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1、指数与指数函数,根式,1根式的概念,2.两个重要公式,a,有理数指数幂,1幂的有关概念,(3)0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 2有理数指数幂的性质 (1)aras (a0，r，sQ)； (2)(ar)s (a0, r，sQ)； (3)(ab)r (a0，b0，rQ),0,无意义,ars,ars,arbr,指数幂的化简与求值的原则 (1)化负指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数； (4)注意运算的先后顺序.,【注意】 有理数指数幂的运算性质中，其底数都大 于0，否则不能用性质来运算.,化简下列各式(其中各字母均为正数).,解（1）原式,（2）原式,（3）原式,指
2、数函数的图象与性质,指数函数图象的特点 1.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数 大小的关系如图所示，则00，且a1) 的图象关于y轴对称.,设f(x)|3x1|，cf(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是： ( ) A.3c3b C.3c3a2 D.3c3a2,【解析】 画出f(x)|3x1|的图象如下图：,数形结合法)作f(x)|3x1|的图象如图所示，由图可知，要使cba且f(c)f(a)f(b)成立，则有c0且a0， 3c13a， f(c)13c，f(a)3a1， 又f(c)f(a)， 13c3a1，即3a3c2，故选D.答案 D,2.若曲线|y|2x1与直线yb没有公
3、共点， 则b的取值范围是 .,解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.,曲线|y|2x1与直线yb的 图象如图所示，由图象可得： 如果|y|2x1与直线y b没有公共点，则b应满足 的条件是b1,1.,答案：1,1,3函数f(x)2|x1|的图象是( ),答案：B,4已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则( ) Aabc Bacb Ccab Dbca 解析：由0.20.40.6，即bc；因为a20.21，b0.40.2b.综上，abc. 答案：A,反思总结 1与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象 2
4、yax，y|ax|，ya|x|(a0且a1)三者之间的关系： yax与y|ax|是同一函数的不同表现形式 函数ya|x|与yax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x0时两函数图象相同,指数函数的性质及应用,答案 (1)D (2)A,反思总结 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断 (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用,(2)若函数yaxb1(a0，a1)的图象经过第二、三、四象限，则实数a，b满足( ) A01，b1，b1,答案：(1)D (2)A,分类讨论思想在
5、指数函数中的应用,分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单调性问题，一般情况下，当指数函数的底数不明确时，要分a1或0a1两种情况讨论,【典例】 设a0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值,由题悟道 本题主要考查换元法求二次函数最值及指数函数的单调性，解题时，换元后由于底数a取值不定故要分两种情况进行讨论,若指数函数yax在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a_.,与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 (1)函数yaf(x)的定义域与yf(x)的定义域相同； (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性， 可确定yaf(x)的值域.,与指数函数有
6、关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； ( 4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).,已知f(x) (axax)(a0且a1). (1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性； (3)当x1,1时，f(x)b恒成立，求b的取 值范围.,(1)首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判断； (2)单调性利用复合函数单调性易于判断，还可用导数解决； (3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值.,【解】 (1)函数定义域为R，关于原点对称. 又f(x) (axax)f(x)， f(x)为奇函数. (2)当a1时，a210， yax为增函数，yax为减函数， 从而yaxax为增函数， f(x)为增函数.,当0a1时，a210， yax为减函数，yax为增函数， 从而yaxax为减函数， f(x)为增函数. 故当a0，且a1时，f(x)在定义域内单调递增.,(3)由(2)知f(x)在R上是增函数， 在区间1,1上为增函数. f(1)f(x)f(1). f(x)minf(1) 要使f(x)b在1,1上恒成立，则只需 b1.故b的取值范围是(，1.,
