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1、第5章 弹性力学有限元法 基本思想和特点,弹性力学问题概述,任务：研究弹性体在外部因素（力、温度变化）作用下所产生的应力、变形与位移，判断其是否具有足够的强度、刚度、稳定性 工程中的结构件，除了有许多杆或可以归结为杆件的结构（这些由材料力学可以解决）外，还有极大量的非杆状结构，需要解决其计算问题 研究对象：弹性力学研究杆、板、壳、体等各种几何结构 材料力学研究在实验基础上提出平面假设，并进而应用静力平衡和材料物理方程，得到应力分布结果，避免了复杂的数学运算 研究手段：单元体分析，建立平衡方程、几何方程、物理 方程，求解上述偏微分方程组，得到结果,变量：位移、应变、应力 力法：以应力为基本变量求
2、解偏微分方程 位移法：以位移为基本变量求解 混合法：以应力、位移为基本变量求解 困难：由于弹性力学基本微分方程是一组偏微分方程与线 性代数方程耦合的方程组，且实际结构的形状任意 性导致了边界条件的复杂，从而使得弹性力学方程 组的求解极为困难。 出路：采用数值求解方法，得到结构的具有较高精度的数 值解 数值方法：有限元、有限差分、边界元等,有限元思想 结构：把实际复杂形状结构划分为有限多个具有某些特 定几何特征的子域（单元） 方程：利用能量原理，把复杂的偏微分方程变为能量（势 能）泛函的极值问题 有限元步骤 建模：建立所需分析结构的几何模型 离散：把几何模型划分为若干单元 位移：建立单元内位移的
3、假设函数分布 应变能：计算在假设位移分布下的应变、应力与应变能 平衡方程：建立势能泛函平衡方程并推广组装全部单元 约束：对支撑、固定等约束处理 载荷：施加压力、力（偶）、温度等载荷 求解：求解有限元的平衡方程，得到基本变量 后处理：计算其余变量，并进行图形（应力、变形等）显示,有限元特点 结构几何形状的复杂性 多种材料与多种单元的并存 复杂边界约束条件和载荷形式 平衡方程为大型稀疏矩阵，有利于数值计算 分析计算过程规范标准，有利于程序化,有限元应用实例 机械安全气囊计算,齿轮接触问题,汽车碰撞,流体力学,汽车结构设计,汽车工业,整车分析,机体系统缸体温度场分析,飞机强度与疲劳,热固耦合问题 热
4、烧蚀,航空抗天,整机强度和副翼疲劳强度,飞机的紧急水面迫降,输送管道分析,石油化工,锥壳径向接管,受内压圆筒斜接管,材料成形过程仿真,加工成型,圆锥管成型加工过程进行模拟与仿真,冲压成型的模拟,工字钢成形过程模拟,电子产品热场与强度,电子行业,热传导和热应力问题：,冲击和跌落问题,显示器玻壳强度分析,桥梁施工仿真,桥梁工程,美国金门桥地震响应分析,桥梁施工过程模拟,桥梁基础沉降分析,船舶模型与流固耦合计算,船舶的频率分析,水下爆炸,反应堆模拟计算,核工业,预应力混凝土压力容器安全性分析,轻水反应堆中管道的安全分析,弹头穿甲模拟,子弹穿甲模拟,军事工业,人体的有限元模型,生物力学,第6章 弹性力
5、学基本理论,外力（体力、面力)：结构所受到的外界作用力 面力 结构受到的作用在表面上的外力 体力 结构受到的与质量分布有关外力,弹性力学中的几个基本概念,内力：结构由于外力作用而引起的内部作用力,形变：结构受到外力作用发生的形状变化 应变：结构单位长度（角度）的变形（角度变化）,应力：结构受到的单位面积上的力,位移：结构质点在受力后发生的位置变化,外力（体力、面力）,定义：其它物体对研究对象（弹性体）的作用力,1) 体力:分布在物体体积内的力如重力、惯性力,2) 面力：分布在物体表面的力如流体压力和接触力。,无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均以正标向为正，且斜面上的面力是以单位斜面面积
6、上的作用力数值来表示,体力和面力均表示单位体积、面积上的作用力，所以考虑平衡条件求合力时，须乘以相应的体积和面积,正负号规定： 、 、 沿坐标正 向为正，负向为负,量纲（因次）：,fy,fz,P,f,fx,矢量 方向沿 的极限方向,体力,、 、 沿坐标 轴正向为正、负向为负,量纲：,P,方向沿 极限方向,正负号规定：,面力,内力,求解方法：截面法,定义：物体本身不同部分之间相互作用的力,P,m,n,矢量 方向沿 的极限方向,量纲：,应力 内力集度 反映内力分布情况（应力场）,沿截面切向和法向分解为 和,应力 的两种不同分解方法,沿坐标轴分解,b)沿截面法向和切向分解,除了在推导公式过程中沿坐标
