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1、第7章 有限冲激响应(FIR)数字滤波器设计,IIR DF由于吸收了AF的设计成果，所以可以简便、有效,的完成一些DF的设计。但IIR DF幅度特性的改善一般是,以相位的非线性为代价的。相对IIR系统，FIR系统没有,因果稳定问题，因为任何一个非因果的有限长序列通过,宽， FIR系统可以利用FFT技术。,一定的延时，都可以做成因果系统。因为h(n)是有限时,复习与FIR系统的有关内容,1、系统函数,有N1个零点，在原点处有N1阶极点。,总之，FIR系统具有IIR系统没有的许多特点，现在，,FIR DF得到了越来越广泛的应用。,频响,2、有限序列的DFT,DFT,IDFT,3、频域取样与插值,插
2、值,取样,相位FIR 系统广泛应用在数据通信、图像信号处理等领,域，在实际工程中具有重要意义。但并不是FIR 系统,就具有线性相位，只有满足一定条件的FIR 系统才具,有线性相位。,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,线性相位FIR数字滤波器也称线性相位FIR 系统。线性,7.1.1、FIR 系统的线性相位条件与线性相位特性,h(n) = h(N1 n),5. 3节已经给出了满足 线性相位FIR系统条件：系统,单位脉冲响应h(n)是实序列，并且对(N1)/2有对称条,件，即,位。,由对(N1)/2偶或奇对称，可以得到两种类型的线性相,1、h(n)对(N1)/2偶对称,h(n) = h
3、(N1 n),=H(z1) z(N1),是幅度函数，是实函数，可有正负。,是相位函数，是严格的直线。,() = (N1) /2,波器具有严格的线性相位，群时延为(N1)/2个采样,周期，如图7.1.1所示。,当h(n)为实序列，且满足h(n) = h(N1 n) ， FIR滤,2、h(n)对(N1)/2奇对称,h(n) = h(N1 n),=H(z1) z(N1),是幅度函数，是实函数，可有正负。,其中,=H()e j(),() = (N1) /2+/2,是一条不过原点的直线，在零频处有/2的截距。,相位函数,器是具有线性相位的正交网络。不仅有(N1) /2个采,样周期的延迟，而且还产生90的
4、相移 ，如图7.1.2所,当h(n)为实序列，且有h(n) = h(N1 n) ， FIR滤波,示。,7.1.2、幅度函数特性,FIR DF，即前面所说的四类线性相位FIR系统。,若h(n)是对 (N1)/2偶对称或奇对称的序列，又由N,下面讨论这四类线性相位FIR系统的幅度特性。,为奇数或偶数，可以得到四种幅度类型的线性相位,1、 第一类线性相位滤波器,h(n) = h(N1 n)，N为奇数，如图7.1.3所示例N=7,的情况。,和式内，第 n项与第N1n项相同，系数可以合并，, h(n) = h(N1 n),这样,或取后一半：,m： 1(N1)/2,令：n(N1)/2= m,n： (N+1
5、)/2 N1,再令m = n,因为 cos(n)对=0、偶对称，所以H()对=0、 ,H()=H(2),也是偶对称，于是有,cos (n)如图7.1.4所示,2第二类线性相位滤波器,h(n) = h(N1 n)，N为偶数，,如图7.1.5所示例N=6的情况。,这样,分析：同1，可以两两合并，无单独项。,m： 1N/2,令： n (N1)/2= m 1/2,n： N/2 N1,或取后一半：,因此H()在 = 奇对称，不宜做高通。,cos(n1/2)如图7.1-6所示。,3 第三类线性相位滤波器,h(n) = h(N1 n)，N为奇数，如图7.1.7所示。,例N=7的情况。,中间项,这样, h(n
