《高等数学 上 教学课件 ppt 作者 张圣勤 黄勇林 姜玉娟第七章 laplace》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 上 教学课件 ppt 作者 张圣勤 黄勇林 姜玉娟第七章 laplace（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 Laplace变换,Fourier变换的两个限制：,1 Laplace变换的概念,t,f (t),O,t,f (t)u(t)e-bt,O,1. 定义：,例1 求单位阶跃函数,根据拉氏变换的定义, 有,这个积分在Re(s)0时收敛, 而且有,例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数).,这个积分在Re(s)k时收敛, 而且有,其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)Re(k),根据拉氏变换的定义, 有,2.拉氏变换的存在定理 若函数f (t)满足: (1) 在t 0的任一有限区间上分段连续; (2) 当t时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数, 即
2、存在常数 M 0及c 0, 使得 |f (t)| M e ct, 0 t 则 f (t)的拉氏变换,在半平面Re(s)c上一定存在, 并且在Re(s) c的半平面内, F(s)为解析函数.,M,Mect,f (t),t,O,说明：由条件2可知, 对于任何t值(0t0 (即b c+e = c1c), 则 | f (t)e-st| Me-et.,所以,注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下); 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.,2 Laplace变换的性质与计算,本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要
3、求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c. 在证明性质时不再重述这些条件.,例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换,同理可得,2.微分性质:,此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.,特别当 时，有,例4 求 的拉氏变换（m为正整数）。,象函数的微分性质:,例5 求 (k为实数) 的拉氏变换.,3. 积分性质:,例6 求 的拉氏变换.,象函数积分性质: 则,函数f (t-t)与f (t)相比, f (t)从t = 0开始有非零数值. 而 f (t-t)是从t =t 开始才有非零数值. 即延迟了一
4、个时间t. 从它的图象讲, f (t-t)是由f (t)沿 t 轴向右 平移t 而得, 其拉氏变换也多一个因子e-st.,例9 求 的拉氏变换.,3 Laplace逆变换,前面主要讨论了由已知函数f (t)求它的象数F(s), 但在实际应用中常会碰到与此相反的问题, 即已知象函数F(s)求它的象原函数 f (t). 本节就来 解决这个问题.,由拉氏变换的概念可知, 函数 f (t)的拉氏变换, 实际上就是 f (t)u(t)e-bt 的傅氏变换.,因此, 按傅氏积分公式, 在f (t)的连续点就有,等式两边同乘以ebt, 则,积分路线中的实部 b 有一些随意, 但必须满足 的条件就是e-btf
5、 (t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛. 计算复变函数的积分通常比较困难, 但是可以用留 数方法计算.,右端的积分称为拉氏反演积分.,4 卷积,1. 卷积的概念：两个函数的卷积是指,如果f1(t)与f2(t)都满足条件: 当t0时, f1(t)=f2(t)=0, 则上式可以写成：,卷积定理：,注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积.,例2,例3,5 Laplace变换的应用,对一个系统进行分析和研究, 首先要知道该系统的数学模型, 也就是要建立该系统特性的数学表达式. 所谓线性系统, 在许多场合, 它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述, 或者说是满足叠加原理的一类系统. 这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中, 都占有很重要的地位. 本节将应用拉氏变换来解线性微分方程.,微分方程的拉氏变换解法 首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 如下图所示.,象原函数 (微分方程的解),象函数,微分方程,象函数的 代数方程,例1 求解 。,例2 求解,
