《离散数学导论(盘) 教学课件 ppt 作者 王元元 张桂芸 第十章演示文稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学导论(盘) 教学课件 ppt 作者 王元元 张桂芸 第十章演示文稿（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 十 章 代 数 结 构 通 论,10.1 代数结构,10.2 同态、同构及同余, 10.3 商代数与积代数,第十章 代数结构通论,10.1.2 代数结构的特殊元素,10.1.1代数结构的意义,10.1.3 子代数结构,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.2.1 同态与同构,10.2.2 同余关系,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余, 10.3商代数与积代数,第十章 代数结构通论,10.3.1 商代数,10.3.2 积代数,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.1代数结构的意义,定义10.1 称 为集合S上的n元运算（operater），如果 为Sn到
2、S的一个函数。以下 常用以表示二元运算, (x,y)常记为xy；常用以表示一元运算。对二元运算，: 称 满足结合律，若 xyz(x,y,zSx (y z) = (xy) z) 称满足交换律，若 xy(x,ySxy= yx) 称对满足分配律，若 xyz(x,y,zSx(yz) = (xy) (xz),第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.1代数结构的意义,定义10.2 代数结构是由以下三个部分组成的数学结构： （1）非空集合S，称为代数结构的载体。 （2）载体S上的若干运算。 （3）一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。 代数结构常用一个多元序组来表示， 其中 S是载体，为各种运算
3、。有时为了强调S有 某些元素地位特殊，也可将它们列入这种多元序组的末 尾。,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定义10.3 元素e 称为代数结构的（关于运算的）幺元(identity elements)，如果eS且对任意元素xS有 xe = ex = x 元素erS(elS)称为（关于运算的）右幺元(左幺元), 如果er (el) 对任意元素xS满足 xer = x (elx = x),第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定理10.1 代数结构有关于 运算的么元，当且仅当它同时有关于 运算的左么元和右么元。,定理
4、10.2 任何含有关于 运算么元的代数结构,其所含么元是唯一的。,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定义10.4 元素O称为代数结构 (关于 运算) 的零元(zero)，如果0S且对任意xS有 x 0 O x O 元素0rS (0lS)称为左零元（右零元）如果Or（Ol）满足:对一切xS， x Or Or （Ol x = Ol）,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定理10.3 代数结构有关于 运算的零元，当且仅当它同时有关于 运算的左零元和右零元。,定理10.4 任何含有关于 运算零元的代数结构，其所含零元是唯
5、一的。,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定义10.5 设代数结构中e为么元，x,y为S中元素若xye，那么称x为y的左逆元， y为x的右逆元。若xyyxe，那么称x(y)为y(x)的逆元（inverse elements）。 x的逆元通常记为x-1;但当运算被称为“加法运算”（记为+）时，x的逆元可记为-x 。,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定理10.5 设有么元e，零元0;并且 S 2，那么O无左逆元及右逆元,定理10.6 设有么元e，且运算 满足结合律,那么当
6、S中元素x有左逆元l及右逆元r时,l = r,它们就是x的逆元。,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,定义10.6 称中元素a是可约的(cancelable),如果a满足:对任意x,yS （ 1）ax = ay 蕴涵 x = y (10-1) （ 2）xa = ya 蕴涵 x = y (10-2) 当a满足(10-1)时,也称a是左可约的, 当a满足(10-2)时,也称a是右可约的。,10.1.2 代数结构的特殊元素,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定理10.7 若中 运算满足结合律,且元素a有逆元(左
