计量金融学计量金融学-2-1

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1、第二章 回归模型及其应用,学习目标 熟悉一元回归和多元回归模型及其运用； 掌握线性回归结果的t检验和F检验； 熟悉模型的稳定性检验； 熟悉虚拟变量的运用。,经典回归理论，在计量金融学中有广泛的运用,它主要被用来描述和估计出某一选定变量与其它一组变量之间的理论关系. 本章先介绍一元回归和多元回归模型的估计和检验，然后再介绍如何使用虚拟变量以及如何检验模型的稳定性. 具体如下：,第一节 一元线性回归模型及其应用 第二节 多元线性回归及其应用 第三节 线性回归模型的检验 第四节 虚拟变量引入与模型稳定性检验,第一节 一元线性回归模型及其应用,一、回归模型简介 回归分析主要研究客观事物间的因果关系。它

2、是一种建立在对客观事物进行大量试验和观察的基础上，用来寻找隐藏在那些看上去是不确定的现象的统计规律性的统计方法。 经济规律本身是无法看到的，它们隐藏在经济变量的背后起作用，我们看到的只是经济现象或它们的数字化特征数据，我们只能根据这些数据包含的信息，去估计和识别隐藏在这些经济数据内的经济规律。这就是“回归”的现代经济学含义。,如果随机变量 与变量 存在因果关系，则可建立模型 其中 是被解释变量，亦称响应变量， 是解释变量，亦称控制变量， 是回归函数， 是随机误差，表示受随机因素影响而无法观察到的偶然因素。 由解释变量和随机误差共同决定，表示 与各个解释变量间既有联系，又由不确定性的特点。 在模

3、型中引入随机误差项，主要有以下几个原因： (1) 由于认知的局限性，可能仍存在 的未知的影响 因素，而难以将其引入模型中，因此用随机误差 项代表这些未知的影响因素。,(2)由于数据的残缺性，即使某个(些)变量是 的重 要影响变量，模型也不得不将其归入随机误差项。 (3)为了模型的简洁性，即使有些变量已经被认知而 且数据也可以收集到，但其对解释变量的影响很 小，在建模时仍选择将其省略而归入随机误差项。 (4)由于不可避免的测量误差，在取得观察数据时， 会存在测量误差，引入随机误差项代表这部分误差。 (5)由于经济现象的复杂性，模型的真实函数形式是 未知的，因此，实际设定的模型可能与真实的模 型存

4、在偏差，随机干扰项包含了这种模型设定的 误差。,二、一元线性回归模型 根据模型表达形式是否为线性，可将回归模型分为“线性”和“非线性”；根据模型中解释变量的个数，可分回归模型为“一元回归”和“多元回归”。 一元线性回归模型可表达为 （2.1） 为被解释变量或因变量， 为解释变量或自变量，为误差项或扰动项， 为样本个数或样本容量。 为了使参数的估计量具有比较好的性质，通常需要对于模型(2.1)提出若干假定。,古典线性回归模型包含一系列基本假设，这些假设包括： (1)随机误差项具有零均值和同方差性，即 (2)随机误差项之间不相关，即对任意 (3)解释变量 与随机误差项 不相关，即 (4)随机误差项

5、服从正态分布，即,一般情况下，假定解释变量是非随机的，在这个假定下，有 进而知 在经济时间序列的大多数场合，误差项总存在着或多或少的自相关性。对于存在自相关的时间序列，后面我们再详细做介绍-比如 用广义差分法或者迭代法处理。,三、普通最小二乘法 现在的目标是利用 对观察数据 来推测未知的回归函数 自然希望最终确定的直线尽可能地靠近这 个已知的数据点。这里将使用最小二乘法，其基本原则是： 最优拟合直线应该使各点到 直线的距离绝对值之和最小。 为了数学表达方便，剔除正负号的影响，上述原则可变为距离的平方和最小。,假定根据这一原理估计得到的 分别为 ，则直线可表达为 该直线常称为样本回归直线, 分别

