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1、19 84年 河北 大学学报 (自然科学版) 第 2 期 球坐标系中亥姆霍兹方程的基本解 倪之荃 (电子系) 提要 本文讨论无线电波在球状理想导体上散射时的墓本解 , 并提 出在这领域 内尚未解 决的问 题 及其困难所在 。 所谓 “ 基本解 ” 就是在点源激励情况下 , 所讨论的微 分方程在给定边界条件下 的解 。 普 通场源 在给定边界条件下的解 , 可由单位点源的解乘以源分布并对源所在区域积分 而得 到 。 在球坐标系中 , 无源 空 间中的 电磁场可分解为横电波 (TE 波 )和横磁波( TM r 波) , 其场 矢量 的各分量可分 别由赫兹磁矢位 的径 向分量n 。 和赫兹 电矢位的
2、径向分量n 。 导 出 。 对 于 T E r 波 百 = 霖( 一 1(D件 r sin o 。 . 一 / i。协 。 、。 可) 十“ , 气 - 万 一 一石 丁 ) J 场,(1) 五 二 盯 除 + k Z ) 1 十ag O2 。r o o + 霖 一于 、 一 旦兰 勺 n 二 : 刁 r寻甲 尸 (2) 对于TM ,波 广 产一/ 。 2 ,。 、 七 二 仁 “ , 气 一不了十 护 / . 、 1 十ao 白 2 。ro o + a甲 rs i n o 02 。r。甲 I I 一 3 青 二 云 10C0 rs ino 。 一盏 io e n 。 、 ; 一而一 “ ,
3、一万 一 。 。 少 二 (4) n 二和n. 都满足方 程 分Z n 、一叮 -二 - , 十 廿f 1 r2 s ino 。 / . 八 。 n 1 一百百 一 火 s“U一司犷)十 万百丽云 豆百 。 Z n 。甲2 一+ k Z n = O (5) 若令n ( r 、 0 、 甲)= r u ( : 、 0 、 甲) , 则 u ( r 、 0 、 甲)满足标量亥姆霍兹方程 V Zu+ k Zu二 0 ,】 函数以 r 、 0 、 甲)应满足 的边 界条件 , 我们结合具体问题提出 。 在无界不 导 电空间中 , 一个随 时 间作简谐变化的电偶极子 p 二 p 。e“ , z 一轴取向
4、 , 如 图(一)所示 , 其辐射场的赫兹电矢位的径向分量为 ( 6) 位 于坐标原点 , 沿 n 。 =ru ( 一: 、 O ) . 函数 u 和角甲无关 , 在坐标原点有奇异性 , 在空间各点满是标量 亥姆霍兹方 程 , 故有 (V Z+ k Z ) u ( r 、 0) 二 一 各( r )乙(0 ) 2 兀 r Zs ino (7) 函数 u 还要满足以下条件 : lim r 州卜 C 减 r ( 一器+ k ) - , 这 是辐射条件 , 图 (一) 在k r 1处 , H , 、 IO PO 4 究rZ 一 ,为f s i n o 二 I d l 4 兀r之 5in o 这是激励
5、条件 , 磁场强度H ; 是根据比奥一沙伐尔 定律算出的 , 计算时 注意到p 。= qd l Id l l(O 这一 问题的解为 u ( r 、 0) = A : h ( 矛 )( kr)p, ( e os o) . (8) 式中 A I= ikP。 4北已。 h ( k r ) = 一二 I K 书竺 (,“ + 令 , , 为一阶第二种球汉克函、 p : ( 。0 5 0 ) = e os G , 为一阶勒让 德多项式 。 由式( 3) 和( 4) 可算出此 电偶极子的辐射场 强 、| 卫| |11 1 | 1 | | | | 少 r E 二 (杀 + k Z )( u r 一” , 一
