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1、3.1.1 回归分析,回归分析的基本思想及其初步应用,1、两个变量的关系,不相关,相关关系,函数关系,线性相关,非线性相关,问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？,相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。,回顾复习,思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？,函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般 的情况,问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？,2、最小二乘估计,最小二乘估计下的线性回归方程：,ybx a,其中,，,ybx
2、 a,最小二乘估计下的线性回归方程：,回归直线必过样本点的中心,3、解线性相关问题的基本步骤:,画散点图,求线性相关方程,预报、决策,例某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(毫克/ 升)与消光系数如下表：,(1)作散点图； (2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程,解：(1)散点图如图,1(2011辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位： 万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：y0.254x0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元 解析：以x1代x
3、，得y0.254(x1)0.321，与y0.254x0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元 答案：0.254,2(2011江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系， 随机抽取5对父子的身高数据如下：,答案：C,1.2 相关系数,复习回顾, 用线性回归方程进行回归分析：,（1）画散点图；,（2）求回归系数 ：,（3）写回归直线方程 ，并用方程进 行预测说明.,任何数据，不管它们的线性相关关系如何，都可以用最小二乘法求出线性回归方程，为使建立的线性回归方程有意义，在利用最小二乘法求线性回归方程之前，先要对变量间的线性相关关系作个判断，通常可以作散点图。但在某些情况下，从散点图中不容
4、易判断变量间的线性关系，另外，如果数据量较大时，画散点图比较麻烦，此时我们有没有其他方法来刻画变量之间的线性相关关系呢？,新课探究,为解决这个问题，我们可通过计算线性相关系数 r，来判断变量间相关程度的大小，计算公式为：,新课探究,的最小值为：,据前面的分析，回归系数 使得误差,由 知 ，即 ，则,新课探究,值越大，误差 越小，则变量的线性相关程度 就越高； 值越接近于0， 越大，线性相关程度就 越低。,当 时， ，两变量的值总体上呈现同 时增加的趋势，则称两变量正相关； 当 时， ，一变量增加，另一变量有 减小的趋势，则称两变量负相关； 当 时，则称两变量线性不相关。,相关系数r的性质,新课
5、探究,相关系数,1.计算公式 2相关系数的性质 (1)|r|1； (2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？,负相关,正相关,思考交流,对于课本P73给出的例题，变量的线性相关系数r 如何求？,我们知道，相关系数的计算公式为：,要求r，只需求出相关的量：,由数据表，经过计算，可知（P77）：,这能说明什么？,这说明肱骨 和股骨 有较强的线性相关程度。,计算下表变量的线性相关系数r。,并观察，通过计算可以发现什么？,由表可知：,你发现什么了？,r=0，则变量间并不存在线性相关关系。即此时 建立线性回归方程是没
6、有意义的。,实际上，从散点图上我们也可以验证这一点：,易看出，几个样本点都落在同一个半圆上，而不 是条状分布，此时建立线性回归方程无任何意义，这 与相关系数r的计算结果相一致。,样本点的分布如何？,许多先进国家对驾驶员的培训，大多采用室内模拟教学和 训练，而后再进行实地训练并考试，这种方法可以大大节 约训练的费用。问题是这种方法有效吗？下表是12名学员 的模拟驾驶成绩x与实际考试成绩y的记录（单位：分）：,试问：两者的相关性如何？请画出散点图，并求出y与x 间的线性相关系数.,动手做一做,解答：可求出r=0.9871，说明实际考试成绩y与模拟驾驶成绩x有较强的线性相关程度.,拓展思考,相关系数
7、r越大，变量间的线性关系就越 强，那么r的值究竟大到什么程度就认为线性 关系较强？,相关系数,正相关；负相关通常， r-1,-0.75负相关很强; r0.75,1正相关很强; r-0.75,-0.3负相关一般; r0.3, 0.75正相关一般; r-0.25, 0.25相关性较弱;,相关关系的测度 （相关系数取值及其意义）,r,小结, 线性相关系数r：,，其中 。,4对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组 数，r是相关系数，且已知： n7，r0.953 3；n15，r0.301 2； n17，r0.499 1；n3，r0.995 0. 则变量y和x线性相关程度最高的两组是 ( )
8、A和 B和 C和 D和 解析：相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性相关程度越高，故选B. 答案：B,5某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位： 百万元)之间有如下的对应关系： ( ),判断x与y之间是否存在线性相关关系,解：画出(x，y)的散点图，如图所示，由图可知x，y呈现线性相关关系,可线性化的回归分析,复习回顾, 线性相关系数r及性质：,，其中 。,1、下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这些数据探讨y与x之间的关系,母亲身高,女儿身高,练习,解：,，,，,，,，,所以：,所以可以认为,与,之间具有较强的线性相关,的,关系线性回归模型y=a+bx中,线性回归方程为
9、,新课讲解,下表按年份给出了19812001年我国出口贸易 量（亿美元）的数据，根据此表你能预测2008年我 国的出口贸易量么？,从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好， 若用直线来预测，误差将会很大。,而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。,分析：,考虑函数 来拟合数据的变化关系，将其转 化成线性函数，两边取对数：,即线性回归方程，记1981年为x=1，1982年为 x=2，变换后的数据如下表：,设 ，则上式变为 ，,对上表数据求线性回归方程得： 即：,由此可得： ，曲线如图：,这样一来，预测2008年的出口贸易量就容易多了。,将下列常见的非线性回归模型转化为线性回归模型。,作变换,得线形
10、函数 。,1.幂函数：,2. 指数曲线：,作变换,得线形函数 。,作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？,思考交流,3. 倒指数曲线：,4. 对数曲线：,作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？,小结, 非线性回归方程：,对某些特殊的非线性关系，可以通过变换，将非 线性回归转化为线性回归，然后用线性回归的方法进 行研究，最后再转换为非线性回归方程。, 常见非线性回归模型：,1.幂函数：,2. 指数曲线：,3. 倒指数曲线：,4. 对数曲线：,例3 (12分)为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下：,(1)作出这些数据的散点图； (2)求y与x之间的回归方程 思路点拨 作出数据
11、的散点图，选择合适的函数模型转化为线性模型,精解详析 (1)散点图如图所示：,(4分),(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数yc1ec2x图像的周围，于是令zln y，则 (6分),由计算器算得z0.69x1.112， 则有ye0.69x1.112. (12分),一点通 非线性回归问题一般不给出经验公式，这时，应先画出已知数据的散点图，把它与所学过的各种函数图像作比较，挑选一种跟这些散点图拟合得最好的函数，采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使问题得以解决,6下列数据x，y符合哪一种函数模型 ( ),解析：选项A中当x8,9,10时，函数值与所给数值偏差较大，不合题意；选项B
12、中当x10时，y2e10，远远大于4.3，不合题意；选项C中的函数在(0，)上为减函数，不合题意故选D. 答案：D,7在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：,试建立y与x之间的回归方程,解：由数值表可作散点图如下,根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，,由置换后的数值表作散点图如下：,由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系列表如下,1判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断 2相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度，明确的给出有无必要建立两变量间的线性回归方程,
