信号与系统 教学课件 ppt 作者 沈元隆 周井泉 第六章

《信号与系统 教学课件 ppt 作者 沈元隆 周井泉 第六章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统 教学课件 ppt 作者 沈元隆 周井泉 第六章（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、信号与系统,第六章,第6章 离散信号与系统的变换域分析 6.1 Z变换 6.2 Z反变换 6.3 Z变换的性质 6.4 Z变换与拉氏变换的关系 6.5 离散系统的Z域分析 6.6 离散系统函数与系统特性 6.7 离散信号与系统的频域分析 6.8 数字滤波器的一般概念 习题6,第6章 离散信号与系统的变换域分析 上一章讨论了离散信号与系统的时域分析，它的分析过程与连续信号与系统的时域分析有很多相似之处。我们已经知道，连续信号与系统的分析还可以在变换域中进行，即傅里叶变换分析和拉普拉斯变换分析。同样，离散信号与系统也存在类似的变换域分析，即离散时间傅里叶变换和Z变换分析。 本章首先讨论与拉普拉斯变

2、换(LT)相对应的Z变换(ZT)分析。利用Z变换把时域的差分方程变换成Z域的代数方程，从而使离散系统分析变得相当简便。然后，在此基础上讨论与傅里叶变换(CTFT，简称FT)相对应的离散时间傅里叶变换(DTFT)。从而建立离散信号频谱和系统频率特性的概念。,6.1 Z变换 Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出Z变换的定义。 6.1.1 Z变换的定义 离散信号（序列） 的Z变换可直接定义为 （6.1-1） 即是（z为复数）的一个幂级数。可以看出，的系数就是f(k)的值。式（6.1-1）称为f(k)的Z变换式，为了方便，上式还常简写为,离散信号的Z变换的定义也可以由取样信号的拉氏变换引出。一个

3、连续信号f(t)以均匀间隔T进行理想取样得到取样信号fS(t)，可表示为 （6.1-2） 也就是说，取样信号fS(t)可以表示为一系列在t = kT 时刻出现的强度为 (kT) 的冲激信号之和。其中为连续信号 f(t) 在 t = kT时刻的值，是一个离散序列。 取样信号的拉氏变换为,（6.1-3）,取新的复变量 z，令 ，或 （6.1-4） 则式（6.1-3）就变成复变量 z 的表达式，即 （6.1-5）,这就是离散信号或的Z变换表达式，可见，离散信号f(k)的Z变换是取样信号fS(t)的拉氏变换FS(s)将变量s代换为变量 的结果。式（6.1-4）、（6.1-5）反映了连续时间系统与离散时

4、间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号f(k)为因果序列，即 k 0时， f(k) = 0，或者只考虑f(k)的 的部分，则有 （6.1-6） 式中，k的取值是从0到，称为单边Z变换，称式(6.1-1)为双边Z变换。无论是双边Z变换还是单边Z变换，F(s)称为f(k)的象函数； f(k)为F(s)的原函数。由于实际离散信号一般均为因果序列，在此，我们强调以后主要讨论单边Z变换。 6.1.2 Z变换的收敛域 无论是按式（6.1-1）定义的双边Z变换，还是按式（6.1-6）,定义的单边Z变换都表现为一个幂级数。显然，仅当该级数收敛时，Z变换才有意义。例如因果序列 a为正实数 的双边或单边Z

5、变换为 （6.1-7） 显然，只有当 时，该无穷级数绝对收敛。即级数收敛的充要条件为 （6.1-8） 根据等比级数的求和公式，式（6.1-7）才能以闭合式表示为,上述例子中z的取值z a称为F(z)的收敛条件。在Z平面（复平面）中， F(z)的收敛条件所对应的区域称为的收敛域ROC（Region of Convergence）。收敛条件z a ，在Z平面中所对应的收敛域是圆心在原点半径为a的圆外区域，半径a称为收敛半径，如图6.1-2（a）中的阴影部分。可见，对于单边Z变换，收敛域总是Z平面内以原点为圆心的一个圆的圆外区域，圆的半径视不同而不同。由于单边Z变换收敛条件比较简单，因而即使不注明收