7、逆元,右逆元),那么a必定是可约的(左可约的,右可约的) 。,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.3 子代数结构,定义10.7 设S上有n（n1，2，）元运算 ，S S,称 运算对S封闭（c1osed）， 如果对任意元素x1，x2，xnS, (x1，x2，xn) S,第十章 代数结构通论,10.1.3 子代数结构,10.1 代数结构,定义10.8 称为代数结构的子代数结构，或子代数（subalgebra）,如果 （1）S S （2）运算 对S封闭,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.1同态与同构,定义10.9 设及均为代数结构，称函数 h: SS为（代数
8、结构 S到S的）同态映射，或同态（homomorphism），如果对S中任何元素a，b， h（a）= （h（a） (10-3) h（ab） h（a） h（b） (10-4) 当同态h为单射时，又称h为单一同态；当h为满射时，又称h为满同态；当k为双射时，又称h为同构映射，或同构（isomorphism）。当两个代数结构间存在同构映射时，也称这两个代数结构同构。当h为到的同态（同构）时,称h为S的自同态（自同构）。,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.1同态与同构,定义10.10 设h为代数结构到的同态映射，那么称h(S)为h的同态象（image under homomo
9、rphism）。,定理10.8 设h为代数结构到的同态，那么同态象 h（S）与，构成的一个子代数。,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.1同态与同构,定理10.9 设h是代数结构 到 的同态, h的同态象为（这里1,2, 1,2 均为二元运算），那么 （1）当运算1(2)满足结合律、交换律时，同态象中运算 1(2)也满足结合律、交换律；当运算1对2满足分配律时， 同态象中运算1对2也满足分配律。 （2）如果 关于1(2)有么元e或零元O， 那么中有关于1(2)的么元h（e） 或零元h（O） （3）如果 中元素x有关于1(2)的逆元x-1，那么中元素h(x)有关于1(2)
10、的逆元h（x-1）。,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.1同态与同构,定义10.11 如果h为代数结构到的同态，并且S中有么元e，那么称下列集合为同态h的核（kernel of homomorphism），记为K（h）。 K（h）=x xS h（x）e,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.1同态与同构,定理10.10 设h为代数结构到的同态，如果K（h） ，那么为的子代数。,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.2 同余关系,定义10.12 设为代数结构的载体S上的等价关系，称为S上关于一元运算的同余关系(congruen
11、ce relations)，如果对S中任何元素a，b， ab蕴涵ab （10-8） 称为S上关于二元运算的同余关系, 如果对S中任何元素a，b，c, d ab,cd蕴涵acbd （10-9） 当关于中一元运算、二元运算 均为同余关系时，便称为上的同余关系，等价类x则称为同余类,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.2 同余关系,定理10.11 设h是到的同态映射，那么Ker(h)确定的S上的等价关系是代数结构上的同余关系。回忆定义6.9,Ker(h)确定的S上的等价关系如下定义:对任意x,yS, xy当且仅当h（x）= h（y）,第十章 代数结构通论, 10.3商代数与积
12、代数,10.3.1商代数,定义10.13 设S上等价关系为上的同余关系。定义S/上一元运算和二元运算如下，对任意x,yS， (x) = x xy = xy 那么代数结构称为的关于的商代数（quotient algebra）。,第十章 代数结构通论, 10.3商代数与积代数,10.3.1商代数,定理10.12 设为的关于的商代数，那么 （1）若 运算满足结合律、交换律，那么运算也满足结合律、交换律. （2）若 运算有么元e（零元0）,那么以e为么元（以0为零元）. （3）若xS有关于 * 运算的逆元x-1，那么x有关于运算的逆元x-1,第十章 代数结构通论, 10.3商代数与积代数,10.3.1
13、商代数,定理10.13 设为上的同余关系，那么规范映射f:SS/为到其商代数的一个同态.,第十章 代数结构通论, 10.3商代数与积代数,10.3.1商代数,定理10.14 设h为到的同态，为h导出的的同余关系，那么，商代数与同态象同构,第十章 代数结构通论, 10.3商代数与积代数,定义10.14 设与为具有同样数目一元运算及同样数目二元运算的代数结构,那么代数结构称为代数S及S的积代数(product algebra)，其中与定义如下；对任何，SS, () = = ,10.3.2 积代数,第十章 代数结构通论, 10.3商代数与积代数,10.3.2 积代数,定理10.15 设由与可构成积代数，那么 （1）当 与 运算均满足结合律、交换律等运算律时， 运算也满足同样的运算律。 （2）当e（0），e（0）分别为 及 运算的么元（零元） 时，必为运算的么元（零元）。 （3）当xS，yS分别有关于与运算的逆元x-1，y-1时， 则有关于运算的逆元。,
