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1、典型例题剖析例1.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件？（1）三个球全部放入两个盒子，其中有一个盒子有一个以上的球.（2）直线右侧区域内的点的坐标可使不等式成立（3）当角x取某一实数时可使成立.解：（1）是必然事件.（2）当A0时，直线右侧区域内的点的坐标使不等式成立；当A0时，直线右侧区域内的点的坐标使不等式成立.所以“直线右侧区域内的点的坐标可使不等式成立.”是随机事件.（3）是不可能事件.因为由三角函数定义可知，当x取任何实数时，也不能使例2.一副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块四种花色，每种13张，共52张，从一副洗好的牌中任取四张，求四张中至少有三张黑桃的概率.以下两种解法哪
2、一种对？解法一：从52张牌中任取4张，有C种取法，n=C.“四张中至少有三张黑桃”可分为两类：“恰有三张黑桃”与“四张全是黑桃”，共有C种取法.解法二：所求概率的分子可按如下方法计算，先取三张黑桃，有C种取法，第四张从剩余49张中任选一张，故分子应为CC结论：解法二出现的错误在于分子计算中有重复现象（前面排列组合部分也曾提醒同学们注意这个问题）.例3.有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住各房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（1）事件A：指定的4个房间各有一人；（2）事件B：恰有4个房间中各有一人 ；（3）事件C：指定的某个房间中有两人；（4）事件D：第一号房间有一人，第
3、二号房间有三人；解：由于每人可以进住任一房间，进住哪房间有6种等可能的方法，根据乘法原理4个人进住6个房间共有64种方法.（1）指定的4个房间中各有一人，有A种方法.（2）从6间中选出4间有C种方法，4个人每人去一间有A种方法.（3）从4个人中选2人去指定的某个房间，共有C种选法，余下2人每人都可去5个房间中的任一间，因而有52种方法. （4）从4个人中选1人去第一号房间，有C种选法，从余下3个人中选3人去第二号房间，有1种选法.例4.一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中随机地接连取三个球，每次取一个，记恰有一个红球为事件A，第三个球是红球为事件B，在（1）不返回抽样（2）返回抽样两种情况下
4、分别求事件A、B的概率.（1）解法一：由不返回抽样知第一次从10个球中抽一个，第二次只能从9个球中抽一个，第三次只能从8个球中抽一个，故基本事件的总数，事件A的种数，从而解法二：抽三次恰有一个红球的三个事件：红黄黄、黄红黄、黄黄红两两互斥，因此P（A）=P（红黄黄）+P（黄红黄）+P（黄黄红）=第三次抽到红球，对前二次是否抽到红球没要求，所以事件B的种数，故（2）求P（A）解法一：由返回抽样知每次从10个球中抽一个，故基本事件的总数n=103，事件A的结果总数，从而P（A）=解法二：用n次独立重复实验中事件恰好发生k次的概率公式，由得P（A）=求P（B）解法一：由返回抽样知每次从10个球中抽一
5、个，故基本事件的的总数n=103，事件B的种数，从而P（B）第三次抽到红球的三个事件：红黄红、黄红红、黄黄红两两互斥，因此P（B）=P（红黄红）+P（黄红红）+P（黄黄红）=说明：从本例可看出不论返回抽样还是不返回抽样，第三次抽到红球的概率，只与红球所占的比例有关，与第几次抽到红球无关.例5.箱中有a个正品，b个次品，自箱中随机连续抽取3次，每次取1个，取出后不放回，问取出的3个全是正品的概率是多少？解法一：任取三个产品，第一个产品有a+b种取法，第二个产品有a+b1种取法，第三个产品有a+b2种取法，故共有(a+b)(a+b1)(a+b2)=A种取法.同理，取出三个全是正品有A种取法.解法二
6、：不考虑产品取出顺序，从a+b个产品中任取3个产品，有C种取法.取出三个正品有C种取法，共以C种取法.注意：两种解法都正确，其区别在于将基本事件划分得粗细不同.值得指出的是，不论划分粗细，必须是等可能才行.例6.箱中有a个白球和b个黑球，从中任意连续取出k+1个球，如果球被取出后不放回，求最后取出的一个球是白球的概率.解法一（细分）：每k+1个排列好的球构成一基本事件，故基本事件总数为A个.最后取出的一个是白球，该球可从a个白球中任取一个，其余K个可以是a+b1中任意k个的一种排列，故事件A“取出的k+1个球中最后一个是白球”共有个基本事件.解法二（粗分）：只考虑最后一球，若最后一球可任取，共