6、敛域也不会发生误会，故一般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换，情况要复杂一些。例如 双边Z变换为,上式后一级数收敛条件已经讨论过，为z a ，前一个级数 的收敛条件为 ，即z b ，则无收敛域，Z变换也就不存在。 值得注意的是，即便是同一个双边Z变换的表达式，其收敛域不同，则可能对应于两个不同的序列。 可见，双边Z变换式必须注明其收敛域，否则有可能无法确定其对应的时间序列。 由复变函数理论可知，Z变换的定义式是一罗朗级数，在收敛域内是解析函数。,6.1.3 常见序列的单边Z变换 1. 单位函数 （6.1-10） 可见，与连续时间系统单位冲激函数的拉氏变换类似，单位函数的Z变换等于1，收敛

7、域为整个Z平面。 2. 单位阶跃序列 （6.1-11） 其收敛域为z a。,3. 指数序列 由前面讨论 其收敛域为z a 。当 时 （6.1-12） 其收敛域为z 。 4. 单边正弦序列和单边余弦序列,6.2 Z反变换 利用Z变换可以把时域中对于序列f(k)的运算变换为Z域中对于F(z)的较为简单的运算。然后将Z域中的运算结果再变回到时域中去。由已知F(z)求f(k)的运算称为Z反变换，或Z逆变换。记为 Z反变换的方法有三种：幂级数展开法，部分分式展开法和围线积分法。这里仍然只考虑单边Z变换的情况。 6.2.1 幂级数展开法 由Z变换的定义,若把已知的F(z)展开成z-1的幂级数，则该级数的各

8、系数就是序列f(k)的值。 F(z)一般为变量z的有理分式，展开为幂级数时，可以用代数学中的长除法，即将分子和分母多项式按z的降幂排列，然后将分子多项式除以分母多项式所得的商式，即为以z-1的幂级数。 在实用中，如果只需要求序列的前几个值，长除法就很方便。使用长除法的缺点是不易求得闭合表示式。 6.2.2 部分分式展开法 一般Z变换式是有理分式 （6.2-1）,F(z)的零点和极点的定义与拉氏变换相同，零、极点的图形表示也与拉氏变换一样。 对于单边Z变换，即 k R ，包括z = 处，故F(z)的分母多项式的最高幂次不能低于分子多项式的最高幂次，即必须满足 。 类似于拉氏变换中的部分分式展开法

9、，由于Z变换最基本的形 式是 1 和 ，因此，通常不是直接展开F(z) ，而是展开 F(z) /z；然后，每个部分分式再乘以z。 6.2.3 围线积分法(留数法),单边Z反变换的积分公式可以直接从Z变换的定义式推导出来。由 （6.2-6） 式（6.2-6）叫做Z反变换的积分公式，是Z反变换的一般表达式，由于围线C包围了的所有孤立奇点(极点)，故此积分式可运用留数定理来进行运算，所以又称为留数法，其表达式为 （6.2-7） 式中，pm是围线C内F(z)zk-1的极点， Res.为极点pm的留数。,6.3 Z变换的性质 求一个序列的Z变换最基本的方法是按定义进行几何级数的求和。当序列较复杂时，这种

10、方法会很不方便。为此，我们从另一个途径出发，弄清Z变换的性质，即序列时域和Z域间的关系，可以由一些简单序列的Z变换导出复杂序列的Z变换，由此简化Z变换及Z反变换的运算。由于Z变换的不少性质与拉氏变换的性质相似，从而能进一步地理解Z变换。 由于我们所讨论的是单边Z变换。因此不存在圆内收敛或圆环收敛问题。如果F(z)收敛，它必然是在某一圆外，所不同的是圆的大小而已。因此，如无特殊需要，我们都省去对它的收敛域的标注。 1. 线性 Z变换是一种线性运算。这个性质只需根据Z变换的定义即可直接推出。它与拉氏变换的线性性质相当。,2. 移序(移位)性 这一性质又称左移序性质，与拉氏变换的时域微分性质相当。

