《离散数学导论(盘) 教学课件 ppt 作者 王元元 张桂芸 第十章演示文稿》由会员分享,可在线阅读,更多相关《离散数学导论(盘) 教学课件 ppt 作者 王元元 张桂芸 第十章演示文稿(30页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第 十 章 代 数 结 构 通 论,10.1 代数结构,10.2 同态、同构及同余, 10.3 商代数与积代数,第十章 代数结构通论,10.1.2 代数结构的特殊元素,10.1.1代数结构的意义,10.1.3 子代数结构,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.2.1 同态与同构,10.2.2 同余关系,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余, 10.3商代数与积代数,第十章 代数结构通论,10.3.1 商代数,10.3.2 积代数,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.1代数结构的意义,定义10.1 称 为集合S上的n元运算(operater),如果 为Sn到
2、S的一个函数。以下 常用以表示二元运算, (x,y)常记为xy;常用以表示一元运算。对二元运算,: 称 满足结合律,若 xyz(x,y,zSx (y z) = (xy) z) 称满足交换律,若 xy(x,ySxy= yx) 称对满足分配律,若 xyz(x,y,zSx(yz) = (xy) (xz),第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.1代数结构的意义,定义10.2 代数结构是由以下三个部分组成的数学结构: (1)非空集合S,称为代数结构的载体。 (2)载体S上的若干运算。 (3)一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。 代数结构常用一个多元序组来表示, 其中 S是载体,为各种运算
3、。有时为了强调S有 某些元素地位特殊,也可将它们列入这种多元序组的末 尾。,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定义10.3 元素e 称为代数结构的(关于运算的)幺元(identity elements),如果eS且对任意元素xS有 xe = ex = x 元素erS(elS)称为(关于运算的)右幺元(左幺元), 如果er (el) 对任意元素xS满足 xer = x (elx = x),第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定理10.1 代数结构有关于 运算的么元,当且仅当它同时有关于 运算的左么元和右么元。,定理
4、10.2 任何含有关于 运算么元的代数结构,其所含么元是唯一的。,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定义10.4 元素O称为代数结构 (关于 运算) 的零元(zero),如果0S且对任意xS有 x 0 O x O 元素0rS (0lS)称为左零元(右零元)如果Or(Ol)满足:对一切xS, x Or Or (Ol x = Ol),第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定理10.3 代数结构有关于 运算的零元,当且仅当它同时有关于 运算的左零元和右零元。,定理10.4 任何含有关于 运算零元的代数结构,其所含零元是唯
5、一的。,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定义10.5 设代数结构中e为么元,x,y为S中元素若xye,那么称x为y的左逆元, y为x的右逆元。若xyyxe,那么称x(y)为y(x)的逆元(inverse elements)。 x的逆元通常记为x-1;但当运算被称为“加法运算”(记为+)时,x的逆元可记为-x 。,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定理10.5 设有么元e,零元0;并且 S 2,那么O无左逆元及右逆元,定理10.6 设有么元e,且运算 满足结合律,那么当
6、S中元素x有左逆元l及右逆元r时,l = r,它们就是x的逆元。,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,定义10.6 称中元素a是可约的(cancelable),如果a满足:对任意x,yS ( 1)ax = ay 蕴涵 x = y (10-1) ( 2)xa = ya 蕴涵 x = y (10-2) 当a满足(10-1)时,也称a是左可约的, 当a满足(10-2)时,也称a是右可约的。,10.1.2 代数结构的特殊元素,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.2 代数结构的特殊元素,定理10.7 若中 运算满足结合律,且元素a有逆元(左
