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1、第二节 一阶微分方程,一、可分离变量的微分方程,形如,的微分方程，称为,可分离变量的微分方程。,是可化为可分离变量的微分方程。,例如微分方程,目录,设两个被积函数的原函数分别为,解法：1、分离变量：,将微分方程化为如下形式：,2、方程两边求积分：,得到,这就是可分离变量微分方程的通解。,可分离变量微分方程 的解法,例1 求微分方程,的通解,解 方程是可分离变量的微分方程，,分离变量得,两边积分得,整理得所求微分方程的通解,即,例2 求微分方程,的通解,解 方程是可分离变量的微分方程，,分离变量得,两边积分得,整理得所求微分方程的通解,通解可以是显式形式，也可以是隐式形式。,例3 求微分方程,的
2、通解,解 分离变量得,两边积分得,即,由对数性质，得通解,任意常数C可以根据题目的要求，以不同形式出现 。,例4 求微分方程,的通解,解,两边积分得,得通解,方程可化为,分离变量得,解,是可分离变量的微分方程。,两边积分得,由实际情况，有,代入上式，解得,所以总收入函数为,*例6,成正比,求,解：根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 ：,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t 0) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系。,t 足够大时,二、线性微分方程,定义5.4 形如,称为一阶线性微分
3、方程。,1)如果,该微分方程称为齐次线性方程,2)如果,该微分方程称为非齐次线性方程,3),叫做对应于非齐次线性方程,的齐次线性方程,的方程，,特别地,例如，微分方程,可化为,所以，该微分方程是齐次线性方程。,而微分方程,是非齐次线性方程。,1. 齐次线性方程,分离变量,两边积分得,所以通解为,指数中的不定积分，计算完成后不再加常数。,的解法,即求解,例7 求方程,的通解,解1,这是一个齐次线性方程 分离变量得,两边积分得,所以方程的通解为,解2,方程改写为,所以,由公式得通解,例7 求方程,的通解,2. 非齐次线性方程,求解法,常数变易法:将 齐次方程解中,的C变易为,将上式代入非齐次线性方
4、程，得,整理后,两边积分得:,得非齐次线性方程,的通解,或为,一般地，非齐次线性方程的通解等于对应齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的任意一个特解之和。,齐次方程通解,非齐次方程特解,例8 解方程,解1： 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解， 令,则,代入非齐次方程得,解得,所以原方程通解为,解2：,得原方程通解,因为,例8 解方程,解 方程是一阶线性微分方程,对应的齐次方程为,分离变量再积分，得到齐次方程的通解为,常数变易，设,代入原微分方程，得到,积分得,得原微分方程的通解,将初始条件,代入通解，解得,所以所求的产值函数为,练习,求下列方程的通解 :,练习,求下列方程的通解 :,提示：,(1) 分离变量,练习,求下列方程的通解：,提示：,(2) 方程变形为,代入非齐次方程得,解得,原方程通解为,作业 P167 习题5.2 4 6 9,
