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1、第三章一维问题3.1一维定态的一些特例1,一维方势阱问题，Landau 与Pauli的矛盾 无限深方势阱这是本章第一个例题，也是最简单的对一类物理问题的数学近似模型。但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论，甚至导致严重误解：“量子力学的数学是错的”。 研究一维方程，其中位势为(3.1a)于是定义在整个轴上的方程现在分为三个区域：第I区，第II区，第III区。由于I区和III区中（无穷位势问题见讨论i,），为使方程成立，这两个区域中的波函数必须为零 即有边界条件。说明微观粒子即便具有波动性，也难以渗透进非常高的势垒区里。于是坐标波函数求解只须对第II区进行，(3.1b)有时，这里的边界条件
2、被简单地写作 这种用法见泡利物理学讲义第五卷，详见下面讨论v的脚注。但由于对阱外情况未作规定，这种提法是含混的。参见下面有关讨论。显然，在第II区内方程通解为这里出现两个待定系数、和一个待定参数（它的数值将决定阱中粒子的能量）。为了确定它们，利用两个边界条件（加上总几率归一条件，一共也是三个），即由此得，。最后，阱中粒子的能级和波函数分别为(3.2a)(3.2b) 这虽然是一个最简单的例子，鉴于存在不少观点分歧，需要作一些讨论说明：i, 无限深方阱的势函数是对实际物理情况作出的近似的数学模写。因为第一，介质中势能不可能真是无限大；第二，势函数也不可能是严格的阶跃。容易给出能够近似认定某一势函数
3、为无限深方阱的条件。设实际阱壁高为，可将近似认作无限高的条件是：，是问题中涉及的最大能量。同时，设势函数两端显著上升的尺度为，波函数有显著变化的尺度为，可认作阶跃变化的条件为。因此，对很大的高激发态情况，势函数将难以被模型化为无限深方阱。此外，更不应当由这种人为的近似模型导出Hamilton量不厄密等等损及量子力学理论体系的结论。ii,当为奇数时，波函数是对称的当为偶数时，波函数是反对称的（这里已略去无关紧要的波函数整体相因子）。各个能级上波函数的节点（零点，不计两个端点）个数为：基态（）无节点，第一激发态（）有一个节点等等。而且可以看出，阱中各能级的波函数按的奇偶性区分为奇函数和偶函数，也就
4、是说有 (3.3)iii,求解结果表明，若用势阱（或势垒）从空间上限制微观粒子的活动，也即，将它们内禀波动性de Broglie波局域化，则由于波自身干涉结果必定导致波频率的分立化（注意，经典物理学中所有波也均如此），但由de Broglie波的特性，频率分立化就意味着能量量子化。即使对基态，粒子的动能也不为零，说明阱中粒子从不静止。这里，故，代入不确定性关系，给出。由此可知，若将一个粒子禁闭在宽度的局部区域中，相应的动能便有参考基态能级表达式，再次可知1.3的排除粒子静止概念是正确的。另外注意，由于边界条件的存在，总能量（3.2a）虽然也是阱中粒子的动能值，但却不是动能算符的任何本征值。(3
5、.2b)式也不是动能算符的本征函数。其实，阱内任何定态都是各种动量（及动能）本征态的叠加态（见v, ），它们由势阱约束着不色散而成为定态（否则将呈自由波包色散，见3.3）。iv,将波函数用复指数来表示，并近似地配上因子，可得因此若仅就阱内而言，可以形象但却近似地说：阱中粒子波函数是两个反向传播的de Broglie行波叠加而成的驻波，是阱中de Broglie波在边界处多次反射相干叠加的结果，类似于两端固定的一段弦振动。这里强调指出，这两个行波并不严格单色，因为它们仅仅存在于有限区间内。如同光学中有限长度的光波波列不会是严格单色波一样，也见下。v,基态动量波函数问题。上面说过，此问题边界条件有
