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1、第四章 正弦交流电路,4.1 正弦交流电的基本概念 4.2利用相量表示正弦交流电 4.3正弦交流电路的相量分析 4.4正弦稳态电路中的功率 4.5正弦交流电路中的谐振,4.1正弦交流电的基本概念,正弦量 正弦量的三要素,返回,一、正弦量: 大小和方向随时间按正弦规律变化 的电压、电流和电动势统称为正弦量。,正弦信号的和、差、微积分等运算结果仍是同频率的正弦信号。,当正弦信号作为电路的信号源时，电路中产生的响应仍是同频率的正弦信号。,i=Isin(t+ ),其波形如图,t,i,T,从表达式可以看出,当Im、确定后,正弦量就被唯一地确定了,所以这三个量统称为正弦量的三要素。,正弦电流 i 用三角函
2、数表示为,O,二、正弦量的三要素,1.周期T、频率f 和角频率 2.最大值和有效值,3. 相位、初相、相位差,周期T : 正弦量变化一次所需要的时 间称为周期。单位是秒 (s)。 频率f : 1s正弦量变化的次数称为频率。 单位是赫兹(Hz)。 显然 f =1/T 或 T =1/f,1.周期、频率f 和角频率,角频率 :,单位时间里正弦量变化的角度称为 角频率。单位是弧度/秒（rad/s）。 =2/T=2f,周期，频率，角频率从不同角度描述了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中之一便可以求出另外两个。,2最大值和有效值,正弦量某一瞬间的值称为瞬时值，瞬 时值中最大的称为最大值。Im、Um、 Em
3、分别表示电流、电压和电动势的 最大值。,表示交流电的大小常用有效值的概念。,把两个等值电阻分别通一交流电流i 和直流电流。如果在相同的时间内所产生的热量相等，那么我们把这个直流电流定义为交流电流的有效值。,所以交流电的有效值是瞬时值的方均根。,即,将电流的三角式带入上式中有:,同理:,3.相位、初相、相位差,相位：我们把 t+ 称为相位。 初相：t0时的相位称为初相。 相位差：任意两个同频率的正弦 量的相位之差。用 表示。,例1、,两者的相位差为:,0 电压超前电流角 (或电流滞后电压 角) =0 电压与电流同相位 0 电流超前电压角 = 电流与电压反相,若:,u、i,t,O,解： =314r
4、ad/s，=2f f = /2=50Hz，T=1/f = 0.02s,i= 30， u= 45 = u i=75,例2、已知：i =10sin(314t+30) A， ，试指出它们的角频率、周期、幅值、有效值和初相，相位差，并画出波形图。,t,30,u、i,10A,如图所示：,45,u 滞后 i 75, i 超前 u 75。,O,4.2利用相量表示正弦交流电,相量图表示法 正弦信号可用一旋转矢量来表示， 令 矢量长度Im 矢量初始角 矢量旋转速度,如图：,O,O,该矢量某一时刻在纵轴上的投影刚好等于正弦量的瞬时值。,一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时，它们同以速度旋 转相对位置保持
5、不变。因此 ，在同 一相量图中，以t0时刻的相量表示 正弦量。,相量的写法为大写字母的上方加一 个“.”。,例、用相量图来表示下列正弦量。,解：,120,120,u1 =Um sint V,120,u2 =Um sin（t 120）V,u3 =Um sin（t 240）V,注 意 只有正弦量才能用相量表示； 几个同频率正弦量可以画在同一相量图上； 任意两个同频率正弦量的和或差可用平行四边形法则求。,一、相量表示法（复数表示）,我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正 弦量可以用复数表示。,1. 复数表示法：,A=a+jb 代数式 A=r(cos +jsin)三角式,A
6、=r e j 指数式 A=r 极坐标式,O,4.3正弦交流电路的相量分析,其中, =arctan(b/a),a=r cos,b=r sin,2. 有关复数的计算,加减运算用代数式, 实部与实部, 虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，辐角相加或相减。,3、 正弦量的相量表示,一个复数的辐角等于正弦量的初相角， 复数的模等于正弦量的最大值或有效值，该复数称为正弦量的相量。,R = a+jb 是t = 0 固定相量的复数形式。,例、写出下列正弦量的相量， 并求 出：i = i1+i2 ,画出相量图。,解：,İ1= 2060A,İ2=10-30A,İ = İ1+ İ2
7、=(2060+10 30)A =20(cos60 +jsin60 )+ 10cos(30)+jsin (30)A,=22.3633.4A,=（18.66+j12.39）A,=（10+j17.39+8.66j5）A,相量图为:,设,二、电阻电路,u,1. 电压与电流关系,i,为了比较各个正弦量之间的相位关系，先规定一个初相角为零的参考正弦量。,u、i 满足欧姆定律,Im、Um（U、I）同样满足欧姆定律：,复数形式,复数形式欧姆定律,可见：电压与电流同相位,i,u,相量图,t,O,可见:P0 电阻是一个耗能元件。,2功率关系,瞬时功率,p= ui =UmImsin2t =UI(1-cos2t),(