6、) = h(N1 n),和式内，第n项与第N1 n项相同，系数可以合并，,或取后一半：,m： 1(N1)/2,令：n(N1)/2= m,n： (N+1)/2 N1,再令m=n，则,因为sin(n)在 = 0、处为零，且奇对称；所以H()在,=0、处也奇对称。所以有H()= H(2)。,sin(n)如图7.1.8所示。,h(n) = h(N1 n)，N为偶数，如图7.1.9所示,例,4 第四类线性相位滤波器,N=6的情况。,分析：同3，可以两两合并，无单独项。,这样,或取后一半,m： 1N/2,令： n (N1)/2= m 1/2,n： N/2 N1,sin (n1/2) 在=0时为零，对=处偶
7、对称；,因此H()也在=0时为零，对=处偶对称，,于是有,H()= H(2),sin (n-1/2) 如图7.1-10所示。,们在实际设计使用数字滤波器时，可根据需要选择,了解了FIR线性相位滤波器的部分频率特性，使我,合适的滤波器类型，并在设计时遵循它们的约束条,件。,从以上对FIR系统幅度特性的分析可知，一旦确定了,h(n) 的对称条件以及时宽N的奇、偶条件， 那么线性,相位FIR系统的类型也就随之确定。,因为线性相位滤波器的系统函数有：,7.1.3、线性相位FIR系统的零点特性,除了原点处的极点外，线性相位FIR系统只有零点，因,此有必要讨论其零点特性。,H(z)= z(N1) H(z1
8、),或 H(z)= z(N1) H(z1),H(z)= z(N1) H(z1),零点。,综上所述，共有三种情况的零点。,(1) 单零点,又由于h(n)是实序列，所以如果H(z)有复零点，必为,共轭成对出现，即若 zi 是H(z)的零点，其共轭zi也是,H(z)的零点。,zi=1,对应一阶节结构1 z 1。,或zi= 1，,(2) 双零点,对应二阶节结构,1) 在实轴上,1+a z1 +z2,2)在单位圆上。,(3)、四个一组的复数零点，对应的系统为四阶节结构,a +b z1 +cz2 +b z3 +az4,z1 =z1,1/z1 =1/z1,z2 =1/z2,z2 =1/z2, H (z)=A
9、( 1+2.05 z 1 +z 2 ),例7.1-1 已知某二阶线性相位FIR系统的一个零点,z2 = 0.8，且H(ej)=0.05，求该系统的系统函数，,并画出系统的零极点图。,解,解得A=1，所以,H (z)=1+2.05 z1 +z2,系统的零极点如图7.1.11所示,H(e j)=A(12.05 +1)=0.05,z2 =z2= 0.8,1/z2 =1/z2= 1.25,z3=0.5+j0.5，且H(ej0)=1，求该系统的系统函数，,1/z3=1j，,例7.1.2已知某四阶线性相位FIR系统的一个零点,解 z3=0.5+j0.5，,并画出系统的零极点图。,H (z)=A(13z1
10、+4.5z2 3z3+z4),H(e j0)= A(13+4.53 +1)=1,H (z)=2(1 3 z 1 +4.5 z 2 3 z 3+ z 4),解得A=2，所以,1/z3= 1+j,z3= 0.5j0.5,由这三种零点情况可以做成基本一阶节、二阶节、四,第二类：H()=0，所以H(z)在z= 1有单零点；,第四种：类型H(0)=0，因此H(z)在z=1有单零点；,第三种：H()=H(0)=0，那么H(z)在z=1有单零点。,波器。,从对幅度特性的讨论，我们知道四类FIR线性相位滤,小结：,阶节网络的级联。,7.2 FIR 数字滤波器的窗函数设计,7.2.1、FIR数字滤波器的窗函数设