7、有a+b种取法.限定最后一球为白球，有a种取法，故概率P=例7.一人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门.随机逐个试验钥匙，问“房门恰在第k次被打开”的概率是多少？解法一（细分）：n把钥匙按任意顺序开锁，共有n！种开法；限定第k次成功，则第k次只能是确定的一把，其他钥匙次序任意，共有（n1）!种开法，解法二（粗分）：只考虑第k次试验时的钥匙，第k次试验的钥匙是任意一把时共有n种取法，第k次恰能打开房门时，只有一种取法.小结：恰当地简化基本事件，是一种技巧，更重要的是首先考虑基本事件是否是等可能的.例8.把3个白球和4个黑球排成一排，分别判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对
8、立事件.事件A事件B（1）白球不能相邻黑球不能相邻（2）至少两个白球相邻任何黑球不能相邻（3）两个白球不得排在两端四个黑球相邻且至多两个白球相邻解：（1）不是互斥事件.因为A、B可以同时发生，如能排成.（2）是互斥事件，不是对立事件.若A发生，2个或3个白球相邻，余下3或2个空排4个黑球至少有两个黑球相邻，因而B不发生，所以是互斥事件.可排成这说明A、B都不发生，根据定义知A、B不是对立事件.（3）是互斥事件，也是对立事件.“白球排在两端”与“白球不得排在两端”不能同时发生，但必有一个发生，所以A、B是互斥事件，也是对立事件.例9.一个口袋里共有7个白球4个黑球，现在一次要取出三个球，问这三个
9、球中至少有一个黑球的概率是多少？解法一：设三个球中至少有一个黑球为事件A，三个球中恰有一个黑球为事件A1，三个球中有两个黑球为事件A2，三个球全是黑球为事件A3，则A=A1+A2+A3，且这三个事件两两互斥，由互斥事件的概率加法公式得：解法二：设三个球全是白球是事件，是A的对立事件，则P（）=P（A）=1小结：运用公式P（A+B）P（A）P（B）计算和事件的概率时，必须注意考虑事件A、B互斥这一前提条件，而与A是对立事件，利用对立事件的概率和等于1然后求差，比解法一求彼此互斥事件的和的概率更为简便.例10.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为，求：（1）两个人都译出密码的
10、概率；（2）两个人都译不出密码的概率；（3）恰有一个人译出密码的概率；（4）至多一个人译出密码的概率；（5）若要达到译出密码的概率为，至少需要多少个乙这样的人？解：记“甲独立地破译密码”为事件A，“甲译不出密码”为事件,“乙独立地破译密码”为事件B.“乙译不出密码”为事件，“两个人都译出密码”为事件C，“两个人都译不出密码”为事件D，“恰有一个人译出密码”为事件E.“至多一个人译出密码”为事件F.（1）甲、乙二人独立地破译密码，为相互独立事件，二人都译出密码就是事件AB发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得出P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=（2）两个人都译不出密码也是独立事件，又两个
11、人都译不出密码是事件发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得出：P（D）=P（）+P（）P（）=（1）（1）=（3）“恰有一个人译出密码”包括两种情况，一种A，另一种B，这两种情况不可能同时发生，是互斥的，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得出：P（E）=P（A）+P（B）=P（A）P（）+P（）P（B）=（4）解法一：“至多一个人译出密码”是“两个人都译不出密码”或“恰有一个人译出密码”，即事件D+E，且事件D与E是互斥的，根据互斥事件的概率加法公式得出：P（F）=P（）+P（A）+P（B）=P（D）+P（E）=解法二：P（F）=1P（AB）=1P（C）=1（5）n个乙这样的人都译不出密码的概率为（1，根据题意，有：
