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1、精密测量理论与技术基础,孙长库,精密仪器与光电子工程学院,第五章 测量数据处理,有效数字的取舍与运算,组合测量数据的最小二乘法处理,异常值的判断与剔除,2,间接测量方程的最小二乘法求解,第一节 有效数字的取舍与运算,第五章 测量数据处理,3,一、保留原则,最末一位数字不可靠，倒数第二位可靠（最末一位有效数字与测量分辨力是同一量级） 对没有小数位且以若干个零结尾的数值，从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零（即仅为定位用的零）的个数。对其他十进位数，从非零数字最左一位向右数而得到的位数，就是有效位数。 举例： 35000, 350102 0.0035, 0.00350,4,二、舍入规则,末
2、位后的数字小于0.5时，则舍去，即保留的末位数字不变 末位后的数字大于0.5时，则进一，即保留的末位数字加1 末位后的数字恰为0.5时，使末位为偶数，即末位数字为奇数则进一，为偶数则舍弃,5,3.142 2.717 4.510 3.216 6.379 7.691 5.435,三、运算规则,加减：以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可以相同，也可多取一位数字（安全数字），但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同； 乘除：以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可以相同，也可多取一位数字（参考数字），但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同； 乘方或开方：运算结果的有效位数应比原数据多保留一
3、位有效位数。 例：1648.0+0.0082+1.632+86.62+5.135+316.34+0.545 1648.0+0.01+1.63+86.62+5.14+316.34+0.54 = 2058.28 ? 0.0121*1.36872 0.0121*1.3687 = 0.01656127 ？,6,第二节 异常值的判断与剔除,第五章 测量数据处理,7,异常值含有粗大误差（或过失误差）,测量人员的主观原因 客观外界条件的原因 仪器内部故障,8,测量者工作责任感不强、工作过于疲劳、缺乏经验操作不当，或在测量时不小心、不耐心、不仔细等，造成错误的读数或记录,测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振
4、动、电磁干扰等）,一、异常值产生的原因,二、异常值的判别准则,1. 莱以特准则（ 准则 ） 莱以特准则是最常用也是最简单的判别异常值的准则，它是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数较少，因此该准则只是一个近似的准则。 若 则可认为该数据 含有异常值，应予以剔除。,9,10,2. 罗曼诺夫斯基准则（t 检验准则，测量次数较少时较为合理）,11,首先剔除一个可疑的测得值，然后按 t 分布检验被剔除的值是否是含有异常值。 测量数据： ，若认为某个测量值 为可疑数据，将其剔除后计算平均值为 求得测量数据列的实验标准差 根据测量次数 n 和选取的显著度 ，查 t分布得检验系数 。 若 ，则认为测量值
5、确实含有异常值。,二、异常值的判别准则,t分布检验系数表,12,用前面例子的测得值 解：首先怀疑第八组测得值是异常值，将其剔除。然后根据剩下的14个测量值计算平均值和标准差，得 选取显著度 ，已知 n15，查表得 则 因 故第八组测量值是异常值，应予剔除。然后对剩下的14个测得值进行判别，可知这些测得值不再含有异常值。,2. 罗曼诺夫斯基准则,二、异常值的判别准则,14,1950年格拉布斯（Grubbs）根据顺序统计量的某种分布规律提出一种判别异常值的准则。 为了检验 中是否含有异常值，按大小顺序排列成顺序统计量 取一定显著度(一般0.05或0.01)，查表（下页）得临界值,判据： ，可判别该
6、测得数据中含有异常值,二、异常值的判别准则,3. 格拉布斯准则,15,格拉布斯临界值,16,今有两测得值 ， 可怀疑，但由于 故应先怀疑 是否含有异常值，计算 查表得 则 故测量数据中第八个测得值 含有异常值，应予剔除。 剩下的14个数据，再重复上述步骤，判别 是否是异常值。 计算 故可判别 不是异常值，而各 皆小于1.18，故可认为其余测得值也不是异常值。,3. 格拉布斯准则,格拉布斯准则使用的注意事项,在应用上述准判断异常值时，若同时有两个以上的测得值的残差vi超出判断界限，也只能剔除其中|vi |最大的那一个数据（如有两个相同的数据超限，也只能剔除其中的任一个）。即，一次只能剔除一个超限
