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1、- 1 - 开封二十五中开封二十五中 2020 届高二下期期中考试届高二下期期中考试 数学数学(理理)试题试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分 1已知集合，集合，则（ ）1|xxA1 1 | x xBBA A B C D1|xx10| xx0|xx 2已知复数满足：，其中 是虚数单位，则的共轭复数为（ ）zizi1)2(iz A B C Di 5 3 5 1 i 5 3 5 1 i 3 1 i 3 1 3三内角的对边分别为,则“”是“”的（ ）ABCCBA,cba,ba BA2cos2cos A充分不必要条
2、件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 4如图，四边形是边长为 2 的正方形，曲线段所在的曲线方程为，OABCDE1xy 现向该正方形内抛掷 1 枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ） A B C D 4 2ln23 4 2ln21 4 2ln25 4 2ln21 5若数据x1，x2，x3，xn的平均数为 5，方差s22，则数据 3x11,3x21,3x31，3xn1 的 x 平均数和方差分别为( ) A5,2 B16,2 C16,18 D16,9 6若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( ) - 2 - 7函数（）的图象的大致形状是（ ）|log |
3、 1| 1 )(x x x xf a 10 a 8已知函数（ 2 | , 0 ）图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 ，将函数)sin()(xxf )(xfy 的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ） 3 y)(xfy A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线 12 x对称)0 , 12 ( )0 , 12 ( 12 x 9在中，点是边上任意一点，是线段AD的中点，若存在实数和，使得ABCDBCM ，则（ ）ACABBM A B C2 D 2 1 2 1 2 10在锐角中，则的取值范围是（ ）ABCBA2 AC AB A B C D)3 ,
4、 1()3 , 1 ()3,2()2 , 1 ( 11已知实数满足，则的最大值为（ ）yx, xy xy xy 3 2 ) 1( 3 2 1x y A B C D 5 2 9 2 2 1 13 6 12已知函数，是图象上任意一点，过点作直线和轴的垂线，)0( 4 )(x x xxfP)(xfy Pxy y 垂足分别为，又过点作曲线的切线，交直线和轴于点.给出下列四个结论：BA,P)(xfy xy yHG, 是定值；是定值；（是坐标原点）是定值；是定值.|PBPA PBPA|OHOG OPHPG 其中正确的是（ ） - 3 - A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分
5、，满分 2020 分）分） 13如果的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中的系数是 . n x x) 1 3( 4 1 x 14设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，若，则的值为 .yx4 2 FBA,FBAF 2 3 |AF 15等比数列的首项为 2，数列满足，则 . n a n b 1243 2,4 n b n a aa bb n b 16祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则 积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等 高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大
6、型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双 曲线型冷却塔是曲线与直线，和所围成的平面图形绕轴旋1 2 2 2 2 b y a x )0, 0(ba0x0yby y 转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为 . 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 题，题， ） 1717已知公差不为 0 的等差数列的首项，且成等比数列. n a2 1 a1, 1, 1 421 aaa （1）求数列的通项公式； n a （2）设，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数. 1 1 nn n aa b * Nn n S n bn 19 3 n Sn 1818如图，