8、2)平均功率 = UI = I2R = U2/R,UI,O,O,三、电感电路,u,i,1.电压与电流关系,设 i =Imsint u = L di/dt = LImcost =Umsin(t+90) Um= LIm,感抗 U=XLI,XL= L,单位：欧姆（）,因此:,相量表达式为:,电感中的电流滞后电压90 （电压超前电流90）。,相量图,2功率关系,(1) 瞬时功率,在正弦交流电路中，电感功率以2按正弦规律变化。,波形如图所示,pu i =ImUmsint cost IUsin2t,显然,第一个 1/4 周期p0，电感吸收能量。 第二个 1/4 周期 p0，放出能量。它与电源间进行能量的互
9、相交换。,t,u、i,t,p,i,u,O,O,平均功率(有功功率),电感是储能元件,不消耗电能。,无功功率,无功功率反映的是电感与电源间能量互相交换的规模。,QL= U I = I 2 XL = U 2XL 单位: 乏（var）,解：,XL= L=520 IL=UL/ XL=0.336A 电感中电流落后电压90,QL=ULIL=69.54var,例、设电感1.65H, = 314 rad/s ，求XL、iL、QL 。,四、电容电路,u,i,C,1.电压与电流关系,设：,容抗,电容中的电流超前电压,相量图,单位：欧姆（）,相量表达式为：,2. 功率关系,（1）瞬时功率,t,u、i,t,p,显然,
10、第一个1/4周期p0，电容储存能量。 第二个1/4周期p0，放出能量。,u,i,O,O,（2）平均功率（有功功率）,电容是储能元件，不消耗电能。,（3）无功功率,无功功率反映的是电容与电源间能量 互相交换的规模。,单位是乏（var）,例1、设电容C0.1F, = 6280 rad/s uC=10sin(t+30)V，求XC 、İC 、QC。,解：,XC= 1C=1.59k,电容中电流超前电压90 İC =4.45 30+90 = 4.45 120mA QC=UCIC=31.6103 var,例2、已知XL=10，R= 2，A2表读数2A，设个表均为理想电表,求其余各表读数。,A,A1,A2,V
11、,R,L,解：,U=I2XL=210V=20V,I1=U/R=20/2A=10A,İ = İ 1+ İ 2 =(10j2)A =10.2 11.3A,设İ1= 100 A =10A,İ2= 290 A =j2 A,A1: 10A、A: 10.2A、V:20V,五、基尔霍夫定律的相量形式,KCL i = 0 KVL u = 0,İ= 0 U= 0,i=i1+i2,U=U1+U2,u u1u2,下列表达式书写正确的是：,返回,六、阻抗的串联与并联,1、阻抗串联的交流电路,i,Z1,Z2,串联等效复阻抗为：,分压公式为：,2、阻抗并联的交流电路,Z1,Z2,分流公式：,已知 R1=100 ，R2=1
12、000 ， L=2H，C =10F， ,求u、i 。,例、,R2,L,u,i,R1,解：,C,iC,iL,İCm= 160A,按分流公式：,XC=318,XL=628,= 0.8945.1A,= 10035775.1 =39561,七、正弦交流电路的分析方法,例 题,X2,u,R1,X3,X1,解：,a,b,Z1=jX1+R1=(j10+2) Z2=jX2=j10 Z3=jX3=j5 Zab=Z2Z3=10j =1090,Uab=I1 zab=1010V=100V,=(j10+j20)(2+j10)V+100V =j20V=2090V,İ1 = j10 A=10 90A = 0, cos =1
13、,PUIcos 10201W200W Q UIsin 102000var SUI200VA,例2、已知U=100V, =314rad/s,I=IC=IL,电 路消耗功率P866W，试求iL、iC、i 。,R,L,u,i,C,iC,iL,解：,设u为参考正弦量, iL+iC = i 且 I= IC=IL所以İC 、İL和İ 组成等边三角形,30,= 10A,作相量图：,有些情况借助于相量图求解方便。画相 量图时,参考相量的选择很关键。一般, 串联电路选电流为参考相量,并联电路 选两端电压为参考相量,在串、并混联 电路选最基本的并联电路的端电压为 参考相量。,4.4正弦稳态电路中的功率,一、瞬 时
14、 功 率,二、平均功率P 三、无功功率Q 四、视在功率S,一、瞬 时 功 率,注意：当cos =1时，表示一端口网络的等效阻抗为纯电阻，平均功率达到最大；当cos =0时，表示一端口网络的等效阻抗为纯电抗，平均功率为零。一般有0cos1。因此，平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率，表示电路实际消耗的功率。,二、平均功率P,4.5正弦交流电路中的谐振,串联谐振 并联谐振,返回,在含有电感和电容元件的电路中,若出现电源电压与电流同相位,整个电路呈纯电阻性,此时电路的状态称为谐振。,一、串联谐振,谐振按电路接法分为串联谐振和并联谐振。,Z=R+j(XLXC),1.谐振条件 谐振时, =0 则有 XL=XC,2.谐振频率 根据谐振条件有L=1C,f0仅与L、C有关，改变、L、C可使电路发生或消除谐振,谐振角频率,谐振频率,3.谐振特征 z0=R 最小, I0=U z0=UR 最大。 谐振时 XL=XC， UL=UC U=UR cos=1 UL=I0XL=（UR）XL =（XLR）U UC=I0XC=（UR）XC =（XCR）U,一般 XL=XCR， UL=UCU,品质因数Q,Q是一个无量纲的参数,UL=QU=QUR UC=QU=QUR,功率,P
