个能满足这些技术指标的模拟低通巴特沃斯滤波器。 解 设计滤波器的关键在阶N和3dB截止频率c。下面
4、分四步来设计模拟滤波器。 （1）确定滤波器的阶 根据衰减公式和巴特沃斯的幅度平方函数，得,(7.20),将技术指标分别代入衰减函数，可得阶 实际的阶N是正整数，最好是大于理论值的最小整数。本题取N=3。 （2）确定滤波器的截止频率 根据衰减函数，如果使用通带指标来计算3dB截止频率，则,(7.23),(7.27),（3）确定滤波器的极点 根据极点公式(7.14)和阶N=3，选择位于s平面的左半平面的极点，得系统的极点 （4）确定滤波器的系统函数 根据巴特沃斯滤波器的系统函数式(7.18)，得,(7.30),(7.31),系数的近似取值会改变系统的频率响应，所以，必须检验公式(7.31)的幅频特
5、性。它的幅频特性|H()|如下图的左图所示，右图是H(s)的系数四舍五入为整 数后的幅频特性，例如4.061013变为41013；两者都能满足技术指标。,图7.4,7.1.3 切比雪夫滤波器的设计 切比雪夫滤波器有两种类型： 切比雪夫1型的模拟低通滤波器的幅度平方函数是 式中r是跟通带的波动幅度有关的系数，CN(x)是N阶,图7.5,(7.32),切比雪夫多项式。N阶切比雪夫多项式的定义是 或者是 其中C0(x)=1和C1(x)=x。 确定切比雪夫1型的阶N和波动系数r，可从衰减函数入手。衰减函数是,(7.33),(7.34),(7.35),首先，将通带指标p, Ap带入公式(7.35)，得到
6、 经过化简，得到波动系数 然后，将指标p、s、As和r代入式(7.35)，得到,(7.36),(7.37),(7.38),化简公式(7.38)，就能得到切比雪夫1型的阶 知道阶N和波动系数r，就能设计切比雪夫1型的系统函数H(s)。为了得到H(s)，让我们将s=j代入幅度平方函数式(7.32)，,(7.39),(7.40),它的分母含N阶多项式CN(x)的平方，是2N阶的，应该有2N个根。确定这些根的依据是 从多项式CN(x)中任选一个方程，都可以求解上面的方程。比如选择CN(x)的第一个方程，这时令 并将它代入公式(7.33)的第一个方程，得到,(7.41),(7.42),(7.43),其中
7、双曲正弦函数sh(x)=sinh(x)=(ex-e-x)/2。将公式(7.43)代入方程(7.41)，得到一个二元N次复数方程 对比复数方程(7.44)的实部和虚部，可以得到二元N次方程组 利用双曲余弦函数ch(x)0和sin(/2)=1的特点，求出方程组(7.45)的解,(7.44),(7.45),将这些a和b代回公式(7.42)，并借鉴公式(7.43)，就能得到方程(7.41)的根， 参考公式(7.40)的x=s/(jp)和公式(7.47)，得到切比雪夫1型的幅度平方函数的2N个极点，,(7.46),(7.47),其中k=1N，每个k都包含“”两种情况。 按照公式(7.16)(7.17)的
8、分析，组成稳定系统H(s)的极点应该在复数s坐标平面的左半平面；符合稳定要求的极点是 其中k=1N。这些极点的前后部分是共轭对称的。,(7.48),(7.50),利用这些极点式(7.50)，就可以获得切比雪夫1型的系统函数 你可能会问：这个表达式是怎么来的呢？ 这个表达式是这么来的，运用对比法就可以得到。,(7.51),让我们重写切比雪夫1型的幅度平方函数， 它的分母包含一个N阶切比雪夫多项式CN(s/jp)的平方。这说明其系统函数H(s)是N阶的，H(s)的分母包含CN(s/jp)，它是变量(s/jp)的N阶多项式。多项式CN(s/jp)的最高次幂(s/jp)N=sN/(jp)N的系数是2N
9、-1，这可以利用切比雪夫多项式的定义式(7.34)递推得到。,(7.52),如果提取分母多项式的公因式r2N-1/(jp)N，然后再因式分解这个分母多项式，则切比雪夫1型的系统函数可以写为 切比雪夫1型的系统函数式(7.51)就是这么来的。,(7.53),例题7.2 检测水流速度时，需要一个低通滤波器。滤波器要求通带截止频率fp=3kHz，通带衰减Ap=1dB，阻带截止频率fs=6kHz，阻带衰减As=40dB。请设计一个能满足这些技术指标的模拟切比雪夫1型低通滤波器。 解 设计滤波器的关键是确定阶N和波动系数r。下面分四步完成这个设计。 （1）确定波动系数r 将通带衰减Ap=1dB代入公式(
