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1、4.1.1 原函数的概念,4.1.2 不定积分的定义和几何意义,4.1.3 基本积分公式,4.1 不定积分的概念,第 4 章 不定积分,4.1.1 原函数的概念,一、预备知识,1.导基本公式和运算,2.微分的定义,例,定义：,二、原函数的定义,问题：,定理1（原函数族定理）：,如果函数,有原函数，那么，它就有无,限多个原函数，并且，其中任意两个原函数的差是常数。,(1) 原函数是否唯一？,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,（C为任意常数）,三、原函数族定理和原函数存在定理,定理2（原函数存在定理）：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,任何一个函数是否一定有原函数 ？,如果函数,在某一
2、区间上连续，则函数,在该区间上的原函数一定存在。,的 一个原函数，那么，,的所有原函数即原函数族，,其中C为任意常数。,若,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,一、不定积分的定义,定义：如果,的一个原函数，,的所有原函数,叫做,4.1.2 不定积分的定义和几何意义,例1,用微分法验证下列各式：,验证,二、不定积分的几何意义,对于每一条积分曲线，在相同的横坐标处，其斜率均为,因此：在每,一条积分曲线上横坐标相,同的点处的切线彼此平行。 （不定积分的几何意义）,o,例2 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横
3、坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是“互逆”的.,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,根据积分运算和微分运算的“互逆”关系，因此可以从求导基本公式得出基本积分公式.,一、预备知识：,由公式,得,的所有原函数为,即,4.1.3 基本积分公式,初等函数的求导公式：,基本积分表 ,说明：,二、基本积分公式,例3 求下列不定积分,解,根据积分公式,基本积分表,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,小结,练习题,1.判断下列各式是否正确：,错,错,正确,错,错,2.填空题：,习题 4-1,1.利用微分法验证下列各等式,2.求下列不定积分,习题4-1答案,本节的学习目的与要求,1 理解原函数的概念 2 了解原函数存在定理 3 理解不定积分的概念 4 了解不定积分的几何意义 5. 基本积分公式 。,本节的重点与难点,重点 1. 原函数的概念； 2 理解不定积分的概念； 3. 基本积分公式 。 难点 正确理解不定积分的概念 。,
