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1、离散型随机变量的均值与方差1、 考点、热点回顾【学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1.定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称 为的均值或数学期望，简称期望要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有，所以的数学期望又
2、称为平均数、均值。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位2性质：；若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有；的推导过程如下：的分布列为P于是 )。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1.一组数据的方差的概念：已知一组数据，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数叫做这组数据的方差。2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作要点诠释：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动
3、、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3.期望和方差的关系：4.方差的性质：若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则期望方差证明：,2、二项分布：若离散型随机变量服从参数为的二项分布，即则期望方差期望公式证明：，又，3、几何分布：独立重复试验中，若事件在每一次试验中发生的概率都为，事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且，称离散型随机变量服从几何分布，记作：。若离散型随机变量服从几何分布，且则期望方
4、差要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4、超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则期望要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；P根据分布列，由期望、方差的定义求出、：.注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据
5、波动越大。对于两个随机变量和，当需要了解他们的平均水平时，可比较和的大小。和相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较和，方差值大时，则表明比较离散，反之，则表明比较集中品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关二、典型例题类型一、离散型随机变量的期望例1 已知随机变量X的分布列为：X21012Pm 试求：（1）E（X）；（2）若y=2X3，求E（Y） 【思路点拨】 分布列中含有字母m，应先根据分布列的性质，求出m的值，再利用均值的定义求解；对于（2），可直接套用公式，也可以先写出Y的分布列，再求E（Y）【解析】（1）
6、由随机变量分布列的性质，得，。（2）解法一：由公式E（aX+b）=aE（X）+b，得 解法二：由于Y=2X3，所以y的分布如下：X75311P 。【总结升华】 求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，对于aX+b型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以求出aX+b的分布列，再用定义求解举一反三：【变式1】已知某射手射击所得环数的分布列如下：45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求.【答案】 。【变式2】已知随机变量的分布列为210123Pmn其中m，n0,1)，且E()，则m，n的值分别为_【答案】，由p1p
7、2p61，得mn，由E()，得m，m，n.【变式3】随机变量的分布列为：024P0.40.30.3则E(54)等于()A13 B11 C2.2 D2.3【答案】A由已知得E()00.420.340.31.8，E(54)5E()451.8413.【变式4】设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且（），则 ；【答案】；由分布列的概率和为1，有，又，即，解得，故。例2. 袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数。求：的概率分布列；的数学期望。【思路点拨】本题求取各个值的概率，其类型显然是古典概型。【解析】
8、依题意的取值为0、1、2、3、4=0时，取得2黑球，=1时，取得1黑球1白球， ，=2时，取2白球或1红球1黑球，=3时，取1白球1红球，=4时，取2红球，分布列为01234p期望. 【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表举一反三：【变式1】 随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的数学期望【答案】抛掷骰子所得点数的概率分布为123456P所以 123456(123456)3.5抛掷骰子所得点数的数学期望，就是的所有可能取值的平均值【变式2】甲、乙、丙、丁独立地破译一个密码，其中甲的成功率是，乙、丙、丁的成功率都是 （1）若破译密码成功的人数为X，求X的概率分布； （2）求破译
9、密码成功人数的数学期望【答案】（1）破译密码成功的人数X的可能取值为0，1，2，3，4， 则X的概率分布表为X01234P（2）由（1）知，即破译密码成功的人数的数学期望为1.5【变式3】交5元钱，可以参加一次抽奖，已知一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和求抽奖者获利的数学期望 【答案】 抽到的2个球上的钱数之和是个随机变量，其中取每一个值时所代表的随机事件的概率是容易获得的，本题的目标是求参加抽奖的人获利的数学期望，由与的关系为=5，利用公式E（）=E（）5可获解答 设为抽到的2球钱数之和，则的取值如下：
10、=2（抽到2个1元），=6（抽到1个1元，1个5元），=10（抽到2个5元）所以，由题意得， 又设为抽奖者获利的可能值，则=5，所以抽奖者获利的期望为 例3 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y， （1）求X的概率分布； （2）求X和Y的数学期望【思路点拨】 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布【解析】（1），。 所以X的概率分布如下表：X0123P（2）由（1）知，或由题意，。，。【总结升华】 在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值举一反三：【变式1】 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意
11、地连续取出20件商品，求抽出次品数的期望。【答案】设抽出次品数为，因为被抽商品数量相当大，抽20件商品可以看作20次独立重复试验，所以,所以【变式2】 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。 【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则 B（20,0.9）, 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在
12、测验中的成绩的期望分别是： 类型二、离散型随机变量的方差例4已知离散型随机变量的概率分布为1234567P离散型随机变量的概率分布为3738394414243P求这两个随机变量期望、均方差与标准差【解析】；=0.04, .【总结升华】本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中，方差比较清楚地指出了比取值更集中2，=0. 2，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差 举一反三：【变式1】已知随机变量的分布列如下表：101P （1）求E（），D（），； （2）设=2+3，求E（），D（）【答案】（1）；，。（2），。【变式2】 设随机变量X的概率分布为X12nP 求D(X）。 【答案】 本题考查方差的求法可由分布列先求出X的期望E（X），再利用方差的定义求之也可直接利用公式D（X）=E（X2）E（X）2来解 解法一：，。解法二：由解法一可求得。又，。例5.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品数的期望与方差。【思路点拨