7、四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在ABCDACACDDABC 边上.AB （1）求证：平面平面；ACDBCD （2）当时，求二面角的余弦值.2 AD AB BACD - 4 - 1919.某大型手机连锁店为了解销售价格在区间5,35(单位:百元)内的手机的利润情况,从 2015 年度销售的一 批手机中随机抽取 100 部,按其价格分成 6 组,频数分布表如下: (1)试根据上述表格中的数据,完成频率分布直方图; (2)用分层抽样的方法从这 100 部手机中共抽取 20 部,再从抽出的 20 部手机中随机抽取 2 部,用X表示抽取 价格在区间20,35内的手机的数量,求X
8、的分布列及数学期望E(X). 2020已知直线：，：，动点分别在直线，上移动，是 1 lxy 3 3 2 lxy 3 3 BA, 1 l 2 l32|ABM 线段的中点.AB （1）求点的轨迹的方程；ME （2）设 不经过坐标原点且斜率为的直线交轨迹于点，点满足，若点在lOkEQP,ROQOPORR 轨迹上，求四边形的面积.EOPRQ 2121已知 f(x)2xln x，2x-axg xx 23 ）（ (1)如果函数 g(x)的单调递减区间为，求函数 g(x)的解析式； ( 1 3，1) (2)在(1)的条件下，求函数 yg(x)的图象在点 P(1，g(1)处的切线方程； (3)已知不等式 f
9、(x)g(x)2 恒成立，若方程 aeam0 恰有两个不等实根，求 m 的取值范围 2222在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C1，C2的极坐标方程； 价格分组 (单位:百元) 5,10) 10,15 ) 15,20)20,25)25,30)30,35) 频数(部) 52520152510 - 5 - (2)若直线 C3的极坐标方程为 (R R)，设 C2与 C3的交点为 M，N，求C2MN 的面积 4 - 6 - 数学期中试题（理）参考答案 一、选择题 题号 1234567891011
10、12 选项 DBCACDCABDCC 1 【解析】因为，所.故选 D. 1 101Bxx xx x 或0ABx x 2 【解析】. ，所以的共轭复数为.故选 B.(2i)1 iz 1 i(1 i)(2i) 2i5 z 13 i 55 z 13 i 55 3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得 22 cos2cos212sin12sinABAB .故选 C. 22 sinsinsinsinABABab 4.【解析】根据条件可知，阴影部分的面积为 1 2 2 E ， 2 2 1 1 2 2 111 2d2ln2 2ln2ln32ln2 22 xxx x ， 所以，豆子落在阴影部分的概率为.故选
11、A. 4 2ln23 5.x1，x2，x3，xn的平均数为 5， 5， x1x2x3xn n 135116， 3x13x23x33xn n x1，x2，x3，xn的方差为 2， 3x11,3x21,3x31，3xn1的方差是32218. 故选 C. 6.D 7.【解析】 故选 C. log1 1 ( )loglog10 1 log0. a aa a xx x f xxxx x xx ， ， ， 8.【解析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为可知其周期为，所以，( )yf x 2 2 2 所以.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数( )sin 2f xx( )yf x 3 图象.因为得到的图
12、象关于轴对称，所以，即 sin 2 3 yx y 2 32 kzk ，. 6 kzk - 7 - 又，所以，所以，其图象关于点对称. 故选A. 2 6 ( )sin 2 6 f xx 0 12 ， 9. 【解析】因为点在边上，所以存在，使得.DBCRtBDtBCt ACAB 因为是线段的中点，所以MAD 1111 1 2222 BMBABDABtACtABtABtAC 又，所以，BMABAC 1 1 2 t 1 2 t 所以. 故选B. 1 2 10.【解析】 . sinB )3sin( sin sinB B C AC AB 2 sin3 3-4sin sinB B B 因为是锐角三角形，所以
13、ABC 0 2 02 2 02 2 B B BB ， ， ， 得.所以 64 B 2 11 sin() 42 B，.故 2 34sin(1 2) AC AB B， 选D. 11. 【解析】 作可行域，如图阴影部分所示. 表示可行域内的点与点连线的斜率. 易知 1 y x x y，1 0 ，1 1 4 2 A ， ，. 1 1 2 3 B ， 93 4 2 C ， 当直线与曲线相切时，切点为，所以切点位于点、之间. 1yk xyx 1 2 k 1 1，AC 因此根据图形可知，的最大值为.故选C. 1 y x 1 2 12 【解析】 设，则 4 P mm m ， ，为定值，所以正确； 4 | | | 2 2 2 mm m PAPBm - 8 - 因为四边形四点共圆，所以，又由知， OAPB 0 135APB22| PBPA 所以，为定值，故正确；2) 2 2 (22PBPA 因为，所以过点的曲线的切线方程为 2 4 ( )
