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1、数学实验.实验24.某日凌晨一住所发生一件凶杀案，警方于6时到达现场后测得尸温26，室温17，2小时后尸温下降了3，试根据冷却定理建立差分方程，估计凶杀案发生的时间（可设正常体温为37）解：设t0为正常体温，y为死亡后人的体温，x为时间。差分方程由冷却定理得。冷却定律：T=C+(T0-C)*e-kt C是室温，T0是人体常温37，T为死亡后第t小时的体温，k为可求常数。程序：函数function y=swsj1(x)%带参数求得k=0.2027，令a=kt0=37;a=0.2027y=17+(t0-17)*exp(-a*x)endn=6;x=0:n; y=swsj1(x)plot(x,y,r*
2、)gtext(死亡时间),运行结果：a = 0.2027y = 37.0000 33.3305 30.3342 27.8877 25.8900 24.2589 22.9271y = 37.0000 33.3305 30.3342 27.8877 25.8900 24.2589 22.9271由结果知此人的死亡时间为2:00.5.据报道，某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别是1.68%，0.55%和-4.50%，假定开始时有100只山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化过程及趋势：（1）3种自然环境下25年的变化过程（作图）；（2）如果每年捕获三只，会发生什么情况？山猫会灭绝吗
3、？如果每年捕获一只呢？（3）在较差的自然环境下，如果想使山猫数量稳定在60只左右，每年需要人工繁殖多少只？（1）3种自然环境下25年的变化过程（作图）程序:function x=cat(x0,n,r) x=x0;for k=1:n x(k+1)=(1+r)*x(k);endk=(0:25);y1=cat(100,25,0.0168);y2=cat(100,25,0.0055);y3=cat(100,25,-0.0450);round(k,y1,y2,y3)plot(k,y1,k,y2,r:,k,y3,g-),gridgtext(较好环境),gtext(中等环境),gtext(较差环境)结果：a
4、ns = 0 100 100 100 1 102 101 96 2 103 101 91 3 105 102 87 4 107 102 83 5 109 103 79 6 111 103 76 7 112 104 72 8 114 104 69 9 116 105 66 10 118 106 63 11 120 106 60 12 122 107 58 13 124 107 55 14 126 108 52 15 128 109 50 16 131 109 48 17 133 110 46 18 135 110 44 19 137 111 42 20 140 112 40 21 142 112
5、 38 22 144 113 36 23 147 113 35 24 149 114 3325 152 115 32（2）如果每年捕获三只，会发生什么情况？山猫会灭绝吗？如果每年捕获一只呢？（i）每年捕获三只程序:function x=cat(x0,n,r) x=x0;for k=1:n x(k+1)=(1+r)*x(k)-3;endcommand窗口程序同第一问结果：ans = 0 100 100 100 1 99 98 93 2 97 95 85 3 96 93 78 4 95 90 72 5 93 88 66 6 92 85 60 7 90 83 54 8 89 80 49 9 87 7
6、7 43 10 86 75 39 11 84 72 34 12 83 70 29 13 81 67 25 14 79 64 21 15 78 62 17 16 76 59 13 17 74 56 10 18 73 54 6 19 71 51 3 20 69 48 0 21 67 46 -3 22 65 43 -6 23 63 40 -9 24 61 37 -11 25 59 35 -14(ii) 每年捕获一只程序:function x=cat(x0,n,r) x=x0;for k=1:n x(k+1)=(1+r)*x(k)-1;endcommand窗口程序同第一问结果:ans = 0 100
7、100 100 1 101 100 95 2 101 99 89 3 102 99 84 4 103 98 79 5 104 98 75 6 104 97 70 7 105 97 66 8 106 96 62 9 107 96 59 10 107 95 55 11 108 95 51 12 109 94 48 13 110 94 45 14 111 93 42 15 111 93 39 16 112 92 36 17 113 92 34 18 114 92 31 19 115 91 29 20 116 91 26 21 117 90 24 22 118 90 22 23 119 89 20 2
8、4 120 88 18 25 121 88 16答:若每年捕获三只,无论在什么环境情况下,均会灭绝;若每年捕获一只,则在中等和较差的环境下会灭绝.（3）在较差的自然环境下，如果想使山猫数量稳定在60只左右，每年需要人工繁殖多少只？程序:syms bsolve(60-(1-0.0450)*60-b)结果: ans = 27/10答: 在较差的自然环境下，如果想使山猫数量稳定在60只左右，每年需要人工繁殖3只.8.在某种环境下猫头鹰的主要食物来源是田鼠，设田鼠的年平均增长率为r1，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰数量成正比，比例系数a1；猫头鹰的年平均减少率为r2；田鼠的存在引起的猫头鹰
9、减少率增加与田鼠的数量成正比，比例系数为a2，建立差分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时数量变化规律，对以下情况作图给出50年的变化过程。解：设x为田鼠数，y为猫头鹰数。程序如下：函数：function z=ms(x0,y0,r1,r2,a1,a2,n)x=x0;y=y0;for k=1:n x(k+1)=(1+r1-a1*y(k)*x(k); y(k+1)=(1-r2+a2*x(k)*y(k);endz=x,y;运行结果；ans = 37.2001z = 2y = 0 37.2001 33.5035 30.4834 28.0159 26.0000（1）设r1=0.2，r2=0.3,a1=0.00
10、1，a2=0.002,开始时有100只田鼠和50只猫头鹰。z=ms(100,50,0.2,0.3,0.001,0.002,50);k=(0:50);k,z plot(k,z(:,1),k,z(:,2),grid,gtext(x(k),gtext(y(k),(2)r1,r2,a1,a2同上，开始时有100只田鼠和200只猫头鹰。z=ms(100,200,0.2,0.3,0.001,0.002,50);k=(0:50);k,z plot(k,z(:,1),k,z(:,2),grid,gtext(x(k),gtext(y(k),(3)适当改变参数a1,a2（初始值同上）。令a1=0.003,a2=0
11、.001,有如下数据图像z=ms(100,200,0.2,0.3,0.003,0.001,50);k=(0:50);k,z plot(k,z(:,1),k,z(:,2),grid,gtext(x(k),gtext(y(k),（4）求差分方程的平衡点，它们稳定吗？令x(k)=x(k+1)=x,y(k)=y(k+1)=y,得平衡点是(150，200)。但是由图像可以看出它们并不稳定。9.研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用，草的生长遵从Logistic规律，年固有增长率0.8，最大密度为3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉1.6（密度单位）的草，若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9，而草的存在可使鹿的死亡的以补偿，在草最茂盛时补偿率为1.5，作出一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就一下情况进行讨论，（1）比较将100只鹿放入密度为1000和密度3000的草场两种情况。（2）适当改变参数，观察变化趋势。解：设x为鹿群数，y为草的数量，H为草场的最大密度。（1）程序：function z=chl(x0,y0,n)H=3000;x=zeros(1,n);y=x;a=x;b=x;a(1)=1.6;b