7、的数据。 之后再按剩下的（n-1）个数据重新计算算术平均值、残差及实验标准差，继续判断另一个可疑数据，直到全部数据无问题为止。 注：那些在前次判断中和被剔除的数据同时超限的次大（或同样大）的数据，在重新计算后，其|v|可能不再超过判断界限。,17,二、异常值的判别准则,4. 狄克松准则,18,设正态测量总体的一个样本 按大小顺序排列成顺序统计量 构造检验高端异常值 和低端异常值 ，分以下几种情形： 选定显著度 ，查表得到各统计量的临界值 ，若统计值大于临界值，则认为 x(n) 是异常值。,二、异常值的判别准则,19,狄克松准则（临界值表）,20,同前例测量数据，将 排成如下表顺序测量。 首先判
8、断最大值 ，计算统计量 查表得： 则 ，故 不是异常值。 再判别最小值 ，计算统计量 因 ，故 是异常值，应予剔除。剩下14个数据，再重复上述步骤。,4.狄克松准则,小结异常值的判别准则,大样本情况（ n50）用莱以特准则最简单方便，虽然这种判别准则的可靠性不高，但它使用简便，不需要查表，故在要求不高时经常使用； 20n100，用格拉布斯准则效果较好； 用狄克松准则适于快速剔除异常值； 当测量次数很少时，可根据情况采用罗曼诺夫斯基准则。 对于较精密测量的实验，可选用第2、第3种准则同时判断，当一致认为某值应剔除或保留时，则可以放心地加以剔除或保留；当几种方法的判断结果有矛盾时，则应慎重考虑。
9、留下某个怀疑的数据后算出的 只是偏大一点，这样较为安全 可以再增添测量次数，以消除或减少它对平均值的影响。,21,第三节 间接测量方程的最小二乘法求解,第五章 测量数据处理,22,问题的提出 由于测量数据包含测量误差，故适当增加测量次数减小随机误差的影响。当测量次数n大于未知量个数t时，如何由测量数据 l1, l2 , ，ln 获得最可靠值 x1, x2, ，xt ? 最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可靠值的估计问题。,一、最小二乘法原理,23,直接测量量Y与该t个未知量有函数关系Yf(X1, X2, , Xt) t个未知量X1, X2, , Xt的最佳估计值x1, x2 , ,
10、 xt Y1 , Y2 , , Yn的最佳估计值 y1 , y2 , , yn 进行n次测量，测得数据 l1, l2 , , ln,函数关系,估计值,残差方程,一、最小二乘法原理,24,25,进行n 测量，得到一组数据 ，无偏(不存在系统误差和异常值)，相互独立，且服从正态分布，其标准差为 测得值 出现于相应真值附近 的概率,一、最小二乘法原理,26,最可靠值应满足,权因子,虽然是在正态分布下导出最小二乘法。实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。,若等权,测得值 同时出现在相应真值附近区域的概率为,最大似然原理：既已出现，则概率最大,一、最小二乘法原理,27,矩阵形式,最
11、小二乘原理：测量结果的最可靠值应在残余平方和为最小的条件下求出。,一、最小二乘法原理,28,n个残差方程- t 个正规方程- 求解t个被测量的最佳估计值,二、正规方程求解,代数形式,残差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组,29,例题,求解步骤：1.列残差方程 2.列正规方程 3.求解,30,二、正规方程求解,矩阵形式,代数形式,31,知识补充：矩阵求导,矩阵的导数有如下性质：,32,最小二乘法原理式,求导,不等权,正规方程组,正规方程组解,正规方程的矩阵表达式,二、正规方程求解,矩阵形式,33,（加权）,未知量个数,残差,2. 待求量 x1, x2, ，xt 的实验标准差为,直
12、接测量量的标准差,对角元素,三、标准差估计,第四节 组合测量数据的最小二乘法处理,第五章 测量数据处理,34,为精密测定1、2、3号电容器的电容量x1, x2, x3， 进行了等权、独立、无系统误差的测量。测得 1号电容值 l1 = 0.3 2号电容值l2 = - 0.4 1号和3号并联电容值 l3 = 0.5 2号和3号并联电容值 l4 = - 0.3,待测值 x1, x2, x3,直接测量值l1, l2, l3, l4,t=3个未知量,n=4 次测量,引题组合测量问题,35,36,组合测量指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。,一、
13、组合测量的基本概念,37,【解】,列出测量残差方程组,矩阵形式,二、最小二乘法求解,38,正规方程组,二、最小二乘法求解,39,三、标准差的计算,40,【例】,要求检定线纹尺 0，1，2，3 刻线间的距离 。已知用组合测量法测得下图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求 及其实验标准偏差。,例题,41,计算步骤,【解】,列出测量残差方程组,42,解出,即,计算结果,计算步骤,43,代入残差方程组可得,估计的标准差,计算步骤,44,下图为大型直角尺互检的示意图。两被检直角尺和安装在检验板上，测微表座紧贴在尺的长边工作面上，测头和尺垂直接触，自上而下移动测微表，取其最大与最小值之差记为A，则A为尺和的垂直度误差1和2之代数和。用四支直角尺互检6次，所得组合测量方程组如下，可求得各尺垂直度误差。请列出此组合测量的误差方程，并以矩阵形式表示之。 12A， 13B， 14C 23D， 24E， 34F,当基准是直线，被评价的是直线时，垂直度是垂直于基准直线且距离最远的两个包含被测直线上的点的平面之间的距离,作业题,
