《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.9习题课》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.9习题课（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.9 习题课,相似矩阵及二次型的知识要点,例题选讲,首页 上页 下页 返回 结束,5.9.1 相似矩阵及二次型的知识要点,1、了解向量的内积、长度、正交、规范正交基、,正交矩阵等概念，知道施密特正交化方法.,(1)定义 5.1 设有n维向量,首页 上页 下页 返回 结束,(2)定义5.2,称为向量x与y的内积.,= xT y,称为n维向量x的长度（或范数）.,当 时，,(3)当 x , y = 0，,正交向量组一定线性无关.,是指一组两两正交的非零向量.,(4)正交向量组，,称x为单位向量.,称向量 x 与 y 正交.,首页 上页 下页 返回 结束,设向量组A:a1 , , ar线性无关，令
2、,(5)定义5.4 设n维向量e1 , e2 , , er 是向量空,交，,间V（ ）的一个基，,(6)施密特正交化过程,如果e1 , e2 , , er 两两正,且都是单位向量，,则称它是V的一个规范正交基.,首页 上页 下页 返回 结束,则向量组b1 , , br为正交向量组，且与向量组A等价.,(7)定义5.5 若n阶矩阵A满足,则称A为正交矩阵.,（即 ）,A为正交矩阵,A 的列（行）向量都是单位,向量，且两两正交.,首页 上页 下页 返回 结束,2.理解矩阵的特征值与特征向量的概念，了解,其性质，并掌握其求法.,(8)定义5.6 若P 为正交矩阵，,y = Px 称为正交变换.,列向
3、量 x 使,(1)定义5.7 设A是n 阶矩阵，,则称数为矩阵A的特征值，,Ax = x ,x 称为A的对应于特征,值 的特征向量.,则线性变换,若有数和非零,首页 上页 下页 返回 结束,求出A的特征方程 的全部根，,对于A的每一个特征值 ，,的一个基础解系,它们即是A的对应于 的一组线性无关的特征向量，,该方程的全体非零解就是A的对应于 的全部特征向,(2)特征值、特征向量的求法,为A 的所有特征值；,（ 不全为0）.,即,量，即,求出齐次方程,首页 上页 下页 返回 结束,设n 阶方阵 的特征值为,(3)特征值、特征向量的一些性质,设是方阵A的特征值，则,是的多项式）., 是 的特征值；
4、,首页 上页 下页 返回 结束,角化的充要条件.,3.了解相似矩阵的概念和性质，知道矩阵可对,当A可逆时， 是 的特征值；,是,的特征值.,p1 , p2 , , pm 线性无关.,值，,设 是方阵A的m个互不相等特征,p1 , p2 , , pm 依次是与之对应的特征向量，则,首页 上页 下页 返回 结束,(2)相似矩阵的一些性质,P，使,(1)定义5.8 设A , B 都是n 阶矩阵，,则称B是A的相似矩阵，,或称矩阵 A与B 相似.,若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征,多项式，,相似,若n阶矩阵A与对角阵,若有可逆阵,从而有相同的特征值.,则 是A的n个特征值.,首页 上页 下页
5、 返回 结束,(3)方阵A可对角化的条件, n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）,的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,设矩阵A有n个线性无关的特征向量p1 , p2 , , pn，,P = ( p1 , p2 , , pn )，则,对应的特征值分别为 ，令,首页 上页 下页 返回 结束,4. 了解对称阵的特征值与特征向量的性质，掌,握利用正交阵将对称阵化为对角阵的方法.,若n阶矩阵A的n个特征值互不相等，,角阵相似,(1)对称矩阵的特征值为实数.,(2)对称矩阵的对应不同特征值的特征向量正交.,(3)设A为n阶对称阵，则必有正交矩阵P，使,则A与对,首页 上页 下页 返回 结束,
6、(4)对称阵A对角化的步骤：,它们的重数依次为,的基础解系，,对每个 重特征值 ，,求出A的全部互不相等的特征值 ，,正交化、单位化，,再把它们,把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵,P，便有,求方程,得 个线性无关的特征向量.,得 个两两正交的单位特征向量.,首页 上页 下页 返回 结束,5.熟悉二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩.,掌握用正交变换把二次型化为标准形的方法.,(1)含有n 个变量 x1 , x2 , , xn 的二次齐次函数,称为二次型.,取,则上列,二次型的矩阵形式为,对称阵A叫做二次型 f 的矩阵，,A的秩就叫做二,次型 f 的秩.,首页 上页 下页 返回 结束,使,