6、 一厄 提 蕊 、 一 (二 一 梦 一 )上_ 一e os o , f E .= = 一 孟- r H 。 =一 E . 二 0 , 02 。r o o ru ( r 、 ”) = - l d l 4 兀e ( 一 k Z斗 一 少 力 叮 k r sn o , ( 9) 1田eo f H : = 命 ( r U ( 、 ” ) 二 、一 告 ( i + 专 一 ) 一宇一”, H .= 此电偶极子辐射横磁球面 波 的主波 。 如图 (二) 所示 , 理 想导休球的球心在坐标原点 , 半径为R 。 。 设一 随时间作简谐变化 的 电偶极 子p = p oe 洲位于 r二r 、 0 = o处
7、。 在这种情况下 , 函数 u 和 角甲无关 , 在 r二: 、 O二。处有奇异性 , 在球外其他各点满呈标量亥姆霍兹方程 。 故有 (V Z + k Z ) 认(r 、 0 ) 二一 各( r 一r 尹) 乙(O) 2 兀 rZs i n o (10) 且p . 1 。 / 。 。u F犷 百F 气 r “ 飞丁 , j 十 1 r2 s ino 。 / . n Ou 、 马丁 气 ” n 。 一百 石 一 2 十 k Zu= 一 己( r一r 产 )乙( 0) 2 兀 rZs ino (二) 在球面上 , 即 r= R O处 , 。 因电偶极子在空 间 产生TM r 波 , 故由式 (3)
8、 (11) 图 电磁场满足的边界条件是E 。= O , E 。二 o 应有 p 。 二 工一里三 口 _ 二 。 _ p = 一l一 r d r dU fS ll lO 一一丝一-n 。 = o 。 r。甲 因上两式同时成立 , 应有 。 n e ar 0 , ( r= R o ) 即 , 旦 刁r r认 ( r 、 0) = 0 , ( r= R o ) (12) 这就是函数u ( r 、 0 )在 r二 R 。处应满足的 边界条 件 。 显然 , 可设 方程 (11 ) 的解为 u ( r 、 0) 二 C幻 艺 n 二 0 Z n+ 1 2 u 。 ( r )p 。 ( eos o )
9、, (13) 以此解代入方程 (11 ) , 得 C减匀 . _ J,、 , 勺 艺n+1 广 1 a l , 刁u o P 。 、 n吸n+ 1) . 吸 f - - , 一 一 八 乙 、 rOr 。r / r J二 一 V ( r 。 n p 。 ) + k ,r u p 。 _ 乙( r一r产 )乙(O) 2 兀r s ino (14) 现在来研究 u n ( r ) , 用p n ( e oso )sin od O乘上 式并取 从o到二的积 分 , 得 典 ( r u 。 ) + 厂 k Z一 -巫卫上三l ) ( ru 。 卜 - 乙( r一r产) 2 兀r (1 5) 对上式取从
10、 r二r 产一。 到 r=r 产+ 。 , 。 ” 0的积分 , 得 r , + e 1 r , 一 2 几r , . (16) 分 上式表示 , 在 (源点) r二r 尹处, 函数 r u 。 ( r )的导数发生跃变 。 我们略去解题 过程 , 只提出式(15 )的解为 89 r A n j 。 (k r ) + B 。 h ( k( r ) h ( 二 ) (k : ) , ( r r (17b) _:. l 式 中j l, (k r )为球 贝塞 尔函数 , h 足)( kr )为第 二种球汉克函数 , 系数 B 。 = -一丝卫。 丛兰场卜 一 J, l (k晰 2 - -一 A ,