6、称为 的最小二乘估计。 记 它是实际值与拟合值的差，称为残差，可看作是随机误差项 的估计值。 根据前面的定义，最小二乘法就是使得直线与各散点的距离的平方和最小，即 是使下式达到最小时对应的,根据高等数学中求最小值点的办法， 是下列方程组的解： 解之得 其中,说明 (1)我们将 的观察值用其小写字母 表示，在 中， 对应的表达式分别称为 的最小 二乘估计值， 对应的表达式分别称为 的 最小二乘估计量。 (2)模型的残差平方和(residual sum squares,简记为 RSS) 的估计量定义为,说明： 的分母除以 原因是用 个数据点估计 时，增加了两个约束条件，使残差中仅剩余 个不受约束的

7、观察值，即自由度的个数。 计量经济学中另外一种重要的估计方法是极大似然法。极大似然法的思想是： 当随机抽取 组样本观测值之后，参数估计量是使得从模型中抽取该 组样本观测值的概率达到最大。,下面求一元线性回归模型 的极大似然估计量： 由于 所以样本 的联合密度亦即似然函数为 极大似然估计量就是使 达到最大时，对应的 的值。 注意对 求极大，等价于对下面的对数似然函数求极大,显然，对 关于 求极大，等价于求 的极小值， 于是关于 的极大似然估计量和普通的最小二乘估计量 是一致的。 另外，在得到两个参数 的极大似然估计后，由 得到 的极大似然估计为,四、最小二乘估计量的性质 对于最小二乘估计量 ，有

8、下列结论： 定理2.1 对于一元线性回归模型(2.1),有 (i) (ii) (iii) 均与 独立,(iv) 附注：（1）定理2.1中的(i)显示 这说明 分别是 的无偏估计量； (2)利用结论：若 则 于是有,这说明 是 的无偏估计量 (3)如果 则 （2.2） 如果 则 （2.3） (2.2)和(2.3)式说明， 分别是 的相合或一 致性(Consistency)估计量,（4）在一元线性回归模型中，能证明： 分别是 的最小(或优)方差线性无偏估计量， 即在形如 的估计中，它们分别是最小方差 无偏估计量-常称为有效性,(5)由定理2.1得到 并且 与 相互独立。则应用t分布的定义知,(i)

9、 检验法 利用 能够检验 下列假设 记 为 分布的 分位数，则检验 的显著水平为 的拒绝域为 类似地，能够构造检验 的显著水 平为 的拒绝域,(ii) 检验法 由于 所以 则结合 在 下,记 为 分布的 分位数，则检验 的显著水平为 的拒绝域为 这里检验 的临界值为 类似地，能够构造检验 的显著水 平为 的拒绝域.,五、参数估计的精确性和性质 OLS估计值会因样本数据的不同而不同.通常对参数精确性和可靠性的估计，可以用它的标准差(简记为SE)来表示.前面的定理2.1给出 注意 在实际问题中，计算 的标准差，可用下列公式计算,其中 是 的最小二乘估计量,从 和 的表达式可以看出，参数估计值的标准

10、差具有如下性质： （1）样本容量T越大，系数标准误差越少。 这一点很易解释：T越大，用于参数估计的信 息越多，估计值的可信度也就越高 （2）系数的标准误差都依赖于s. 是残差方差估计值，该值越大，残差就越离 散，模型的不确定性越大，即数据点偏离回归 线的幅度越大。,（3）两个公式中都出现了 偏离它们的均值的平方 和 且都在分母中，所以平方和越大， 系数方差越少。 （4） 项仅仅影响截距的标准误差(在分子中)， 但不影响斜率标准误差，这是因为 测定的是 数据点相对于y轴的偏离程度， 越大，数据点 离y轴越远，回归估计线与y轴的交点(截距)越难 确定，从而系数标准误差可能越大。,Clare和Tho

