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1、8.4 数字系统运算中的有限字长影响,实现数字系统的基本运算是加法、乘法和延时。除了,延时没有实质性运算，不会产生有限字长影响外，对,加法和乘法运算的尾数处理会造成误差，即有限字长,影响。当然运算过程中的有限字长效应与所采用的,数制(定点、浮点)，码制(原码、补码、反码)及尾数,处理方式(舍入、截尾)等诸因素相关。,术要求。,讨论数字系统运算误差，可以得到误差特性与字长或,系统系数的关系，由此可以选择合适的字长及系统系,数，以满足数字系统的运算精度(噪信比)、稳定等技,尾数处理引起零输入极限环,无限精度，系统稳定,对稳定系统，有,8.4.1、IIR系统定点运算的零输入极限环,x(n) = (n
2、) y (n)= h(n),以一阶IIR系统定点舍入处理为例,其系统函数,无限精度运算一阶IIR系统如图所示，,当1 ，无量化误差，系统稳定。,系统差分方程为 y(n)= y(n1) +x(n),在有限精度运算条件下，有量化误差一阶IIR系统如图,量化后输出,Qx 为定点舍入原码，且 Q0=0, y(1)=0,所示,x(0)= 0111 2, = 0100 2,设 = 1/2，,递推差分方程的每步运算结果, (n)= Q (n1) +x(n), (n1), (n),x(n)=(7/8)(n), (0)= Q0 +x(0),=01112=7/8, (1)= Q (n1) +x(1),= Q (0
3、) ,=Q0100201112,=1/2,=Q00111002,=01002, (2) =Q0100201002,=1/4,=Q00100002,=00102, (3) =Q0100200102,=1/8,=Q00010002,=00012,当n3，输出 (n)幅度保持在1/8，再也不衰减了。,幅度为1/8的周期振荡，这就是零输入极限环振荡，如,图8.4-3所示。, (4) =Q0100200012,=1/8,=Q00001002,=00012,同理当系统极点 = 1/2时，输出会在1/8之间，即作,圆上，如图8.4-4所示， 0,由 (4)的运算过程可见，尽管 (n1) =00001002使
4、,00012=1/8与 (n1)相同，使输出不变。就是说当,响，使得乘的作用失效，相当系统的极点移至单位,1时， (n1) (n1) ，但由于Q 的影,数值衰减，但经过舍入的进位处理后Q (n1) =,时，极点移至1。,由此可推出极限环形成条件为,上式表明当极限环形成时，系统的极点等效在单位圆,上。,如图8.4-4所示， 0时，极点移至1；, 0时，极点移至1。,Q (n1) = (n1) (8.4-1),极限环的振荡幅度区间叫“死带”区域，也称“死区”。,每当输入为零，节点变量落入死区时，系统进入极限环,状态，并且一直保持到再有激励加入，使输出脱离死区,为止。,由舍入误差与字长的关系及限环形
5、成条件，可以得到极,限环的死区范围。因为舍入误差的范围在2b/2之间，,所以,Q (n1) (n1) 2b/2,将限环形成条件代入上式，有,(8.4-2),整理得到 (n1)的幅度为,Q (n1) (n1) 2b/2,而Q (n1) (n1) ,Q (n1) (n1) , (n1) (n1) 2b /2,与递推结果一致。,同理可以分析二阶IIR系统的极限环现象。为分析方便，,假设二阶系统函数为,差分方程,将上例中 = 1/2，b=3代入上式，则,y(n)= a1 y(n1) + a2 y(n2) +x(n),=2b=23 =1/8,若a1、a2为实系数，系统的极点为,则系统不稳定。而,若极点的
6、模|z1,2| 1，极点在单位圆内，系统稳定；否,不稳定。,与一阶情况相同，由于舍入的影响，会出现a21时，,系统出现极限环现象。类似的由有限精度二阶系统的差,分方程,推得极限环形成条件：,所以在无限精度下a21 ，系统稳定； a21，系统, (n)= Qa1 (n1) + Qa2 (n2) + x(n),Qa2 (n2) = (n 2) (8.4-3),即在a1、a2为实系数，且系统有对共轭极点时，二阶,极限环形成只与a2有关。同样由舍入误差与字长的关系,及限环形成条件，可以得到极限环的死区范围,两面性，实际应用中恰当利用极限环特性可以构成需要,的序列振荡器。,高阶系统亦也会出现极限环现象，
7、实际情况的极限环特,性也更复杂，就不一一分析讨论了。当然事物总是存在,(8.4-4),8.4.2、IIR系统定点运算的溢出振荡,这一现象。,通常系统在作定点加法运算前，应选择合适的比例因子，,保证相加结果不溢出。若在IIR系统的定点加法运算中,有溢出，在一定条件下会引起振荡，称为溢出振荡。,以图8.4-5所示二阶IIR系统的定点补码运算为例讨论,该系统的差分方程为,y(n)= a1 y(n1) + a2 y(n2) + x(n),系统函数为,(8.4-5),(8.4-6),p21 ，由式(8.4-5)可知p1+p2 = a1，p1p2 = a2，因为,分两种情况讨论参数系统稳定与a1、a2的选