10、7.37)，得到波动系数,(7.54),（2）确定阶N 将技术指标As、r、fs和fp代入公式(7.39)，得到阶 实际的阶N应该取整数5。 （3）确定系统的极点 将技术指标fp、N、r等代入公式(7.50)，得系统极点,(7.55),(7.56),它的k=15。利用前后极点的共轭对称性简化计算，这5个极点是 （4）写出系统函数 将极点式(7.57)代入切比雪夫1型的系统函数式(7.51)， 得到系统函数,(7.57),若将公式的s换成j=j2f，即可计算其幅频特性|H(f)|，如图7.9所示，,(7.58),图7.9,7.2 间接设计数字滤波器 间接设计数字滤波器的方法是，借助模拟系统函数和
11、数字系统函数的数学关系，也就是s和z之间的对应关系，对模拟滤波器进行数学变换。变换方法有两种。 7.2.1 脉冲响应不变法 它的原理和模拟信号变成数字信号的原理是一样的，将单位脉冲响应当作是模拟信号，这个问题就好理解了。 为了从模拟系统函数Ha(s)获得数字系统函数H(z)，首先将模拟系统函数写成,根据拉普拉斯变换的定义式(7.4)，这个Ha(s)的拉普拉斯逆变换 按照公式(7.80)离散化这个模拟系统ha(t)，可得数字系统,(7.83),(7.84),(7.85),然后求这个离散系统h(n)的z变换，得到数字系统函数 它就是从Ha(s)获得H(z)的脉冲响应不变法。观察公式(7.86)，可
12、得数字系统的极点zi和模拟系统的极点si的对应关系：,(7.86),(7.87),例题7.5 检测地球物理信号时，需要滤掉被测信号中的高频噪声。假设有用信号的频谱成分分布在频率f=0500Hz的范围，请你设计一个4阶的巴特沃斯数字滤波器，让它完成这项任务。 解 截止频率通常是指半功率点截止频率，也就是3dB截止频率。这么理解的话，本题的设计可以分两步完成。 （1）设计模拟系统函数 已知有用信号的截止角频率c=2500弧度/秒，滤波器的阶N=4，根据公式(7.18)计算模拟系统函数Ha(s)的极点，,并写出系统函数Ha(s)的部分分式表达式,(7.99),(7.100),这个模拟滤波器Ha(s)
13、的幅频特性为 自变量是频率f的幅度|Ha(f)|在f=500Hz的地方有-20log10(0.707)3 (dB)的衰减。 （2）设计数字系统函数 运用脉冲响应不变法的转换公式(7.88)时，必须先选择对模拟滤波器的采样频率fs。从上图看，选择采样频率fs=4000Hz，应该不会造成数字滤波器太多的混,图7.13,叠失真。对照模型式(7.100)，将模拟极点sk和采样周期T=1/fs代入公式(7.88)，就可以得到数字滤波器的系统函数 这是两个二阶节的并联结构。其幅频特性如图，它的,(7.102),图7.14,最大值为1，这是变换公式(7.86)乘上T的效果。 按照=T的关系，自然频率f=50
14、0Hz对应数字角频率=0.25，这点的数字频谱有-20log10(0.707)3dB的衰减。 还有，在横坐标=的地方，对应频率f=fs/2=2000Hz，看不出来混叠失真。 脉冲响应不变法的优点是，数字系统的脉冲响应和模拟系统的脉冲响应是线性关系，数字角频率和模拟角频率也是线性关系；缺点是，对模拟滤波器的采样频率必须满足采样定理。,7.2.2 双线性变换法 双线性变换法是利用s平面到z平面的映射关系， 将模拟系统函数Ha(s)转变为数字系统函数H(z)，也就是,(7.104),(7.105),获得双线性变换法的技巧是变量代换。首先令s的角频率 为了获得s与z的直接映射关系，让我们用三角函数转化频率映射公式(7.107)， 然后令s=j和z=ej，并将它们代入上式，就可以得到,(7.107),(7.108),(7.109),虽然公式(7.109)是利用s=j和z=ej得到的，但是，对于s=+j的情况，公式(7.109)仍然是s点对z点的映射。这个结论是这么来的，公式(7.109)的逆变换是 为了方便观察z和s的映射关系，将z=rej和s=+j代入公式(7.110)，得到 上式的、r与呈一对一的关系。这个特点可以防止混叠失真。,
