《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第1章行列式 1.7习题课》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第1章行列式 1.7习题课（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.7 习题课,行列式的知识要点,行列式的例题选讲,首页 上页 下页 返回 结束,1.7.1 行列式的知识要点,1、要会计算排列的逆序数.,求逆序数的关键：数对逆序的总数.,方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的,数码个数，它们之和即为所求排列的逆序数.我们可,以从排列的右边(或左边)算起.,首页 上页 下页 返回 结束,2、会用对角线法则计算二阶和三阶行列式.,首页 上页 下页 返回 结束,3、了解n阶行列式的定义.,n个自然数1,2,n 所有排列 取和.,切记：对角线法则仅适用于二阶和三阶行列式.,表示对,首页 上页 下页 返回 结束,4、知道行列式的性质，并会利用性质简化行列,因子可
2、以提到行列式记号的外面.,推论 若行列式中有两行(列)完全相同，则此,性质1 D = DT,性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.,性质3 行列式中某一行（列）的所有元素的公,行列式等于零.,式的计算.,首页 上页 下页 返回 结束,性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数,之和, 则该行列式可拆成两个行列式之和.,性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以,同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，,列式不变.,性质4 行列式中如果有两行(列)元素对应成比,例，则此行列式等于零.,行,首页 上页 下页 返回 结束,对应的代数余子式乘积之和，即,5、知道代数余子式的定义及性质，并会利
3、用按,（2）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其,第 j 列划去后，留下来的n-1阶行列式，,的余子式，,记作,记,的代数余子式.,叫做元素,行（列）展开法则来简化行列式的计算.,叫做元素,首页 上页 下页 返回 结束,（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即,（3）由行列式某一行（列）的元素与另一行,如果线性方程组,6、知道克拉默法则，能运用法则解线性方程组,或,或,首页 上页 下页 返回 结束,的系数行列式D不等于零，,其中Dj（j =1 , 2 , n）是把系数行列式 D 中第 j,列的元素用方程组右端的常数项代替后所得的n阶行,列式.,那么，方程组有惟一解,首页 上页 下页 返
4、回 结束,1.7.2 行列式的例题选讲,1、计算排列的逆序数,码个数，,从排列的右边算起.,它们之和即为所求排列的逆序数.,我们可以,首页 上页 下页 返回 结束,故此排列的逆序数为,显然， 2n1、 2n3、 3及 1前面都没有比它们,2前面有2(n-1)个大于2的数；,排列13 (2n1)(2n)(2n2)4 2.,4前面有2(n-2)个大于4的数；,2n-2前面有2个大于2n-2的数；,2n 的前面没有比2n大的数；,大的数.,首页 上页 下页 返回 结束,例2 计算,解 从第2行起，各行均减去第1行，得,（1）用化上（下）三角形行列式计算,2、计算（证明）行列式,其中,首页 上页 下页
5、 返回 结束,其中,首页 上页 下页 返回 结束,解,其中,例3 计算,从第n行起，后行减去前行，得,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,例4 计算行列式,（2）用降阶法计算,解 这个行列式的特点是各列4个数之和都是10.,把第2,3,4行都加到第1行，,再提出公因子10.,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高,注 本题是利用行列式的性质将所给行列式的,某行（列）化成只含有一个非零元素，,然后按此行,（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，,如此继续进行，直到行列式能
6、直接计算出来为止,的数字行列式比较适用,首页 上页 下页 返回 结束,例5 证明,证明 按第1列展开，以建立递推公式，,（3）用递推法计算,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,又归纳基础为：,于是,首页 上页 下页 返回 结束,注 本例是按第1列（或第n+1列、或第1行）展,建立了递推公式.,示出来，,开，把所给n+1阶行列式Dn+1用同型的n阶行列式Dn表,递推法是高阶行列式计算中常用的、有效的方法.,应用递推法的实质是数学归纳法，因此建立了递推公,n=1或n=2时命题成立,例如,(本例中最后用到 ).,首页 上页 下页 返回 结束,例6
7、 证明,证明 对阶数n用数学归纳法,（4）用数学归纳法,首页 上页 下页 返回 结束,当n=1或n=2时，结论成立.,假设对阶数小于n的行,列式结论成立，要证对于Dn也成立.,将Dn按最后一,行展开，得,首页 上页 下页 返回 结束,当n=1或n=2时，结论成立.,假设对阶数小于n的行,列式结论成立，要证对于Dn也成立.,将Dn按最后一,行展开，得,首页 上页 下页 返回 结束,当n=1或n=2时，结论成立.,假设对阶数小于n的行,将Dn按最后一,行展开，得,对一切自然数结论都成立.,列式结论成立，要证对于Dn也成立.,首页 上页 下页 返回 结束,注 为了将Dn展开成能用其同型的Dn-1、
8、Dn-2表,示，本例必须按第n行（或第n列）展开，而不能按r1,未告诉结果，可先猜想其结果，,自然数有关的结论时，,一般地，当行列式已告诉其结果，而要证明与,（或按c1）展开.,证明猜想结果成立.,可考虑用数学归纳法来证明.,然后用数学归纳法,首页 上页 下页 返回 结束,例7 证明,（5）利用范德蒙行列式计算,首页 上页 下页 返回 结束,证明,由范德蒙行列,令,式可知,其中x3的系数为,首页 上页 下页 返回 结束,另一方面，把上述行列式按第一列展开可得x3的,系数,首页 上页 下页 返回 结束,另一方面，把上述行列式按第一列展开可得x3的,系数,因此,首页 上页 下页 返回 结束,计算中
9、出现分数，,数行列式不等于零时，,当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系,3、克拉默法则,方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再,求解,可用克拉默法则,为了避免在,可对有的方程乘以适当整数，,把原,首页 上页 下页 返回 结束,路板，1块2型电路板及2块3型电路板；品牌B用3块1,万块2型电路板及35万块3型电路板.品牌A用2块1型电,牌A,B,C.该公司向供应商订了45万块1型电路板，30,例8 已知一家公司制造三种品牌的电视机：品,型电路板，2块2型电路板及1块3型电路板；品牌C用,每种类型电路板各一块，求该公司制造的三种品牌的,电视机的台数,首页 上页 下页 返回 结束,台，x2台，x3台.,解 设该公司制造的三种品牌的电视机分别为x1,其依题意得线性方程组,其系数行列式,又,首页 上页 下页 返回 结束,即该公司制造的三种品牌的电视机分别为100000台，,50000台，100000台.,首页 上页 下页 返回 结束,即由克拉默法则知，此方程组有惟一解,