7、(2)二次型讨论的主要问题是：寻求可逆线性变,换,= yT(C TAC ) y,这种只含平方项的二次型，,(3)设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使,B=C TAC，,要使二次型 f 经可逆变换 变成标准形,当于使C TAC,即A合同于对角阵.,称为二次型的标准形.,则称矩阵A与B合同.,相,首页 上页 下页 返回 结束,6.会用拉格朗日配方法化二次型为标准形.,7.了解惯性定理，知道二次型的正定性及其判,别法.,总有正交变换 x = Py，使 f 化为标准形,其中 是对称阵A的n个特征值.,(4)定理 5.10 任给二次型,此时所用的可逆变换一般而言不是正交变换.,首页 上页 下页 返回
8、结束,有两个可逆变换,(1)惯性定理 设有二次型 f = xTAx，它的秩为r，,使,的个数相等,及,x = Cy 及 x = Pz,则k1 , k2 , , kr中正数的个数与 中正数,二次型的标准形中正系数的个数,正惯性指数，,称为二次型的,负系数的个数称为负惯性指数.,首页 上页 下页 返回 结束,称f 为负定二次型，,称阵A是正定的；,(2)定义 5.11 设有二次型 f (x)= xT A x，如果对,任何x 0 ,都有f (x) 0，,如果对任何x 0，都有f (x) 0，则,则称f 为正定二次型，,并称对称阵A是负定的.,(3)正定二次型的判别条件：,f = xT A x 为正定
9、的,它的正惯性指数等于n,A的特征值全为正,A的各阶主子式都为正.,并称对,首页 上页 下页 返回 结束,5.9.2 例题选讲,方法1,根据正交阵定义，先求出AT，,1、证明所给矩阵是正交矩阵,ATA=E 或 AAT=E.,方法2,A为正交矩阵,A的列（行）向量都是,单位向量，且两两正交.,然后验证,首页 上页 下页 返回 结束,E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT),又 HTH(E2xxT) (E2xxT),证明H是正交阵,例1 设x为n维列向量，xTx1，令HE 2xxT，,证,H T (E2xxT)T,E4xxT4x(xTx)xT,E2(xxT)T,E2(xT)TxT,E2xxT,H
10、是正交阵,（题设xTx1）,= E,首页 上页 下页 返回 结束,又,证, A为正交阵，, ATA=E，, A-1=AT，,首页 上页 下页 返回 结束,例2 设A为n阶正交阵，证明 为正交阵., 为正交阵.,解,2、用施密特法将线性无关向量组正交化,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,则 为所求正交向量组.,解,3、有关特征值与特征向量一些问题,A的特征值为121 35,(1)求矩阵的特征值和特征向量,首页 上页 下页 返回 结束,当121时，,解方程(A+E) x=0，由,得基础解系p1(110)T p2(101)T,当35时，,解方程(A-5E) x=0，由,所以
11、对应于121的全部特征向量为,k1 p1+k2 p2,（k1, k2不同时为0）,首页 上页 下页 返回 结束,得基础解系p3(111)T,所以对应于35的全部特征向量为,k3 p3,（k3 0）.,依据方阵A的行列式与其特征值关系：,首页 上页 下页 返回 结束,(2)用特征值计算方阵的行列式,解 |A|,令()61322, A可逆,例5 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求,(1)1 (2)5 (3)5,1 2 3是A的特征值,(1)(2)(3)15(5)25,12(3)60,是(A)=B的特征值,首页 上页 下页 返回 结束,| 3A2E|, |A|A16A1,且 B= 3A2E6A1
12、3A2E,|(A) |=| 3A2E|6A13A2E |,也是n阶矩阵BA的特征值,根据特征值定义证明.,例6 设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值，证明,设x是AB的对应于0的特征向量 则,证,(AB)xx,于是 B(AB)xB(x),即 BA(Bx)(Bx),因0，x0,故x 0，,即(AB)x 0，,从而Bx0,首页 上页 下页 返回 结束,(3)有关特征值的证明题,特征值,例7 设A为正交阵 且|A|1 证明1是A的,证,因此是BA的特征值, A为正交阵，,且|A|1，, 1是A的特征值.,首页 上页 下页 返回 结束,(1)求参数a b及特征向量p所对应的特征值,例8 已知p(111)
13、T是矩阵,4、方阵相似对角化问题,的一个特征向量,解 (1)利用特征值和特征向量的定义.,首页 上页 下页 返回 结束,(2)问A能不能相似对角化？并说明理由.,设是p所对应的特征值 则,即,(AE)p0,于是，得到以a ,b , 为未知数的线性方程组,解之得1 a3 b0,首页 上页 下页 返回 结束,（2）由,得A的特征值为1231,由,知 R(AE)2,故齐次方程 (AE)x0 没有3个线性,无关的解，,因此A不能相似对角化,首页 上页 下页 返回 结束,例9 设 求A100,得A的特征值为11 25 35,解 利用矩阵A的相似对角阵来求A100.,由,知A能对角化.,对于15 解方程(A5E)x0,由,首页 上页 下页 返回 结束,得特征向量 p2(1 0 0)T,得特征向量 p1(1 2 1)T,对于21 解方程(A-E)x0,由,首页 上页 下页 返回 结束,得特征向量 p3(2 1