11、计基本方法,积分的结果一般是非因果无限时宽的IIR系统。,希望得到的是理想滤波器频响为Hd(e j) ，对应的脉冲,n=,1,0,1,要做的是用一个有限时宽的h(n)去逼近hd(n)，从而使,所设计的系统频响H(e j)逼近Hd(ej)。,响应是,其频响特性为,图7.2-1是一个截止频率为c ，时延为 的理想低通,对应的脉冲响应,因果序列。,如图7.2-2所示 hd(n)是以为中心，偶对称无限长非,h(n)。为了保证h(n)的因果性，我们取hd(n)的0N-1一,这是一个物理不可实现的系统。如何用一个有限长因,果序列逼近它？最简单的方法是直接截取它的一段做,段，这可以由乘矩形序列RN(n)实现
12、；为了保证系统的,称中心，则取=(N-1)/2。,线性相位，h(n)要满足偶对称条件， 应该是h(n)的对,所以有：,h (n)= hd(n) RN(n), =(N1)/2,(7.2-1),上式所表示的h (n)与hd(n)关系，是hd(n )乘以矩形截短,函数，可以认为是通过一个矩形 “窗”看到的hd(n ) 。如,果hd(n)乘以不同形式的截短函数， h (n)就是通过不同,形式“窗”看到的hd(n) 。这种用hd(n )乘以不同截短函数,设计FIR滤波器的方法即为窗函数设计法。,在窗函数设计中 h(n)与hd(n)的关系可记为,h(n) =hd(n) w(n),w(n)是窗函数,在FIR
13、数字滤波器窗函数设计中，就是要选择合适的,窗函数w(n)，达到所需要的设计要求。,具有的对称性，经过加窗函数后的h(n)仍应保持，所,以窗函数要满足,对窗函数w(n)也有要求。,因为设计的是线性相位FIR滤波器，所以hd(n)原本所,因为h(n) =hd(n) w(n) H (e j)= Hd(e j) W (e j),由频域卷积定理不难得到经过加窗函数后的系统频响为,从 (7.2-4)式可推知，H (ej)逼近Hd(ej)的程度取决于,窗函数的频率特性。特别的，若W(e j() )= (ej() )，,则H (ej)=Hd(ej) ，即当窗函数频谱为冲激时，无频,谱泄漏，此时H (ej)等于
14、Hd(ej) 。,但是这意味着窗函数w(n)是无限时宽序列，等于没有,加窗。所以只要加了窗函数，总是会有频谱泄漏存在，,只是H (ej)逼近Hd(ej)程度的好坏不同。实际可以做,的是设计频谱能量尽量集中在低频（主瓣）的窗函数。,前人在这方面已经做了不少工作，有不同技术指标的,窗函数可供选用，只要根据具体的技术指标要求，就,可选择不同的窗函数设计。,下面先讨论简单的矩形窗函数。,7.2.2、矩形窗,这里仍以低通为例详细讨论加矩形窗后的H (ej)与理,想频响Hd(ej)的差别，基本结论稍作修改对其它窗,也适用。,矩形窗函数为,仍以低通为例讨论。,显然w (n)= w(N1n),加矩形窗函数后系
15、统的单位脉冲响应为,加了矩形窗后的H (ej)与理想的Hd(e j)相差多少？,1、矩形窗函数的频率特性W(ej),其中,旁瓣峰值衰减13dB ，第一旁瓣比峰值低13dB 。,当N主瓣高度宽度面积不变；主瓣宽度为,=4/N。旁瓣高度宽度面积不变。,当N,WR() (),=(N1)/2,= WR()ej,2、加矩形窗函数后FIR系统的频响H(ej),W(ej)= WR(ej)ej，,理想滤波器的频响为,Hd(e j)= e j c,矩形窗函数的频响为,所以系统的频响H(e j)是二者的卷积，即,是幅度函数的卷积。,(7.2-9),上式中,卷积造成H()的频响起伏如下：,=0,=0,即当c 2/N，H(0)近似等于WR()的全部面积。, =0,若c 2/N,卷积值正好是H(0)的一半，即, =c,整个主瓣在积分区间内，一个大的旁瓣在积分区间外，,此时卷积值最大，响应出现峰值。, =c 2 /N，,整个主瓣在积分区间外，一个大的旁瓣在积分区间内，,此时卷积值最小，响应出现谷值。, =c +2/N,主、旁瓣在通、阻带的面积变化
