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1、数学与人类文明,作者：蔡天新,责任编辑：陈晓嘉 何瑜 出版日期：2010年7月 IDPN：308-2010-12 课件章数：8,第三章 中世纪的中国,先提一个问题,一个民族(历史上)数学贡献的大小与(如今) 经济是否发达有何关系?,可以肯定的是，中国（古代）科学所达到的境界是达 芬奇式的，而不是伽利略式的。 李约瑟,1 引子,1 先秦时代 正当埃及和巴比伦的文明在亚、非、 欧三大洲的接壤处发展的时候，另一个完全不同的文明在遥远的东方，也沿着黄河和长江流域发展并散播开来。,学者们通常认为，在今天新疆的塔里木盆地和幼发拉底河之间，由于一系列高山、沙漠和蛮横的游牧部落的阻隔，远古时代任何迁徙的可能性
2、都不存在。,与巴比伦和埃及一样，远古时代的中国就有数与形的萌芽。殷商甲骨文中已经使用完整的10进制，至迟在春秋战国时代，又开始出现严格的筹算记数，这种记数法分为纵横两种形式，分别表示奇数位数和偶数位数，逢零则虚位以待。,关于形，司马迁在史记（公元前1世纪）夏本纪（本纪即传记）里记载，“（夏禹治水）左规矩，右准绳”，“规”和“矩”分别是圆规和直角尺，“准绳”则用来确定垂线的器械，这算得上是几何学的早期应用。,墨家和名家,与热衷于对哲学和数学理论探讨的希腊雅典学派一样，处于同一个时代的中国战国（公元前475-前221）也有诸子百家，那是盛产哲学家的年代。其中，“墨家”的代表作墨经讨论了形式逻辑的某
3、些法则，并在此基础上提出一系列数学概念的抽象定义，甚至涉及到“无穷”。 道家的经典著作庄子记载了名家的代表人物施惠的命题“至大无外，谓之大一。至小无内，谓之小一。”此处“大一”是指无限宇宙，“小一”相当于赫拉克利特的原子。,惠施（约公元前370-前310）,矩不方，规不可以为圆； 飞鸟之影未尝动也； 镞矢之疾，而有不行、不止之时； 一尺之棰，日取其半，万世不竭； 可以看出，这与早他一个世纪的希腊伊利亚学派的芝诺所发明的悖论有异曲同工之妙。,始皇帝统一中国以后，结束了百家争鸣的局面，甚至搞了一场臭名昭著的焚书。到汉武帝时（公元前140年）则独尊儒术，名、墨著作中的数学论证思想，均失去进一步发展的
4、机会。不过，由于社会稳定，加上对外开放，经济出现了空前的繁荣，带动数学在实用和算法方向发展，并取得了较大的成就。,2 周髀算经,公元前47年，亚历山大图书馆在尤利西斯凯撒统率的罗马军队攻城时被部分烧毁，他是为了帮助他的情人克娄巴特拉女皇夺取政权。此时中国正处于第一个数学高峰的上升阶段，即西汉后期。最古老的数学著作周髀算经出现了。,周髀算经不仅成书的年代无法考证，连作者也不详。这部著作中最让人感兴趣的数学结果是勾股定理，即关于直角三角形的毕达哥拉斯定理，该定理的得出至少是在毕氏在世（公元前6世纪）以前，但是没有欧几里得在几何原本（公元前3世纪）之第一卷命题47中所提供的证明。,该定理是以记载西周
5、初年（公元前11世纪）政治家周公与大夫商高讨论勾股测量的对话形式出现的。周公是文王之子，武王之弟。武王卒后，他一度摄政。大夫商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径五”，这是勾股定理的特例，因此它又被称为商高定理。,此外，书中还有分数的应用、乘法的讨论以及寻找公分母的方法，表明平方根已经被应用了。值得一提的是，该书的对话中还提到了治水的大禹，伏羲和女娲手中的规和矩，这无疑表明已经需要测量术和应用数学了。,李约瑟认为，这似乎表明中国人从远古时代起就具有算术和商业头脑，他们对那种与具体数字无关的、单从某种假设出发得以证明的定理和命题所组成的抽象的几何学不太感兴趣。,赵爽的证明(三世纪,东吴),3九章