11、 k R 。h ( 盖 ) (k l之。) 一卜 l (浮)( k王 丈。) 一杀 k ; ( k ) /升 ; 仁r h ( ; ) ( k r ) r一 。 。 , w 为函数 r h ( 尸和f ( A 。 j 。 + B 。 h (且 ) ) 的 一乌明斯 基行 列式 , / , 。、 、d , 二 , , 、 / 二 1_ , 、 d / , , 。 八 W一 气 h 盖 ) 飞 斤 r (A j 十 B h 盖 ) 一r 气 A j ! 1斗一 “ t h 戈且 )公戈 r “ 蕊 ) = 专 A ( 8) ( 9) 可以验证式( 1 7a ) 、 (17b ) 确为式 (5 )的
12、解 。 此解在无限远处满足辐射条件 11m r r 一) C)。 ( 一己 梦 +ik ) 一 。 , 在一 “ 。处孔 、足边界 ,条 件。弋( 2, , 在 r二 处连续 , 其导数发“ 二式 、:6) j乡矛 表示的跃变 。 结果 得到 1 l ( t : 、 0) = 丁 O( 艺 兀n二 rl ( 泛 ) (k r ) 0 W n 、 。 J 二 (!丈r) 、 。 n h ( : )、kr 。Z n+ 1 2 p 。 ( e os o ) , ( r ” ZOb , 8叉 二 n 1 一 物 系数A :l 由源决定 。 式 (2 0 a ) 中前一项代表入 射波 的赫兹 电矢位径向
13、分 量n毛 , 后一项 代表散射 波 的赫兹 电矢位径向分量 n言 。 当 r=r , 0 二 。 时 , I J二有 e一KR 型奇点 , 故可令 n乙 ae一 K R _匕式 中常数a 待 一定 , r 、 万 由式 R (8)知道 , (2 1) 若偶极子 p 。e“ , 位于球心 , 则其入射波的赫兹 电矢位径 向分量为 -三 丝 _旦q_ k r h 4 兀o (k r )p ; ( eos s ) , 所以 8墓 liml f二 = 111 1 1 r , , 0 仪e一尺 R r, , 0 r丁厂 一 R 二 三 些上 k r h 苦)(kr)p, ( c。 se ) , 4兀已
14、0 (22) 而 艺 a n h (盖) ( k r )p 。 ( e os o ) , ( r r产) (2 3a) | | |/ 、|J 、|1 . 、 一一 e一KR ik R n= 0 艺b n j n (k r )P , 1 ( e oso )( r r产 ) (3 0b ) 在研究有锥形边 界面的问题时 , 要用阶 数 v 不佗整数 . 的所谓 一作 整阶缔 合 勒 让 德函数 p 气 p ( c ( ) 5O) , 囚为 当仁 二 日时 , 对于所有的 ; 值( 0 燕 , r 产 )(3 3b) V二Vq 笔者认为 , 讨论在 r二 。邻域内场的一般特性是 有意义的 。 在进行
15、这 种讨论 时 , 我 们 可以 只 用式 (3 3 a )中第一项近 似地表示 u , 即 u ( r 、 。) 、 业 1 、 、v ” 一 丁 )J , 1 “ r “ : ( “ r p , ( coS O p , c os o (3 4) 5inZ日p 、 ( eos 日) l “ p 、 ( e os 日)/ “v v=v: 于是 , 可将n e 表示 为 n 。 =ru ( r 、 0 )岛 er j 、 (k r ) l (p , 11 因为 , 当k r 、 O时 , 即对于小值 自变量 ( e os o ) 。 (35) , : k,七 粼 : 吞 (互、 “ 二 2 / (36) 3 、 I气V 一 十 夕 艺 所以 , 式 (35) 可表示为 f l 。 岛 er (k r ) 主p v ( eoso ) 。 (3 7) (与 2 V l牛1 上两式中 , c / 为式 (34 ) 中与 r 、 0无关的所有常数因子的乘积 , c 二 了不 3 、 r、v,十 万少 c 。 、, 是式 (32 ) 决定 的最小本征值 。 根据式 (3)和(4) , 锥形 导体尖端附近场强各分量为 E r 二 f 、黑 Jr + k Z ) n 一 Ck 一 + ,一k,一
