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1、一、变上限定积分,第五章 定 积 分,第二节 微积分的基本公式,二、微积分的基本公式,一、变上限定积分,如果 x 是区间 a, b上任意一点，定积分,表示曲线 y = f (x) 在部分区间 a, x 上曲边梯形AaxC 的面积，,如图中阴影部分所示的面积.,当 x 在区间 a, b 上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，,所以变上限定积分,是上限变量 x 的函数.,记作 (x)，,即,(x),定理 1 若函数 f (x) 在区间 a, b 上连续，,则变上限定积分,在区间 a, b 上可导，,并且它的导数等于被积函数，,即,证 按导数定义，,给自变量 x 以增量 x，x + x a,
2、b，,由 (x) 的定义得对应的函数 (x) 的量 (x)，,即, (x) = (x + x) - (x),x + x,根据积分中值定理知道，在 x 与 x + x 之 间至少存在一点 x ，, (x),又因为 f (x) 在区间 a, b 上连续，,所以，当x 0 时有 x x， f (x) f (x)，,从而有, (x),故,使,成立.,定理 1 告诉我们，,是函数 f (x) 在区间 a, b 上的一个原函数，,这就肯定了连续函数的原函数是存在的，,变上限定积分,解 根据定理 1，得,例 2,求 F (x).,解 根据定理 1，得,例 3,求 (x).,解, (x),例 4,解,二、微积
3、分的基本公式,定理 2 如果函数 f (x) 在区间a, b上连续，,F(x) 是 f (x) 在区间 a, b 上任一原函数，,那么,证 由定理 1 知道,f (x) 在 a, b 上的一个原函数，,又由题设知道 F(x) 也是 f (x) 在 a, b 上一个原函数，,由原函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只相差一个常数，,即,把 x = a 代入式中，,则，常数 C = F(a)，,于是得,令 x = b 代入上式中，,移项，得,再把积分变量 t 换成 x，,为了今后使用该公式方便起见，把 式右端的,这样 式就写成如下形式：,得,例 6 计算下列定积分.,解,例 7 计算下列定积分.,解,解 把被积函数化简.,例 8 计算,解,
