《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第4章 向量组的线性相关性 4.1 向量组及其线性组合》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第4章 向量组的线性相关性 4.1 向量组及其线性组合（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1 向量组及其线性组合,首页 上页 下页 返回 结束,向量是数学中最基本的概念之一，,数研究的主要对象，,它也是线性代,它的理论和方法,已经渗透到自然,科学、,工程技术、,经济管理等许多领域,利用向量理,论,我们还可以进一步加深对矩阵和线性方程组内容的,理解,首页 上页 下页 返回 结束,定义4.1,由,个数,所组成的有序数,组,维向量，,其中,第,个数,称为这个向量的,第,个分量,分量全为实数的向量称为实向量，,向量称为复向量,分量为复数的,在这里只讨论实向量,由,所组成的,维向量,可以写成一行，,即,也可以写成一列，,即,称为,按第2章矩阵的定义，,它们分别是行矩阵和列矩,也称为行向量
2、和列向量，,都可按矩阵的运算法则进行运算,且规定行向量和列向量,阵，,因此，,形式表示的,用两种不同,以后看作是两个不同的向量,（注：仅按向量定义，它们表示同一个向量）.,在这里，,列向量用小写字母,等表示，,量用转置符号,等表示,行,维向量,首页 上页 下页 返回 结束,注：这里所讨论的向量，在没有指明是行向量还,是列向量时，,则，行向量,都指列向量,由若干个同维数的列向量,的集合称为向量组,或同维数的行向量组成,例如，若列向量,首页 上页 下页 返回 结束,向量组可能含有有限个向量，,个向量,例如，,一个,矩阵的全体列向量,组成一个含,个,维列向量的向量组，,它的全体行向量,个含,组成一,
3、个,维行向量的向量组,行向量组都是含有有限个向量的向量组,矩阵的列向量组和,反之，,含有有限个向量的向量组,一个,也可以构成一个矩阵,例如，,含,个,维列向量的向量组,构成矩阵,也可能含有无限多,首页 上页 下页 返回 结束,因此，含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一,对应.,齐次线性方程组,当,时，,全体解向量,它的,维列向量的向量,下面，先讨论含有限个向量的向量组，,所得到的一些结论,然后再把,组,推广到含无限多个向量的向量组上,组成一个含有无限多个,首页 上页 下页 返回 结束,将系数矩阵,按列分块，,未知数向量,按行分块，,方程组可表示成如下形式：,则,即,设,元非齐次线性方程组,首页
4、 上页 下页 返回 结束,这个等式的左端,的线性运,使,算，,称为向量组,的线性组合，,称为这个线性组合的系数,等式的右端,量组的线性组合，,等于这个向,称向量,能由向量组,线性表示,若这个方程组有解，,即存在一组实数,是向量组,首页 上页 下页 返回 结束,一般地，有,定义4.2,设向量组,一组实数,对于任意,称表达式,为向量组,的一个线性组合，,性组合的系数,称为这个线,对于向量,如果存在一组实数,使,首页 上页 下页 返回 结束,则称向量,能由向量组,线性表示,向量,能由向量组,线性表示，,等价于非齐次线,性方程组,有解,因此，,定理4.1,向量,能由向量组,表示的充分必要条件是,线性,
5、矩阵,的秩,等于矩阵,的秩,可得,由定理3.5,首页 上页 下页 返回 结束,例4.1,设向量组,向量,和,证明向量,能由向量组,线性表示，,求出表示式,并,解,设矩阵,矩阵,首页 上页 下页 返回 结束,先将矩阵 B 化成行阶梯形矩阵,首页 上页 下页 返回 结束,再将,的行阶梯形化成行最简形：,线性方程组,向量,能由向量组,线性表示,的同解方程组：,首页 上页 下页 返回 结束,表示式,首页 上页 下页 返回 结束,定义4.3,设向量组,和向量组,如果,组中的每个向量都能由向量组,线性表示，,则称向量组,能由向量组,线性表示,果向量组,如,与向量组,能相互线性表示，,向量组等价,则称这两个
6、,向量组,能由向量组,线性表示，,即对每个向量,存在一组数,使,首页 上页 下页 返回 结束,若令矩阵,则上式可表示为,即矩阵方程,有解,首页 上页 下页 返回 结束,由定理3.6，,可得：,定理4.2,向量组,能由向量组,线性表示的充分必要条件是,矩阵,的秩,的秩，,即,由定理4.2，得,等于矩阵,首页 上页 下页 返回 结束,推论,向量组,与向量组,等价的充分必要条件是,其中A和B,分别是向量组 A和B,所构成的矩阵,例4.2,设向量组,首页 上页 下页 返回 结束,证明向量组,与向量组,等价,证,设矩阵,矩阵,将,化成行阶梯形矩阵:,首页 上页 下页 返回 结束,矩阵,又,中有一个2阶子
7、式,故向量组,与向量组,等价.,例4.3,设向量组,由,维向量,组成，,矩阵,为,矩阵，,阶单位阵,首页 上页 下页 返回 结束,的列向量,称为,位坐标向量,维单,证明向量组,能由向量组,线性表示的充分必要条件是,证,由定理4.2，,向量组,能由向量组,线性表示的充分必要条件是,而,是一个,矩阵，,上述的充分必要条件,首页 上页 下页 返回 结束,定理4.3,若向量组,能由向量组,线性表示，,则,证,设矩阵,因为向量组 B 能由向量组 A 线性表示，,由定理4.2，,又,故,首页 上页 下页 返回 结束,若两个矩阵行（列）等价，,（列）向量组有什么关系呢？,那么这两个矩阵的行,结论：,若矩阵 A 与 B 行等价，,则 A 的行向量组,与 B 的行向量组等价；,若矩阵 A 与 B 列等价，,则 A,的列向量组与 B 的列向量组等价.,证明,首页 上页 下页 返回 结束,
