《信号与系统 教学课件 ppt 作者 郭银景 08第八章：系统的状态变量分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统 教学课件 ppt 作者 郭银景 08第八章：系统的状态变量分析（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第八章 系统的状态变量分析,目录, 8.1 状态变量和状态方程 8.2 状态方程的建立 8.3 连续系统状态方程的解 8.4 离散系统状态方程的解 8.5 系统的可控制性和可观测性,8.1 状态参量和状态方程,状态变量 : 用来描述网络中一状态随时间变化的变量 称之为状态变量。,状态方程 ：描述了系统状态变量的一阶导数与状态变量和激励关系的一阶微分方程，称为状态方程。,输出方程 ：由状态变量和激励来表示各个输出的方程组，它是代数方程。,动态方程 ：状态方程和输出方程的总称称为动态方程或系统方程。,几个名词定义,一 、状态参量分析法 例题 ：,解： 列微分方程（输入输出描述法）：,求所示电路的
2、状态方程和输出方程。,其中,写为矩阵形式： 只要知道 的初始状态及输 入 即可确定电路的全部行为。 输出方程 此方法称为状态变量或状态空间分析法；,二动态方程的一般形式 由于在连续时间系统中，状态变量是连续时间函数,因此， 对于线性的因果系统,在任意瞬时,状态变量的一阶导数是状态变量和输入的函数,有 多输入-多输出连续系统,上式可简记为,(状态方程),同样,对于输出有,(输出方程),8.2 状态方程的建立,一.电路状态方程的列写,（1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量； （2）对每一个独立电容，写出独立结点电流方程；对每 一个独立电感，写出独立回路电压方程； （3）按上述步骤所列的方
3、程中，若含有除激励以外的非状态变量，则应利用适当的结点电流方程或回路电压方程将它们消去，然后整理成标准形式。,例题,写出所示电路的状态方程，若以电流 和电压 为输出，列出输出方程。,整理得到状态方程,则写成矩阵形式的输出方程为,二. 连续系统状态方程的建立 一般而言，如有n阶微分方程,则其系统函数可写为,则其状态方程和输出方程为（标准形式）,其中各矢量为,选各积分器的输出端信号为状态变量，则其输入端信号就是相应状态变量的一阶导数，如图中所示。可列出状态方程和输出方程为（矩阵形式）,例题 2. 一LTI连续系统，描述它的微分方程为,列出它的状态方程和输出方程。 解：按式写出其系统函数,按系统函数
4、可画出其框图和信号流图,其状态方程同例1，其输出方程为,如果有p个输入，q个输出的n阶离散系统，其状态方程的一般形式是,输出方程为,列写离散系统状态方程的方法与连续系统类似，也可利用框图或信号流图列出。由于离散系统状态方程是 那么其输入端信号就是 ，这样，就可根据系统信号流图或框图列出该系统的状态方程和输出方程。,8.3 连续系统状态方程的解,一状态方程的时域解 在常系数线性矢量微分方程 两边左乘 ，移项有,状态方程的求解有时域法和变换法,对上式两边左乘 ，并考虑到 ，可得状态方程的解：,则得到输出矢量，设 （状态转移矩阵）,若用 表示输出矢量的零状态响应，则有,现在定义一个 的对角矩阵,则,
5、例题 ： 一个二阶系统，其状态方程为,当,时,当,时,求该系统的状态转移矩阵,二、状态方程的变换解,状态矢量x（t）的拉普拉斯变换为,上式是状态矢量 的拉普拉斯变换。由式可见， 其第一项的逆变换将是状态矢量的零输入解，第二 项的逆变换是状态矢量的零状态解。,连续系统稳定性的判断,转移函数分母的特征多项式,此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况，当根落在s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。,这需要解方程, 8.4 离散系统状态方程的解,状态方程的求解有时域法和变换法,一状态方程的时域解,求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。但用递推法一般难以得到闭合形式的解，所以，一般而言可用迭
6、代法解状态方程式。,例题 某离散系统的状态方程为,设初始状态和输入为,求方程的解。,解：若已知 时的状态 和 时的输入 ， 则将它们代入式 并逐次迭代，得,如果 ,则,第一项是输入 的解,即零输入解,第二项是 初始状态 的解,即零状态解。,将上式代入,得到系统的输出,式中第一项是零输入响应，第二项是零状态响应。 可见，如果已知 时的初始状态 和 的输入 ，就能完全地确定 的任意时刻的状态和输出。,二、 状态方程的变换解,设状态矢量 的分量 的变换为 ， 即,则,简记作,同样,对标准式取 变换,得,(1)式可写为,得,上式第一项是状态矢量零输入解的象函数,第二项是 零状态解的象函数。,再求得状态
7、转移矩阵,为了方便,定义,则，(1)式可写为,同样(2)式可写为,上式第一项是零输入响应象函数矩阵,第二项是零状态响应象函数矩阵。,离散系统稳定性的判断,对于离散系统要求系统稳定，则要求A矩阵的特征值,即系统的特征根位于单位圆内，和连续系统相似，A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根位置相同，所以他们的判定准则也相同。, 8.5 系统的可控制性和可观测性,则求导得,方程代入，可得用状态矢量 描述的状态方程为,在新的状态变量下， 其系数矩阵 分别为,二、 系统的可控制性,对于一个复杂的系统，特别是多输入多输出系统，利用状态变量法分析系统时，用状态方程和输出方程描述系统，这就揭示了系统状态
8、的变化情况。状态方程描述了输入作用引起系统状态变化的情况 ，这就存在一个问题，输入对系统的全部状态是否都能控制，即系统能否在输入的作用下从某一状态转移到另一指定状态，这就是可控制性问题。,可控性：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。,如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可控制。,1.根据状态方程的参数矩阵判别,设系统的状态方程,即:当,为对角阵形式时,中的0元素对应不可控因素。,对于单一输出系统，当状态方程中的系统矩阵为对角阵时，仅当输出矩阵没有零
9、元素时，系统才是可观测的。当系统矩阵不是对角阵时，可通过摸态矩阵化为对角矩阵，这时输出矩阵化为。因此可得，对于单一输出系统，如果系统矩阵的特征值都互不相同，则系统可观测性的充要条件是，矩阵中没有零元素。,1.根据状态方程的参数矩阵判别,设系统的状态方程,四可控、可观性与系统转移函数,系统的转移函数,本例,则,转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观部分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运动规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不可观部分，而留下的是可控或可观部分）,解得,可以证明，一个线性系统如果其系统函数（转移函数）没有极点、零点互消现象，那么系统是既可控制又可观测的；如果有极点、零点互消现象，那么它将是不可控制的或是不可观测的，视状态变量的选择而定。,
