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1、北京54和西安80坐标系下的坐标转换及 精度分析在Excel中的实现 刘科利 (山东理工大学建筑工程学院 山东 淄博 255049) 提要 北京54和西安80坐标换算是工程建设中经常遇到的问题,可使不同坐标系统下的测绘成果得到充分利用, 因此快速准确地进行坐标转换及评定转换的精度是非常必要的。Excel电子表格有强大的数据处理功能,处理结果 直观性好和操作简单,因此得到广泛的应用。该文利用Excel的优点,并采用重心化坐标使计算更加简单,实现了 北京54和西安80坐标转换参数求解、 精度评定和坐标之间的相互转换表格输出。 关键词 平面坐标转换 重心化 转换参数 精度评定 Coordinates
2、 Transformation and Accuracy Analysis between Beijing 54 and Xian 80 Coordinates Systems in Excel Liu Keli (School of Architecture Engineering ,Shandong University of Technology ) Abstract The coordinates transformation between Beijing 54 and Xian 80 geodetic coordinates systems is the question whic
3、h in engineering construction meets frequently. T o make full use of surveying results in different geodetic coordinates systems ,it is necessary to transform coordinates and evaluate transform precision from one coordinate system to another. There are more characteristics in Excel such as powerful
4、data processing func2 tion , good intuitiveness in processing results , simple operation and so on , so it gets extensive application. Based on advantages of Excel ,adopting gravity2centralized coordinates in this paper ,the coordinates transforma2 tion ,parameter solution , precision evaluation and
5、 chart processing in mutual system coordinates and printing between Beijing 54 and Xian 80 coordinates system are realized. Keywords plane coordinates transformation;gravity2centralized;transformation parameters; precision evalua2 tion 作者简介:刘科利(1966 - ) ,男,实验师,主要从事大地测量方面的 实践教学与研究工作。 收稿日期:2008 - 02 -
6、 26 1 引言 北京54和西安80坐标转换是二维坐标转换, 其任务是把 54( 或 80) 坐标系的坐标通过某种变换, 得到 80( 或 54) 坐标系的坐标,一是计算转换参数, 二是把一个坐标系的坐标通过模型计算出另一种坐 标系的坐标,这个过程叫坐标转换。文献1导出了 平面坐标的旋转转换,进而推导了平移、 缩放、 旋转 同时作用的平面直角坐标转换和逆变换的一套公 式。大量文献对坐标转换模型和参数求解方法进行 了研究26,文献7把罗德里格矩阵和反对称矩阵 引入平面坐标转换模型,来直接计算转换参数;文献 89对参数精度进行了探讨。Excel电子表格数 据处理功能强大、 直观性好、 操作简单,因
7、此Excel 电子表格在测绘计算中应用广泛1011,但只用 Excel并不能直接完成所有平面坐标转换的计算和 表格输出。本文为了削除模型病态性和以提高解算 参数的精度及使法方程式部分元素为零,使模型解 算简单化,采用了重心化坐标。 2 模型的建立 北京54坐标x , y和西安80坐标X , Y相互转 换可用模型形式17 X Y = a b + cos-sin sincos x y (1) 42 勘 察 科 学 技 术 2008年第5期 式中a , b称为平移因子,称为尺度因子,称为旋 转参数,此模型是非线性的,需转化为线性模型 X Y = a b + cd -dc x y (2) 式中, c=
8、cos, d= -sin,=c2+d2,如果已 知两个点在北京54和西安80坐标系下相应的坐 标,就可计算出a、b、c、d四个转换参数,如果已知 两套坐标的控制点多于两个,就有多余观测,就要通 过平差计算出四个转换参数。我们将北京54坐标 系下的坐标作为观测值,西安80坐标系下的坐标为 无误差,则任一公共点i对应的误差方程为: vXi= a + cxi+ dyi-Xi vYi= b -dxi+ cyi-Yi (3) 若有n个公共点,可列出n组如(3)式的误差方程 vX1 vY1 vX2 vY2 vXn vYn = 10x1y1 01y1-x1 10x2y2 01y2-x2 10xnyn 01y
