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1、ThemeGallery PowerTemplate,3-7 差分方程,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,差分方程的建立与求解,差分方程的时域求解法,内容安排,3-7-1 N阶输入/输出差分方程,3-7-2 差分方程的求解,3-7 差分方程,在一些应用中，因果时不变离散系统的输入/输出差分方程描述形式较其输入/输出卷积模型更为方便。如考虑银行贷款偿还问题的差分方程描述是这样的，当月份 时，方程输入 是第n个月偿还的贷款总量，方程输出 是第n个月后贷款的差额，方程初始值 是贷款总量。通常，月还款额 可以是固定值，即 ，c是常数。但我们考虑更符合实际的情况，即允许月还款额 是每月变动的
2、。,上述的贷款偿还问题可用如下差分方程描述： （3-7-1） 或 （3-7-2） 式中 是年利率，比如年利率为5%， ； 项是贷款在第n个月的利息。上式是研究贷款偿还过程的一阶差分方程。与输入/输出卷积模型相比，该式的输出 是在 、且初始条件为 时的响应，而卷积模型是没有初始条件的。,3-7 差分方程,3-7-1 N阶输入/输出差分方程,我们知道，对于连续时间系统，其输入/输出之间的关系可以用微分方程来描述；类似地，对于离散时间系统其输入与输出之间的关系则可用差分方程描述。通常， n阶线性时不变（LTI）离散时间系统可用一个常系数线性差分方程描述为：,（3-7-3）,式中 和 分别是系统的输入
3、和输出序列，系数 和 是常数。 式（3-7-3）的初始条件通过给定值 定义，并 假设均为已知。如果系统又是因果的，则有 。所谓求解差分方程，就 是寻求对于任意非负k值，在系统输入函数 及系统初始条件共同作用下 的系统响应 。,3-7-1 N阶输入/输出差分方程,另外，如果 ，则称差分方程是N 阶的。该方程给出了根据系统输入及输出的从前值来计算当前输出序列的一个递推算法。可以看出，该方程是按离散时刻从n=-到n=+向前递推的。因此方程的另一个形式为：,（3-7-4）,如果上述差分方程有一个或多个 项非零，则称这个差分方程是递归的。反之，如果所有系数项 都等于零，则称差分方程是非递归的。,内容安排
4、,3-7-1 N阶输入/输出差分方程,3-7-2 差分方程的求解,对任意输入序列x(n)，差分方程提供了计算系统响应y(n)的一种方 法。但求解差分方程需要已知系统的初始条件。当初始条件为零时，称 系统是零初始状态的。一般而言，解系统差分方程有如下几种方法：,3-7-2 差分方程的求解,经典解法,差分方程（3-7-3）的完全解或通解是（差分方程的）齐次解和特解两部分的和。具体讲，若已知一个线性常系数差分方程，其通解可写成：,（3-7-5）,其中 是满足齐次差分方程的齐次解，通过令式（3-7-3）中对应输入序列的所有项的系数为零（等价有x(n) = 0）就可以得到，即,（3-7-6）,1、齐次解
5、部分,3-7-2 差分方程的求解,齐次解 的形式取决于式（3-7-3）的特征方程解的特性和式（3-7-6）。为说明这一点，首先需要定义线性常系数差分方程的特征方程。,线性常系数差分方程的特征方程定义如下：,（3-7-7）,特征方程的解（特征多项式的根）称为特征值。,当特征值互不相同时，即 ，通过求解齐次差分方程式 （3-7-6）得到式（3-7-3）的齐次解为：,3-7-2 差分方程的求解,（3-7-8）,系数 必须由系统的初始条件确定。齐次解有时也称之为初始状态解。,例3-7-1 一因果LTI系统由差分方程：,3-7-2 差分方程的求解,描述。试求其特征方程及齐次解。,解：系统的特征方程为：,
6、它的特征根显然是 和 。,系统的齐次解为：,上式中若已知 和 ，则系数 和 就可求出。,当式（3-7-7）特征方程的特征根包含有重根时，齐次解的形式略有 不同。例如，当存在一个p重根时（即具有 个特征值,且 其它特征值互不相同），齐次解的形式为,3-7-2 差分方程的求解,（3-7-9）,一般而言，任何一个p重根 ，在离散域中都会在对应差分方程的齐次 解中包含有与 有关的p个不同的项，即,（3-7-10）,例3-7-2 设某系统差分方程的特征方程为,3-7-2 差分方程的求解,解出特征根：,根据式（3-7-9）可知，齐次解的形式为：,例3-7-3 设某系统差分方程的特征方程为,3-7-2 差分
7、方程的求解,解出特征根：,根据式（3-7-9）可知，齐次解的形式为：,另外，一对共轭复数特征根，比如 ，可以视为 两个不同的特征值。通常，一对共轭复数根产生一个振荡的响应分量， 在齐次解中将包含正弦和余弦函数，因此其对应的解的形式为,3-7-2 差分方程的求解,（3-7-11）,如果齐次解中包含q重复数特征值 ：,则对应的齐次解部分具有的形式为：,可以证明，式（3-7-12）中的所有系数都能够由初始条件唯一确定。,例3-7-4 试求齐次差分方程,3-7-2 差分方程的求解,的解。已知初始条件 。,解：差分方程对应的特征方程为：,其特征根：,（二重根）,(共轭复根),因此差分方程的齐次解为：,3