7、逆元,右逆元),那么a必定是可约的(左可约的,右可约的) 。,第十章 代数结构通论,10.1 代数结构,10.1.3 子代数结构,定义10.7 设S上有n(n1,2,)元运算 ,S S,称 运算对S封闭(c1osed), 如果对任意元素x1,x2,xnS, (x1,x2,xn) S,第十章 代数结构通论,10.1.3 子代数结构,10.1 代数结构,定义10.8 称为代数结构的子代数结构,或子代数(subalgebra),如果 (1)S S (2)运算 对S封闭,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.1同态与同构,定义10.9 设及均为代数结构,称函数 h: SS为(代数
8、结构 S到S的)同态映射,或同态(homomorphism),如果对S中任何元素a,b, h(a)= (h(a) (10-3) h(ab) h(a) h(b) (10-4) 当同态h为单射时,又称h为单一同态;当h为满射时,又称h为满同态;当k为双射时,又称h为同构映射,或同构(isomorphism)。当两个代数结构间存在同构映射时,也称这两个代数结构同构。当h为到的同态(同构)时,称h为S的自同态(自同构)。,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.1同态与同构,定义10.10 设h为代数结构到的同态映射,那么称h(S)为h的同态象(image under homomo
9、rphism)。,定理10.8 设h为代数结构到的同态,那么同态象 h(S)与,构成的一个子代数。,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.1同态与同构,定理10.9 设h是代数结构 到 的同态, h的同态象为(这里1,2, 1,2 均为二元运算),那么 (1)当运算1(2)满足结合律、交换律时,同态象中运算 1(2)也满足结合律、交换律;当运算1对2满足分配律时, 同态象中运算1对2也满足分配律。 (2)如果 关于1(2)有么元e或零元O, 那么中有关于1(2)的么元h(e) 或零元h(O) (3)如果 中元素x有关于1(2)的逆元x-1,那么中元素h(x)有关于1(2)
10、的逆元h(x-1)。,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.1同态与同构,定义10.11 如果h为代数结构到的同态,并且S中有么元e,那么称下列集合为同态h的核(kernel of homomorphism),记为K(h)。 K(h)=x xS h(x)e,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.1同态与同构,定理10.10 设h为代数结构到的同态,如果K(h) ,那么为的子代数。,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.2 同余关系,定义10.12 设为代数结构的载体S上的等价关系,称为S上关于一元运算的同余关系(congruen
11、ce relations),如果对S中任何元素a,b, ab蕴涵ab (10-8) 称为S上关于二元运算的同余关系, 如果对S中任何元素a,b,c, d ab,cd蕴涵acbd (10-9) 当关于中一元运算、二元运算 均为同余关系时,便称为上的同余关系,等价类x则称为同余类,第十章 代数结构通论,10.2 同态、同构及同余,10.2.2 同余关系,定理10.11 设h是到的同态映射,那么Ker(h)确定的S上的等价关系是代数结构上的同余关系。回忆定义6.9,Ker(h)确定的S上的等价关系如下定义:对任意x,yS, xy当且仅当h(x)= h(y),第十章 代数结构通论, 10.3商代数与积
12、代数,10.3.1商代数,定义10.13 设S上等价关系为上的同余关系。定义S/上一元运算和二元运算如下,对任意x,yS, (x) = x xy = xy 那么代数结构称为的关于的商代数(quotient algebra)。,第十章 代数结构通论, 10.3商代数与积代数,10.3.1商代数,定理10.12 设为的关于的商代数,那么 (1)若 运算满足结合律、交换律,那么运算也满足结合律、交换律. (2)若 运算有么元e(零元0),那么以e为么元(以0为零元). (3)若xS有关于 * 运算的逆元x-1,那么x有关于运算的逆元x-1,第十章 代数结构通论, 10.3商代数与积代数,10.3.1
13、商代数,定理10.13 设为上的同余关系,那么规范映射f:SS/为到其商代数的一个同态.,第十章 代数结构通论, 10.3商代数与积代数,10.3.1商代数,定理10.14 设h为到的同态,为h导出的的同余关系,那么,商代数与同态象同构,第十章 代数结构通论, 10.3商代数与积代数,定义10.14 设与为具有同样数目一元运算及同样数目二元运算的代数结构,那么代数结构称为代数S及S的积代数(product algebra),其中与定义如下;对任何,SS, () = = ,10.3.2 积代数,第十章 代数结构通论, 10.3商代数与积代数,10.3.2 积代数,定理10.15 设由与可构成积代数,那么 (1)当 与 运算均满足结合律、交换律等运算律时, 运算也满足同样的运算律。 (2)当e(0),e(0)分别为 及 运算的么元(零元) 时,必为运算的么元(零元)。 (3)当xS,yS分别有关于与运算的逆元x-1,y-1时, 则有关于运算的逆元。,