11、这一性质又称右移序性质，与拉氏变换的时域积分性质相当。 将上述性质加以推广，有 Z变换的移序性质能将关于f(k)的差分方程转化为关于F(z)的代数方程，它对简化分析离散时间系统起着重要的作用。,若,则,若,则,3. 比例性（尺度变换） 4. Z域微分 5. 时域卷积定理 时域卷积定理表明两个离散函数在时域中的卷积的Z变换，等于这两个离散函数的Z变换的乘积，对该乘积进行Z反变换就可以得到这个离散函数的卷积。它与拉氏变换的时域卷积定理具有完全相同的形式，它们在联系时域和Z域的关系中起着十分重要的作用。,若,则,若,则,若,则,6. 序列求和 利用时域卷积定理，可以得到序列求和的Z变换式。 7. 初

12、值定理 且 存在； （6.3-16） 8. 终值定理 若 ，且 f(k) 的终值 f() 存在， 则 （6.3-19）,若,则,若,则,例6.3-9说明： 当a 1时，的终值为无穷大，当a = 1 时，的终值为不定值，可见应用终值定理是有条件的。为了保 证 f() 存在， (z-1)F(z)的极点必须处在单位圆的内部， 或者F(z)除了在z = 1 处允许有一个一阶极点外，其余极点必须单位圆内部。否则终值定理是不成立的。 Z变换的初值和终值定理分别与拉氏变换的初值和终值定理相当，应用这两个性质使我们无需求出f(k)，直接由F(z)求取的两个特殊值 f(0) 和 f() 。 9. Z域积分,若,

13、则,同理,6.4 Z变换与拉氏变换的关系 在定义Z变换时已经知道，离散函数 f(k) 的Z变换 F(z) 是连续函 f(t) 经过理想取样所得到的取样函数 fS(t) 的拉氏变换FS(s) ，并将变量 s 代换为变量 z=esT 的结果。而且在前面曾多处提到Z变换与拉氏变换的相似之处，可见这两种变换并不是孤立的，它们之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转换。 这就是由连续函数的拉氏变换直接求相应的离散函数的Z变换的关系式。式（6.4-2）积分可以应用留数定理来计算，即,（6.4-3）,（6.4-2）,Z变换和拉氏变换之间的关系还可以由两者在Z平面和S平面极点间的映射关系得到更深入的了解。

14、设S平面中的极点 则Z平面中的极点 得 （6.4-5） 这就是Z平面中的极点的模和幅角分别与S平面中的极点的实部和虚部的关系。,若 ，则 ，即位于S平面的虚轴上的极点映射到Z平面的单位圆上； 若 ，则 ，即位于S平面左半平面的极点映射到Z平面的单位圆的内部； 若 ，则 ，即位于S平面右半平面的极点映射到Z平面的单位圆的外部。 特别是S平面原点 的极点映射到Z平面的 。 需要注意，S平面中的单极点映射到Z平面中并不一定是单 极点，这是因为S平面中具有同样实部而虚部相差 的 两个极点（或相差 整数倍的m个极点）映射到Z平面中的 极点都是相同的。,反之，Z平面到S平面的映射是多值的。Z平面上一点 映

15、射到S平面的无穷多点 S平面和Z平面之间的映射关系如图6.4-2所示，S平面中的极点 a 和 b 分别映射到Z平面中的 a 和 b ，S平面中的极点 c, d, e 具有相同的实部而虚部相差 （或其倍数），映射到Z平面是同一点 c= d= e 。,6.5 离散系统的Z域分析 与连续时间系统的拉氏变换分析相类似，在分析离散时间系统时，可以通过Z变换把描述离散时间系统的差分方程转化为代数方程。此外，Z域中导出的离散系统函数的概念同样能更方便、深入地描述离散系统本身的固有特性。 离散时间系统的Z变换分析法与时域分析法一样，可以分别求出零输入响应和零状态响应，然后叠加求得全响应，也可以直接求得全响应。 一、零输入响应 设描述离散时间系统的是一个二阶前向差分方程 当输入 x(k)=0 时，可得相应的齐次差分方程，为,对上式进行Z变换，并应用移序性质，可得 式中，Y（z）就是零输入响应yzi(k)的Z变换，而y(0)和y(1)是零输入初始条件yzi(0) 、 yzi(1) 。整理后，可得 （6.5-1） 对进行Z反变换，即可得零输入响应。 对于n阶系统，同样可以得到相应的结论。 后向差分方程的零输入响应也可以用相同的方法进行计算。,上述例子说明，常系数线性差分方程中，若离