8、-7-2 差分方程的求解,式中，系数由初始条件确定：,解出,3-7-2 差分方程的求解,故齐次差分方程的解为：,需要说明的是，齐次解中各项的性质取决于各个特征根 是实数 根、虚数根还是复数根。一般而言，实数根对应于实指数，虚数根对 应于正弦项，而复数根对应于指数增加或指数衰减的正弦项。,注释：齐次解还可以直接利用数值计算来求解。确切讲，对于已知 的一组初始条件 ，在整数n的某些限定区间，系 统响应或者输出序列 可以通过一个迭代过程求出。 首先，针对式（3-7-4），设 ，可得：,3-7-2 差分方程的求解,显见，在 时刻，输出 是 的线性组合。,其次在式（3-7-4）中设 ，可得：,显见，在
9、时刻，输出 是 的线性组合。,继续这个过程，输出序列的下一个样本值将是前N个输出样本值的 线性组合。数值计算时每一步计算，都必须存储前N个输出样本值，这 个过程也叫做N阶递归。显然，这种迭代解一般给不出解析式，它只是 一个齐次解的序列 。,3-7-2 差分方程的求解,2、特解部分,3-7-2 差分方程的求解,式（3-7-5）中的 称之为特解，它是在零初始条件下，差分方程 系统对任意给定输入 的一个解或响应。因此， 不是唯一的，一般 可通过假设输出与输入具有相同的函数形式来求解。例如，若差分方程系 统的输入序列 ，则可假定其特解具有 的形式，之 后将 代入原差分方程，求出使其满足差分方程解的常数
10、c；如果输入 序列 ，则假定其特解具有 的形式，之后确定出使 满足差分方程解的常数 和 。,如果输入序列 与齐次解中某一项具有相同的函数形式时，求特解的 步骤将略有不同。这时，需假定一个与齐次解中所有项的函数形式均不 同的特解项。具体讲，可将特解乘以最低幂次的n，使其相异于齐次解 中所有项的函数形式，然后将假定的特解代入原差分方程以便确定系数。,3-7-2 差分方程的求解,常用输入序列激励下系统差分方程所对应的特解形式见表3-1。 表3-1常用输入序列对应的特解形式,3-7-2 差分方程的求解,表3-1常用输入序列对应的特解形式 （续）,例3-7-5 求一阶递归系统,3-7-2 差分方程的求解
11、,的齐次解和特解。已知输入序列 。,解：系统差分方程的齐次方程是,它的特征方程为 ，故可解出特征根 。,在式（3-7-8）中令 ，即可得到系统的齐次解,对于特解，可设原系统差分方程特解的函数形式为 ，将 其代入原系统，得,3-7-2 差分方程的求解,对上式等式两端同乘 ，得到,或,因此系统的特解为,注意，如果取 ，则特解的形式就与齐次解的形式相同。在这种 情况下， 显然无法确定，故必须假设特解的形式为 ， 将该特解代入原方程可得,3-7-2 差分方程的求解,对上式等式两端同乘 ，得到,若代入 ，则可求出 。,3、通解,3-7-2 差分方程的求解,求出差分方程的齐次解和特解后，将两者相加，并根据
12、初始条件确定出齐次解中的待定系数，即可获得系统的通解或完全解。具体求解步骤如下：,1）根据系统特征方程的特征根写出齐次解 的函数形式；,2）假定系统的特解与系统的输入序列在函数形式上相同（但需相异于齐次解的各项）代入原系统的差分方程，确定出系数，得到一个特解 ；,3）确定出系统齐次解中的待定系数，使完全解 满足系统的初始条件。,如果假定在 时刻系统的输入序列 作用在系统 的输入端，则特解就只对 成立。因此，在执行步骤3之 前，系统的初始条件 必须变换成新的初始 条件 。初始条件的变换可以通过差分方程 的递归运算来实现。,3-7-2 差分方程的求解,例3-7-6 试求一阶递归系统,3-7-2 差
13、分方程的求解,的全解。已知输入 ，初始条件 。,解：系统差分方程的齐次方程是,它的特征方程为 ，特征根 。,显然，系统的齐次解,3-7-2 差分方程的求解,系统的特解可由例3-7-5给出，其中令 ，即,故系统的全解为,系数 由初始条件确定。首先，将初始条件由 变换到 时刻， 这一步需要将代入原系统差分方程，即,其次，将 代入全解中，得到,3-7-2 差分方程的求解,可解出 ，因此，系统的完全解为,递归方法：,3-7-2 差分方程的求解,利用系统的初始条件和输入 ，可获得 的完全解。利用逐步 求解计算出系统输出序列的每一个样本值，由此获得的差分方程的解就称 之为递归解。其含义是指在计算输出序列的每一个样本值时，都需要用到 之前求出的所有输出序列的样本值。递归方法非常适合于计算机数值求解。,下面简要叙述基于递归方法求解系统输出序列 的步骤。,1）针对式（3-7-4），利用已知的N个初始条件 以及输入序列样本值 计算 。 例如，当 和 ，计算过程如下：,（3-7-13）,2）利用式（3-7-13）已经求出的 、初始条件 以及 ，求出 ，即,3-7-2 差分方程的求解,（3-7-14）,3）重复上述过程，即可求出输出序列 的后续样本值。,上述过程可通过下面的一阶线性方程：,（3-7-15）,来