6、两种不同提法。它们对求解阱内的坐标波函数没甚么影响，由此分歧，Landau 和Pauli给出了不同结果，引发了一些混乱，甚至导致有人对量子力学的严重否定。一方面，Landau等人做法是3，将上面定义在全实轴上的基态波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒子的动量波函数：代入表达式，注意阱外为零，即得阱中粒子动量几率分布 (3.4a)注意，（3.4a）式为连续分布。另一方面，Pauli求解时，直接采用第iii条两个“单色波”中所含的基态的两个“动量”。由此，Pauli认为1、2，（3.4b）（3.4b）式表明阱中的动量谱是两个在全实轴上反向运动的单色de Broglie波叠加而成的驻波。显然
7、，两种结果很不相同。究竟谁正确？或是两者都对？两者都错？实际的文献讨论中，几种观点全有表述。事实上，波函数、动量算符及方程都应当定义在整个轴上，而不只是定义在势阱内，正确边界条件应当是，而不是。 这里问题的关键在于：阱内坐标波函数是定域解，边界条件的选取对求解阱内的坐标波函数没有影响。但是，动量波函数是非定域的，边界条件的选取对求解阱内的动量波函数有影响。就是说，阱内的动量波函数分布不仅取决于阱内坐标波函数的形状，而且还取决于阱外坐标波函数的形状。又可以说，如果对阱外坐标波函数作不同的处理，就可以得到阱内动量分布的不同答案。(3.4b)式正是错误处理阱外坐标波函数的结果：在完全不影响阱内坐标波
8、函数求解的情况下，将含混提法“两端点为零的边界条件”不自觉地再推广为“等间距为零的周期边界条件”，从而求得坐标波函数的周期解这等于将阱内坐标波函数向全实轴作了周期性的延拓。 (3.4b)式正是这个坐标波函数的周期解的动量分布。大家知道，坐标波函数周期解的阱外部分并不符合现在问题，当然它的动量分布也就不符合阱内的现在问题。可以验证（见习题5），仅当向经典趋近，比值很大（或很大）时，正确解（3. 4a）式才逐渐过渡为（3. 4b）式。就是说，（3. 4b）式才逐渐正确起来。由这些分析可知，第iv条中两个指数上的参量并不是严格的物理的动量（特别是当或较小时）。这还可以从下面装置的分析中得到佐证。有一
9、块无穷大并足够厚的平板，取厚度方向为轴，板上沿方向开一条无限长的缝，沿轴的缝宽为。电子束由板的下方入射。分离掉电子在和方向的自由运动，单就电子在方向运动而言，便是一个（沿方向）无限深方阱问题。设在板的上方正轴某处放一接收电子的探测屏，便可以观察狭缝出来的电子在此探测屏上沿方向的偏转，偏转大小与电子在方向动量的大小有关。由此并结合分析（3.4a）式可知，如值较小，必定是一个单缝衍射分布；只当值较大或向宏观过渡时，屏上电子分布才逐渐过渡到两条（沿轴的）细线分布，也即，(3.4b)式逐渐准确起来。其实，无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到位势的突变和无穷高势垒假设。其实，物理学中许多常用的数学和
10、物理概念，如：质点、无头无尾巴的平面波、其小无内的点、其大无外的，等等，都只是一些人为抽象出来的、理想化的、绝对化的概念。虽然用起来时常是简便的，但其实它们在自然界中并不真实存在，有时甚至还会惹出麻烦。 Henri Poincare 说：几何点其实是人的幻想。甚至说：“几何学不是真实的，但是有用的。”5按照他对几何学的深刻认识，我们也可以说： V = 不是真实的，但是有用的。从思想方法来说，全部困惑的根源正在此处：将势垒V = 这件事看成是物理真实的了。对它过度的执着干扰了我们对真实物理世界的认识，并且带来许多不必要的困惑和烦恼。 文小刚也说6： 理论物理中的很多概念并不代表真实。所以，每当遇
