《经济应用数学 上 教学课件 ppt 作者 李秋莎 32642-第5章不定积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经济应用数学 上 教学课件 ppt 作者 李秋莎 32642-第5章不定积分（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5章 不定积分,5.1 不定积分的概念与性质,5.1.1 原函数 定义1 如果在区间I 上,函数F(x)的导数 为f(x),即对于任一x I 都有 F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx 则称F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数。,例如,(x2)=2x,故x2 是2x 的一个原函数。 进一步由微分学知识可知,对于任一常 数C,都有(x2 +C)=2x,故C 取每一个值,x2 +C 都是2x 的一个原函数。,对于一般函数f(x),若F(x)为其在区间I 上的一个原函数,C 是任一常数,则 (F(x)+C)=F(x)=f(x),即对于任一常数C,F(x)+C 都是f(x)的 原函数。
2、 从而可知,若f(x)有一个原函数的话,那 么它就有无穷多个原函数。 关于原函数我们有两个问题要解决:一 、什么样的函数才能有原函数;二、有原函 数的话,怎样才能找到所有原函数。,对于第一个问题,我们有如下定理。 原函数存在定理 若f(x)在区间I 上连续, 则存在F(x),对于任一x I 都有 F(x)=f(x) 即连续函数必有原函数。 这是原函数存在的一个充分条件,我们 将在下一章给出证明。,对于第二5.2 换元积分法与分部积分法,我们给出以下说明。 (1)上面讨论可知,若F(x)为f(x)的一个 原函数,对于任一常数C,F(x)+C 都是f(x)的 原函数。,(2)G(x)也是f(x)的
3、一个原函数,则必 存在一个常数C0,使得G(x)=F(x)+C0这是 因为(G(x)-F(x)=G(x)-F(x)=f(x)-f(x)=0 由微分学知识可知,G(x)-F(x)必为某一常 数C0,即G(x)-F(x)= C0 。,由以上两点可知,函数集合F(x)+C|C R中的任一函数都是f(x)的原函数;任一 f(x)的原函数G(x)都满足G(x) F(x)+C|C R,故F(x)+C|C R为f(x)的原函数的全体。 也就是说,当C 取遍所有实数时,F(x)+C 就得到了f(x)的全部原函数。,5.1.2 不定积分的概念,基于上一部分对原函数问题的讨论,我 们给出一种求已知函数的原函数问题
4、的运 算不定积分。,定义2 若F(x)为f(x)的一个原函数,则称 f(x)的所有原函数F(x)+C (C R)为f(x)的不 定积分,记作f(x)dx =F(x)+C 其中“”为积分符号,x 为积分变量, f(x)为被积函数,f(x)dx 为被积表达式,C 为积 分常数。,由定义可知,求被积函数的不定积分只 须找到它的一个原函数,然后再加上任意常 数C。,5.1.3 不定积分的性质,根据不定积分的定义,我们不难得到不 定积分的以下几条性质。,(1)不定积分与导数和微分互逆性,(2)不定积分的线性性质,由导数的线性性质可得到,5.1.4 基本积分表,根据不定积分和导数的关系,由基本求 导公式可
5、得到常用的基本积分公式。,这些基本积分公式是进行积分计算的 基础,一定要熟练掌握。结合积分的性质,我 们可以进行一些基本的积分计算。,5.2 换元积分法与分部积分法,虽然积分和求导互为逆运算,但积分远 比求导困难得多。 有些初等函数如e-x2 , 等,原 函数必然存在,但由于其原函数不是初等函 数,我们并不能求其积分。,通过上节的学习,我们可以求一些简单 的积分,为了解决复合函数、函数的乘积等 这些复杂一些的积分问题,本节我们将学习 换元积分法和分部积分法。,5.2.1 第一换元积分法,我们先分析如何计算积分sin2xdx。 该积分不能直接用积分公式sintdt=- cost+C,若想把2x
6、看成t 的话,被积表达式 中必须有d2x。,由微分的性质可知,d2x=2dx,对原积分 进行恒等变换,则 该方法可推广到一般形如 f(x)(x)dx 类型的积分的计算。,定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数,(x) 为一可导函数,则,此类换元积分法叫第一换元积分法,也 叫凑微分法,主要应用于被积表达式为复合 函数乘上被复合函数的微分,或者其余部分 可以凑出被复合函数的微分的积分的计算。,换元实际上是看成一个整体的思想,因 此,该定理可表述为一句话:想把谁看成一个 整体就要凑出谁的微分。 要注意,换元后的积分要易于计算。,例1 计算下列不定积分。,解(1)在积分中我们自然想把2x +1看成
7、一个整体t,然后利用公式1 tdt= lnt +C 来 计算积分,故要凑出2x+1的微分。 由于d(2x+1)= 2dx,故对原积分进行 恒等变换,注 熟练的话,换元过程可省略。,计算此类积分的关键是能准确地凑到 所需的微分。 为了提高计算速度,我们总结了常用的 凑微分公式。,例2 计算下列积分。,例3 计算下列积分。,注 形如sinmxcosnxdx 的积分,若m 为奇 数,则拿出一个sinx 凑cosx 的微分,剩余的偶 次方利用平方关系化成余弦,从而使整个积分 化成以cosx 为积分变量的多项式积分,n 为奇 数类似。 若m ,n 皆为偶数,则通过降次扩角来计算。,下面我们讨论一些简单的
8、有理分式的 积分方法。 例4 计算下列积分。,有理分式的积分一般遵循以下原则。 (1)若被积函数为真分式,依次考虑:分 子凑分母的微分,分母分解因式裂项,分母 配方。 (2)若分子的次数大于或等于分母次 数,造分母化为真分式。,5.2.2 第二换元积分法,一些含有根式的积分如 虽然表达式很简单,但基本积 分公式和凑微分法都不能解决这类问题。 我们常用的办法是通过合适的换元把 根式去掉,从而简化计算,这就是我们要学习 的第二换元积分法。,第二换元积分法也可称作直接换元法, 通过直接代换x =(t),把表达式中不利于计 算的因素去掉(根式、分母复杂)。 换元时注意x=(t)的单调性(保证 t=-1
9、(x)的存在),要把积分表达式中每一个 x 代换,积分结果要求变量回代。,注 观察(*)式,从右向左正好是我们前边 讲的第一换元积分法,即两种换元方法的换 元方向恰好相反。 究其实质,换元方向主要决定于等式两 端两个积分哪个便于计算,不必拘泥于换元 形式。,对于第二换元积分法,我们主要介绍几 种常用的代换方法。,5.2.3 分部积分法,针对函数乘积的积分,我们介绍另一种 重要的积分方法分部积分法。 定理3(分部积分法) 若u(x)与v(x)可导, 不定积分vdu 存在,则积分udv 也存在, 并有udv =uv -vdu,证 由微分知识可知 d(uv)=vdu +udv 两边同时积分 d(uv)=vdu +udv 即 uv =vdu +udv 所以udu =uv -udu,在计算乘积的微分时,往往需要凑出dv, 并且要保证分部后的积分更易于计算。 若被积函数为反三角函数、对数函数 以及初等函数与幂函数的乘积,一般用分部 积分法计算。 常见题型如下。,从以上例子可以看出,在求不定积分时,换 元积分法与分部积分法往往会交替使用,因此, 在解题过程中千万不要拘泥于一种方法。,