6、算术,与周髀算经不同,九章算术虽然作者和成书年份不详，但是基本可以确定，此书是从西周时期贵族子弟必修的六门课程（六艺）之一的“九数”发展而来，并经过西汉时期的两位数学家张苍和耿寿昌等人删补。其中张苍也是著名的政治家，曾为汉文帝的丞相。一般认为，九章算术是从先秦至西汉中叶期间经过众多学者编撰、修改而成的一部数学著作。,九章算术采用问题集的形式，264个问题分成9章，依次为：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。 可以看出，这部书的重点是计算和应用数学，仅有的涉及几何的部分也主要是面积和体积的计算。,“盈不足术”,假设一个答数为 x_1，f(x_1) = y_1，再假设另一个答数
7、为 x_2， f(x_2) = y_2，求出 x =(x_1y_2 + x_2y_1) / (y_1+y_2) = (x_2 f(x_1) - x_1 f(x_2) / (f(x_1) - f(x_2)， 如果f(x)是一次函数，则这个解答是精确的；而对于非线形函数，这个解答只是一个线形的近似值。,在13世纪意大利数学家斐波那契所著算经中有一章讲“契丹算法”，指的就是“盈不足术”，因为欧洲人和阿拉伯人古时候称中国为契丹。可以想见，“盈不足术”是借着丝绸之路，经过中亚流传到阿拉伯国家的，再通过他们的著作传至西方的。,方程术,x + 2y + 3z = 26 2x + 3y + z = 34 3x
8、 + 2y + z =39,表示未知数的符号,1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39,相当于高斯消元法,0 0 4 0 4 0 4 0 0 11 17 37,九章算术提到的另外两个贡献也非常值得称道。一是正负术，即正负数的加减运算法则；二是开方术。前者说明中国人很早就使用了负数，相比之下，印度人在7世纪才开始，而西方对负数的认识则更晚。后者表明中国人已经知道无理数的存在，可是由于是在“方程术”中遇到的，因此没有认真对待，这是与重视演绎思维的希腊人不同之处，后者一般不轻易放过一个值得追究的机会。,不足之处，例如，“方田”里的圆面积计算公式表明，对圆周率的估算是3，这与巴比伦人的结果
9、相当。而球体积的计算公式只有阿基米德所获得的精确值的一半，再考虑到圆周率取3，误差就更大了。 书中几何问题的算法一律没有推导过程，因此只是一种实用几何。,2 从割圆术到孙子定理,1 刘徽的割圆术 公元391年，在埃及的亚历山大城，由于基督教会内部的矛盾，以及该城教会与罗马教廷之间的冲突，一群基督教徒疯狂地烧毁了克娄巴特拉女王早先下令从大图书馆里抢救出来的那些宝藏。那一年，中国的东汉（发明造纸术的蔡伦和大科学家张衡*在世）已经分裂，隋朝尚未建立，正处于历史动荡的魏晋南北朝时代。,在长期独尊儒学之后，学术界的思辩之风再起，于是有了“魏晋风度”和“竹林七贤”。名士们崇尚自然、超然物外，率真任性而风流
10、自赏。他们言词高妙，不务世事，喜好饮酒，以隐逸为乐。以至于清谈或玄谈成为崇尚虚无空谈名理的一种风气，魏末晋初，以诗人阮籍、嵇康为首的“竹林七贤”便是其中的突出代表，“魏晋风度”成为风靡一时的审美理想。,在这样的社会和人文环境下，中国的数学研究也兴起了论证的热潮，多部学术著作以注释周髀算经或九章算术的形式出现，实质上是要给出这两部著作中一些重要结论的证明。前面提到的赵爽便是其中的先驱人物，成就更大的是刘徽，他也生活在公元3世纪。,刘徽用几何图形分割后重新拼合（出入相补法）等方法验证了九章算术中各种图形计算公式的正确性，这与赵爽证明勾股定理一样，开创了中国古代史上对数学命题进行逻辑证明的范例。同时
11、, 刘徽采用了极限和不可分量两种无限小方法，指出九章算术中的球体积计算公式是错误的。,在一个立方体内作两个垂直的内切圆柱，所交的部分刚好把立方体的内切球包含在内且与之相切，称为“牟合方盖”。刘徽发现，球体积与牟合方盖体积之比应该为/4，这里他实际上接近了积分学中以意大利数学家命名的“卡瓦列利原理”,注完九章算术后，第10章是刘徽自己的一篇论文，后来单独刊行，称为海岛算经。书中发展了古代天文学中的“重差术”，成为测量学的典籍。刘徽最有价值的工作是书中第一章所引进的割圆术，用以计算圆的周长、面积和圆周率。其要旨是用圆内接正多边形去逼近圆.,割圆术,他从正六边形出发，将边数逐次增加两倍，并计算出每次
