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1、石嘴山三中2019届第三次模拟考试理科数学能力测试第I卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合，集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，所以，故选B.2.若复数z满足（为虚数单位），则A. B. C. D. 【答案】A【解析】设，则，即，由复数相等的定义可得，解得，所以，故，故选A.3.设的内角的对边分别为,若且，则（ ）A. 3B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知求得，再利用正弦定理即可求得,可得或，结合，即可求得，再利用余弦定理即可求解。【详解】因为，所以且由正弦定理可得：，
2、即：解得：，所以或当时，此时，与矛盾，所以舍去.当时，由余弦定理可得：所以故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理及三角函数求值，还考查了余弦定理及分类思想，考查计算能力，属于中档题4.已知菱形的边长为，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.考点：向量的数量积的运算.5.已知正三角形的边长为，那么的平面直观图的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由原图和直观图面积之间的关系，求出原三角形的面积，再求直观图的面积即可正三角形ABC的边长为a，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系，故直观图
3、的面积为，故选D.考点：斜二测画法6.以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又由双曲线的渐近线互相垂直，所以，进而可求解双曲线的方程，得到答案。【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以，则该双曲线的方程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。7.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶
4、数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】两个数之和为偶数，则这两个数可能都是偶数或都是奇数，所以。而，所以，故选B8.三棱锥P-ABC中，PA面ABC，PA=2，AB=AC=，BAC=60，则该棱锥的外接球的表面积是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得，为等边三角形，边长为面，则该三棱锥的外接球是以为底面，为高的三棱柱的外接球的外接圆半径为，则球心到面外接圆圆心的距离为，故外接球该棱锥的外接球的表面积故选9.袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的
5、方法估计恰好在第三次停止的概率利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】从18组随机数中，找到恰好第三次就停止的有4组，由古典概型概率公式可得结果.【详解】因为随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：，共
6、4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C.【点睛】本题主要考查随机数的应用以及古典概型概率公式，属于中档题. 在解答古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.10.已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，设，则，所以，即，又，所以，故选A考点：椭圆的几何性质【名师点睛】本题考查椭圆离心率的范
7、围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义11.将函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A. B. C. D. 【答案】D【解析】将函数向左平移个单位后，得到函数解析式为：图象关于点对称则对称中心在函数图象上，可得：解得，则函数在上的最小值为故选12.设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先构造函数
8、，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，所以在上单调递减，所以在R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因为当时，所以函数在时单调递减，由选项知，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.若二项式的展开式中的常数项为，则= 【答案】2【解析】【分析】先根据二项式定理的通项公式列出常数项，建立等量关系，解之即可求出a.【详解】
9、 令3r0，r3，常数项为C63a320a3160，a38，a2.故答案为：2.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14.已知，则的值为 【答案】3【解析】试题分析：考点：两角和差的正切公式15.已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为_.【答案】【解析】【分析】先根据等边面积为，求母线长，再根据轴截面的面积为8，求得底面半径，最后根
10、据圆锥侧面积公式以及底面积求圆锥的表面积.【详解】因为等边面积为，所以，因为轴截面的面积为8，所以，从而圆锥的表面积为【点睛】本题考查圆锥侧面积公式以及轴截面，考查基本分析求解能力.属基本题.16.已知数列满足，且点在直线上若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】将点代入直线可得：，即可求得，即可得：，问题得解。【详解】将点代入直线可得：.所以数列是以为首项，公差为的等差数列.所以所以当且仅当时，等号成立要使得恒成立，则所以【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及不等式的性质，还考查了方程思想及转化思想，考查化归能力，属于中档题。三、解答题：本大题共6小题，共70分，
11、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设数列前n项和为，且满足，试确定r的值，使为等比数列，并求数列的通项公式；在的条件下，设，求数列的前n项和【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）由已知令n=1即可求得；当n2时，与已知式作差得，即从而可知欲使an为等比数列，则，从而可求出r的值，进而可写出数列an的通项公式；（）由（）可得，从而，按n小于6和大于等于6讨论可求出数列的前n项和Tn试题解析：（）解：当n = 1时，1分当n2时，与已知式作差得，即欲使an为等比数列，则，又，5分故数列an是以为首项，2为公比的等比数列，所以6分（）解：，若，9分若,，12分考点：1等比数列的概念及通
12、项公式；2等差数列的前n项和.18.我国2019年新年贺岁大片流浪地球自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为流浪地球好看的概率为，女性观众认为流浪地球好看的概率为.某机构就流浪地球是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设表示这4名观众中认为流浪地球好看的人数，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.(1) 设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则,从
13、而可得结果；(2)的可能取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望.【详解】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.（1）设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则, .（2）的可能取值为0，1，2，3，4， ，= ，, ，, ， ，的分布列为01234.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率
14、积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.19.如图，在四棱锥中，平面，四边形满足且，点为的中点，点为边上的动点，且.（1）求证：平面平面；（2）是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再证明平面，进而可得平面平面；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间