11、到由数学简单化、绝对化带来问题的时候，注重物理、返回自然界的物理真实，再行考察。记住这点有时是很重要的。参考文献1 泡利物理学讲义，第5卷：波动力学，第二章，7。 洪铭熙等译，人民教育出版社， 1982年。W. Pauli，Handbuch der Physik, eds. by H. Geigerand K. Scheel, Vol. 24/1, Springer, Berlin, 1933。他于1956-1958年在苏黎世联邦工业大学物理学位课程两次授课中，依然如此讲法。2 L.N.Cooper,物理世界（上、下），杨基方等译，海洋出版社，1984。第184页。3 朗道和栗弗席茨，量子力学
12、（非相对论理论），上册，22， 高等教育出版社，1980年。Fermi,量子力学手稿，罗吉庭译，西安交通大学出版社，1984年，第60-61页。4 国内自1983.6起，见大学物理、光子学报等杂志： 一维无限深势阱内粒子的动量分布，两篇文章， 1994，7； 关于同一问题的不同解法； 编者的话； 谈谈量子力学中的动量算符； 也谈正则动量算符之争； 编者的话； 也谈一维无限深势阱内粒子（基态）的动量概率分布 ，1998，7； 关于量子力学基础的一个质疑，光子学报，1997，9； 也谈量子力学的基础，光子学报，1998，4；。5 Poincare: 科学与假设，叶蕴理译，商务印书馆，1989年，第
13、63、65页。6文小刚，量子多体理论，高教出版社，2005。第19页有限深方势阱这时位势为(3.5a)这里讨论束缚态情况阱中粒子能量。显然，前面无限深阱问题是这里的极限情况。这时方程按势阱分区而分解为三个区域性方程。分别设三个分区波函数为，则三个分区方程为(3.5b)或写成三个分区波函数解分别为由于现在的定态是个束缚定态，粒子在处波函数为零。所以这里已分别略去了和中正指数项，因为它们当时发散。这里波函数解中有一个待定参数（它决定和），和四个待定的系数，和，共五个。另一方面，在处波函数及其一阶导数连续，计有四个方程，再加上一个全轴波函数归一条件，一共也是五个方程，可供决定这五个未知数。由于，在边
14、界上函数和其一阶导数连续，必定也有函数对数的导数连续。如果只对问题的本征值感兴趣，不想求出波函数，就可以使用在边界上波函数对数的导数连续，即 (3.6a)这样做的好处是在边界条件等式中预先消去了待定系数、，从而绕过对它们的计算而直接去决定本征值。于是在处的两组边界条件就成为 (3.6b)也即由此得知：若要等式成立，必须或。先讨论情况，这时。边界条件为令，上面条件成为 (3.7)另一方面，由和的表达式可知 (3.8)联立方程(3.7)和（3.8）即可得出此问题的能谱。一般可用图解法求解，即在平面上，以坐标原点为圆心，半径为做圆周，此圆周与曲线的交点即为所求的值，再由它们中任一个定出相应的能量本征
15、值。由于曲线是多分支曲线（例如，对应，有等无穷多个值），因此交点可能不止一个，也就是能级可能不止一个，具体多少个要看半径大小，也就是大小而定。但无论多小，由于曲线有一个分支经过坐标原点，所以它与圆周至少有一个交点(即一个能级)存在。就是说，无论方势阱多浅多窄，至少有一个形如的束缚定态存在。具体见图三.4.a。再讨论情况。这时，边界条件为(3.9)此条件与相结合，用图解法即可定出相应能谱。由于方程（3.9）各分支曲线都不经过原点，这两个条件方程有无交点要看的数值而定。在第一象限内（，），当时，并且当从趋向时从趋向。因此若要有交点，圆周半径不应小于，也即这就是阱中能够存在形式为解的条件。显然，当，这里的结果将趋向前面无限深方阱的结果。作为习题，读者可自行验证。2,一维势