11、mas在英国股票市场随机抽取了1000个样本公司，通过一定的方法将公司的业绩进行排序和划分组合资产形成阶段，并计算出赢者(组合资产形成阶段20的业绩最佳的公司)和输者(20业绩最差的公司)在18、9、或6个阶段每月的平均收益的差额，定义为,案例分析2-1（见教材40页） 一元回归方法的运用证券市场过度反应吗？,第一个回归是： 输者相对于赢者的超额收益对常数进行回归： 上式没有考虑到输者的股票有更大的风险，所以要求更高的收益，所以在加入市场风险因素之后，回归方程如下： 式中， 分别表示英国金融时报综合股票收益率和英国政府3个月短期国债的收益。,上述方程的回归结果如表2-1所示。通过对表前两行输者

12、收益和赢者收益的比较可知，12个月对于输者变成赢者并不是充分长的时间，在2年或3年后，输者成为了赢者。同时在样本中剔除1月份的收益使得随后输者资产实现过度业绩的程度显著降低了，表现为 项的显著性有所降低。因此，仅有部分过度反应的现象发生在1月份。,括号内是t值，“*”和“*”分别表示在10和5的水平下显著,第二节 多元线性回归及其应用,一、多元线性回归模型 在上一节中我们讨论了一元线性回归模型，然而现实经济中的各变量之间的相互关系是错综复杂的，往往一个经济指标都会受到很多其他经济因素的影响，如果想要通过数量模型来描述这一影响关系的话，这就要求我们在一元线性回归模型的基础上引入多元线性回归模型。

13、 例如，股票收益可能依赖于： 通货膨胀，工业生产，能源价格，违约风险,在实际问题中，影响被解释变量的因素往往不止一个。这时要用到多元线性回归，其具有 个回归变量（独立变量）的一般式为： (2.4) 其中， 是一组影响 的解释变量，共(k-1)个； 是回归系数，用于测定每一个解释变量对 所产生的影响程度。,模型(2.4)也可以具体表示成如下形式： 记 则上面方程组的矩阵形式为,二、模型假定 与一元回归模型一样，为了保证所分析的变量关系符合多元线性回归分析的基本规定以及回归分析的有效性和性质，同时也为了检验参数性质的需要，通常我们需要对于模型(2.4)提出若干假定： (1)每组观察值的误差项均为零

14、均值，即 (2)所有观察的误差项具有相同的方差，即 (3)误差项服从正态分布，即 (4)不同观察值的误差项不相关，即对 (5) 不是随机变量，并且在两个或多个解释变量之间 不存在线性关系.,使用矩阵的语言来表示的话，上述假设变为： (1) (2),(3)向量 服从多维正态分布 其中 是 单位矩阵； (5) 矩阵 是非随机的，且 的秩 即 列满秩.,三、参数估计 1、普通最小二乘估计 在一元回归中，我们运用OLS的方法，使残差平方和相对于 被最小化。在这里为了获得参数 的最小二乘估计值，将RSS相对于所有的 元素最小化。 具体来讲，设有 组观察值 的最小二乘估计是使下式达到最小时对应的最小值点,

15、在上式中应用对待估参数求偏导，并令其为零，得下列方程组,上面方程组的矩阵形式是 即 由于 满秩，所以矩阵 是可逆的，并且得到 的最小二乘估计量为,同样与一元回归模型类似，多元回归模型估计误差方差 用模型的残差平方和除以自由度来估计： 这里除以 的原因是：在求 个参数 的估计量时,对数据增加了 约束条件，从而使真正的自由数据个数为 这样定义，可使 的估计是无偏估计量。 另外，能够验证： 矩阵对角线上的元素是参数估计值的方差，非对角线上的元素是参数估计值之间的协方差.,2、极大似然估计 对于模型 由于 所以 其中 则样本 的似然函数,对数似然函数为 对上式求极小值，由此得到参数的极大似然估计为 显然， 的极大似然估计与普通的最小二乘估计是一致的,四、多