8、取范围的关,1、参数的选取与系统稳定,系统稳定的条件是H(z)的极点在单位圆内，即p11，,系。,p1p2 1 ，所以 a2 1 。,a1、a2为实数，将p1、p2 与a1、a2的关系代入，得,p1、p2为实极点时， (8.4-6)式中的,a1+ a2 1 (8.4-7),(8.4-8),a20时，(8.4-8)式成立； a2 0时，只有,(8.4-9),(8.4-8)式才能成立。同时满足式(8.4-7)、(8.4-9)，得到,p1、p2为实极点时，系统稳定的条件为,上。,a1+ a2 1 ，,a1+ a2 1 ，,(2) p1、p2为共轭极点p1,2=rej ，r 1，则,a2 1，,即a2
9、 1 (8.4-10),(8.4-11),同时满足式(8.4-10)、(8.4-11)，得到p1、p2为共轭极点,时，系统稳定的条件为,这是图8.4-6中竖线阴影区的内部(不包括边界)。,p1p2= r2 = a2 1，,p1、p2为共轭极点时，(8.4-6)式中的,a2 1，,(2, 1),参数只能在a1+ a2 1 ， 即a1+a2 1直线、a2 a1=1,综合p1、p2为实极点和共轭极点两种情况，稳定系统的,直线以及a2 1这三条直线方程所围的三角形之内，,如图8.4-6所示的横线及竖线阴影区。,要讨论的是当输入 x(n) =0以后，a1、a2如何取值才能保,2、系统不溢出的条件,证不溢
10、出。不考虑舍入误差，仍用补码加法器。因为两,个正的定点小数相加，若结果大于1，符号位会由于得,到进位而变成1，这个和数就被认为是负数，反之亦然。,这时加法器的输入输出关系出现非线性，其非线性特性,如图8.4-7所示。,图中v是加法器输入之和，f v是加法器的输出。,由图可见只有当各输入之和v 1时，才是正确的加,法运算；当1v 2时，由于符号的改变，结果出现,错误。,理论上当输入x(n)=0时，二阶系统的输出y(n)为,但采用补码加法器后的实际输出满足图8.4-7的非线性特,性，即,则,y(n)= a1 y(n1) + a2 y(n2),y(n)=f a1 y(n1) + a2 y(n2),显
11、然，a1 y(n1)+a2 y(n2)1 ，不会出现溢出，即对,所有的n ， y(n)1 ， y(n1)1 ， y(n2)1 ，,a1 y(n1)+a2 y(n2) a1 y(n1) +a2 y(n2), a1 +a2 1,得到不产生溢出的条件是,满足(8.4-12)式的是图8.4-6的 a1+a2 =1， a1+ a2 = 1，,a2 a1 =1，a2 a1= 1四条直线所围的正方形。,a1 +a2 1 (8.4-12),(1)输入 x(n) = 0时，输出等幅序列y(n)= y0 0，即,3、输出极限环振荡,k=1,2,3,选为2k是因为图8.4-6中，当两个输入之和为偶数时，,其输入输出
12、的符号相同。所以,y0 = f a1y0 + a2y0 =2k+a1y0 + a2y0,a1+a2 1，故y0=1；顶点A上为a1+a2 = 3 ，故y0=1/2。,由此得到输入为零时，输出为等幅振荡序列，这正是图,8.4-6的左下角的三角区ABC内部区域。因为BC边,由于f 1，故要求y0 0 。在没有溢出时，若k=0，,y0 = (a1 + a2) y0 ，故只要a1+a2=1，不过这条直线不,所以在ABC，1/2y0 1。k2时，a1、a2不可能在稳,定区内。,(2)输入x(n)=0时，输出是周期为2的极限环振荡，即输出,相同的,解出,k=1,2,y(n)=(1)n y0，其中0y0 1
13、。由补码加法器的非线性特,(1)n y0= fa1 (1) n1 y0 + a2(1) n2 y0 ,= f (1)n (a2 a1) y0 ,(1)n y0 = (1)n (a2 a1) y0 +2 k,性,若k=0，则a2 a1 = 1，不在稳定区内，若k=1，上式为,a2 a1 1,图8.4-6中满足这一限制条件的区域是右下角的三角区,CDE内部区域。一条边界为a1a2 =1，则y0 =1 ；顶,点E处，a1a2 = 3，y0 =1/2。所以在CDE内有,1/2 y01。k 2 时，a1、a2不在稳定区内。,由上述讨论可知，采取补码加法器的二阶IIR系统，只,FBCD方形内部(不含边界)
14、，才能保证既稳定又不产生,溢出。这种溢出效应在输出信号中引起很大误差，甚,至会使系统输出在最大幅度之间振荡，而其持续与,否与其后输入的序列无关。,有分母系数满足a1+a2 1， ，即在图8.4-6中的,表示相加结果，这样就能克服溢出振荡。,饱和加法器的输入输出特性如图8.4-8所示，,当加法器的输入之和大于1或小于1时，就分别以1或1,避免这类溢出振荡的有效方法是采用有具饱和加法器。,第一次相加,对一般的不饱和加法器，采用补码运算，在若干输入值,相加时，只要保证最后结果的绝对值小于1，则中间相,加的结果是否溢出不影响最终结果的正确。,例 补码加法,可用二进位制补码表示为,(溢出，出错),3/8= 0. 0112，,3/4= 0. 1102，,1/8= 0. 0012，,1/2= 1. 1002,3/8+ 3/4 = 0. 0112 + 0. 1102,= 1. 0012 = 7/8,将最后结果最高位（进位项）的1舍去，则0.1102=3/4,第二次相加,第三次相加,是正确答案，因此允许中间结果溢出。, 7/8+ 1/8 = 1. 0012 + 0. 0012,= 1. 0102 = 3/4, 3/4 1/2 = 1. 0102 + 1. 1002,= 10. 1102 = 3/4,8.4.3、IIR系统定点舍入运算的误