12、所得的正多边形的周长和面积。 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。 利用勾股定理，正2n边形的边长可由正n边形的边长导出。,这样一来，计算才有可能，到第5次时，就得到正192边形的边长，由此得到的圆周率为 157/50 = 3.14 这与阿基米德公元前240年所得到的结果和方法基本上是一致的,刘徽后来又算出正3072边形的边长，得出了 3927/1250 = 3.1416,鉴于刘徽在数学领域所取得的卓越成就，公元1109年，宋徽宗封其为淄乡男。由于同时被封的人均是以其故乡命名，由此推断，刘徽是山东人，因为只有山东有淄博和临淄。作为儒学发祥地的齐鲁之邦，经两汉到魏晋
13、，学术空气十分浓厚，这使得刘徽受到良好的文化熏陶。从刘徽的文字里也可以看出他谙熟诸子百家言论，深得思想解放之先风,因而得以开创上述算术之演绎。,2 祖氏父子,在刘徽注释九章算术的第三年，中国（继秦朝以后）获得了第二次统一，魏国的一个将军司马炎建立了晋朝（西晋）。经济的发展和日益增加的跨地域交往刺激了地理学的发展，并产生地图学家裴秀，他提出了比例尺、方位、距离等6条基本原则，奠定了中国制图学的理论基础。,一些新的风俗习惯随之出现了，如喝茶，还发明了若干新的节约劳动力的工具，如独轮车和水磨。公元283年，道家中的博物学家兼炼丹术士葛洪也出世了。,中国比西方早的发明,活塞风箱 约14世纪 风筝 约1
14、2世纪 竹蜻蜓 约14世纪 船尾舵 约4世纪 龙骨车 15世纪 石碾 9-13世纪 提花 4世纪,可是，北方的经济区仍面临着多个外来民族入侵的危险，公元317年，晋室被迫迁到长江以南，建都建康（南京），史称东晋，一共延续了103年。此后晋朝灭亡，相继被4个军人篡权并改国号，即宋（刘宋）、齐、梁、陈，史称南朝，历时约170年，依然设都建康。就在刘宋10年，即公元429年，祖冲之出生在建康的一个历法世家。虽然他后来只在徐州做过几次小官，却是中国数学史上第一个名列正史的数学家。,在隋书里，记载了祖冲之计算出了圆周率数值的上下限， 3.1415926 3.1415927 精确到小数点后第7位。这是他最
15、重要的数学贡献，直到1424年这纪录才被伊朗数学家卡西打破，后者算到了小数点后17位。,祖冲之计算圆周率的另一项成果，即约率：22/7，密率：355/113。约率与阿基米德的结果一致，即精确到小数点后两位，后一项精确到小数点后6位。在现代数论中，如果将表示成连分数，则其渐进分数为，,3/1，22/7，333/106，355/113， 103993/33102，104348/33215， 第一项与巴比伦人和九章算术里的结果相同，可称作古率，第二项是约率，第四项是密率，,日本数学史家三上义夫（1875-1950)主张把这一圆周率数值称为“祖率”。在欧洲，直到1573年，这个分数才由德国数学家奥托重
16、新得到。遗憾的是，时至今日，我们仍然不知道祖冲之当初是如何计算出这个分数的，尚没有任何证据可以说明，中国古代已有连分数的概念或应用，而割圆术是无法直接得到祖率的。有史家猜测，他是用同样发明于南北朝的“调日法”获得的。,调日法,假如a/b，c/d分别为不足和过剩近似分数，那么适当选取 m、n，新得出的分数 （ma+nc）/（mb+nd）有可能更接近真值。这个方法是由刘宋政治家何承业首先提出来的。如果在157/50（刘徽）和22/7（约率）之间选择m=1，n=9，或在3/1（古率）和22/7之间选择m=1，n=16，均可获得355/113（密率）。,和刘徽一样，祖冲之的另一项成就也是球体积的计算。此项结果在他本人撰写的一篇政论文章驳议