9、n-xn a b c d - X1 Y1 X2 Y2 Xn Yn (4) 法方程为 n0 x y 0n y- x x y x2+ y20 y- x0 x2+ y2 a b c d - X Y xX + yY yX -Yx =0(5) 为了计算简单,将坐标重心化。重心化的目的有二, 其一是法方程中多项变为0,使计算简单化,其二是 坐标位数明显减少,即坐标位数由原来的7位整数 减少至4位,法方程式最大系数由15位减少到9 位,从而极大地削除了法方程病态性,条件数由 1173151013变为91499107,从而达到提高计算精 度的目的。以xg和yg表示重心坐标,则各点重心 化坐标为 xi= xi-
10、 x n = xi-xg yi= yi- y n = yi-yg (6) 不难证明 x= 0, y = 0 , ( 5)式变为 n000 0n00 00 x2+ y20 000 x2+ y2 A B C D - X Y xX + yY yX -xY =0(7) 由此可见,法方程系数阵变为对角阵,转换参数 A = X n , B = Y n , C = xX + yY x2+ y2 , D = yX -xY x2+ y2 (8) 转换参数的协因数为 QAA= 1 n QBB= 1 n QC C = 1 x2+ y2 QD D = 1 x2+ y2 (9) 根据(2)式有 X Y = A B +
11、C D - D C x -xg y -yg (10) 展开并整理 X Y = a b + C D - D C x y (11) 式中, a =A -C xg-D yg, b =B +D xg-C yg, c = C , d =D , ( 11)式就是非重心化坐标之间的转换关 系的计算公式,其协因数为 Qaa= QAA+ x2gQC C+ y2 gQD D Qbb= QBB+ y2gQC C + x2gQD D Qcc= QC C Qdd= QD D (12) (2)式的逆变换为 x y = 1 2 c-d dc X-a Y-b (13) 式中,=c2+d2 , ( 13)式就是由西安80坐标计
12、算 北京54坐标的公式。 3 坐标转换的Excel实现 通过实例说明用Excel实现坐标转换所有计算 522008年第5期 勘 察 科 学 技 术 的方法。选用的数据是某地区的多个公共点,选取 7个已知点列于表1、 表2 ,用于计算转换参数,其余 各点用于检查坐标转换精度。先求出重心化的转换 参数,再计算原坐标下的转换参数,具体过程如下: 表1 北京54坐标和西安80坐标相互转换计算界面 表2 北京54坐标和西安80坐标相互转换计算界面 1) 用COUNT(A3 :A9)求出公共点个数。 2) 计算重心化坐标。在C10F10单元格计算 北京54和西安80坐标的和,在C11 :F11单元格计 算
13、坐标的平均值。选中C3 :F10单元格,单击工具条 上的 “ ”,求出对应的坐标和;选中C11单元格,输 入计算公式: = AVERAGE(C3 :C9) ,回车,选中C11 单元格,将鼠标指针置于该单元格的右下角,此时指 针形状将变为填充句柄(一个黑色加号 ) , 拖动填充 句柄至F11 ,求出对应坐标的平均值,其中E11、F11 是法方程中转换参数A、B的值。 3) 计算法方程中各项的值。 计算x2, y2, xX , y Y, yX , xY, x2+y2 , X , 62 勘 察 科 学 技 术 2008年第5期 Y , xX+yY , yX-xY的值。方法是选中A14 单元格,输入计
14、算公式: = (C3 -C 11) 3 (C3 - C 11) ,回车,选中A14单元格,拖动A14单元格 的填充句柄至A20 ,选中A21单元格,输入计算公 式: = SUM(A14 :A20) ,回车,求出 x2值,同理求出 y2值。 选中C14单元格,输入计算公式: = (C3 -C 11) 3E3 ,回车,选中C14单元格,拖动C14单元格 的填充句柄至C20 ,选中C21单元格,输入计算公 式: = SUM(C14 :C20) ,回车,求出 xX 值,同理,求 出 yY、 yX和 xY的值。 其它各符号值的计算比较简单,从而略去。 4)求重心化坐标的转换参数A 、B 、C 、D 。
15、5)根据式(11)求原坐标下的转换参数a 、b 、c 、d 。 6)求比例因子的值。 7) 由北京54坐标计算西安80坐标。 将54坐标输入在单元格C33 :D40中,选中E33 单元格,输入计算公式: =C29 +E293C33 +F293D33 ,回车,选中E33单元格,拖动E33 单元格的填充句柄至E40 ,求出上述控制点在西安 80坐标系下的X坐标值。同理求出西安80坐标系 下的Y坐标值。 8) 由西安80坐标计算北京54坐标。 将上述已知控制点西安80坐标输入到单元格 E43 :F49中,选中C43单元格,输入计算公式: =D 303(E293(E43 -C29) -F293 (F43 -D29) ,回车,选中C43 单元格,拖动C43 单元格的填充句柄至C49 ,求出北京54坐标系下X 的坐标,同理计算出Y坐标。 9) 计算单位权中误差,其值为0. 0204566。 10)a 、b 、c 、d 中