7、轴分解外，通常 采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正 应力 和切应力 ，因为与物体形变和材料强 度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和 切线方向的分量。,位移,定义：所研究点在变形前后位置的改变,记号： 、 、,正负：沿坐标轴正向为正，负向为负。,分类:与形变有关的位移和与形变无 关位移（刚体位移）,应变,定义：构件单位形状的改变（长度的改变和角度的改变）,线应变（正应变）：线段单位长度的伸缩。,记号：,正负：伸长为正，压缩为负,切应变(剪应变)：两方向线段夹角的改变。,记号：,(以弧而非角度表示),正负：直角变小为正，变大为负,弹性力学中的基本假设,现实问题往往十分复杂，科学研究不
8、可能考虑所有因素，否则问题将难以求解。只能对各种因素进行分析，抓住主要因素，忽略次要因素，并概括主要因素建立一种抽象模型，对该模型进行研究，其研究结果可用于任何符合该模型的实际物体。引入假设的主要目的在于希望能利用数学工具来研究弹性力学。,连续性,完全弹性,均匀性,各向同性,小变形,连续性,从宏观上认为物体是连续的，则所有物理量如应力、应变和位移都可为坐标的连续函数，从而在数学推导时可利用连续和极限的概念，采用微积分、微分方程、微分几何、积分方程、变分等数学工具对弹性力学进行研究。,如无特别说明，所有函数均是连续的，且有它所需的各阶连续微商。,线性完全弹性,该假定使本构关系（物理方程）成线性方
9、程,线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力学区别于连续介质力学其它分支的标识,完全弹性：弹性极限以下,线性弹性：比例极限以下,引起物体变形的外力除去后，物体能够完全回复原有形状的，称为完全弹性； 如果在变形过程中，外力与物体变形成线性关系，则为线性弹性,脆性材料的物体，在应力未超过比例极限以前，可作为近似的完全弹性体。塑性材料的物体，在应力未超过屈服极限以前，作为完全弹性体,均匀性 组成物体的材料在空间分布是均匀的 物体各部分具有相同的弹性，弹性常数等物理量不随位置坐标变化，可取该物体中任一小部分来分析，然后把分析结果应用于整个物体。,应变分量远小于1（ 、 ）,物体各点的位移
10、物体尺寸,小变形 位移和变形是极微小的。,建立变形后的平衡方程时，采用变形以前的尺寸代替变形后的尺寸，使方程简化。,考察变形和位移关系时，转角和应变的二次和更高次幂或乘积可略去。从而将几何方程和平衡微分方程简化为线性方程。,各向同性 任一点各方向的材料性质相同,物体的弹性在各方向相同，弹性常数等物理量不随方向变化。,小变形、各向同性、均匀性和无初应力等假设可简化问题的处理，但不对弹性理论的基本框架产生本质的影响。,有限元研究的是在上述五假定条件下建立的一种力 学模型，即研究问题为理想弹性体的小变形问题。,理想弹性体满足连续性、完全弹性、均匀性和 各向同性假定的物体。,在连续性、完全弹性、均匀性
11、、各向同性和小变形假定 下，弹性力学问题化为线性问题，可应用叠加原理,弹性力学基本方程,弹性力学研究机构在力作用下的变形、应变与应力问题，与材料力学不同，弹性力学研究对象为一般物体，因此，其理论基础是建立在变形体分析基础上的一组微分方程，也就是弹性力学基本方程 基本方程研究微小单元体的静力学平衡，得到了弹性体平衡方程，是一组偏微分方程组 基本方程研究了在微小变形下位移与应变之间的关系，得到了弹性体几何变形方程，也是偏微分方程组 基本方程研究了弹性体的应力与应变关系，也就是广义胡克定律，是线性代数方程组,基本物理量 外力 分布力：体力、面力等 集中力 应力 应变 位移,x,z,y,几何方程 几何
12、方程：应变和位移的关系,x,y,刚体位移：应变为零的位移,为积分常数,物理方程 物理方程：描述应力和应变之间的关系 弹性矩阵,对称,平衡方程 边界条件 力的边界条件 位移边界条件,y,z,应力微元体平衡,*,弹性力学问题 求解位移函数 ，它满足 三个平衡方程 六个几何方程 六个物理方程 力的边界条件和位移边界条件 数学上是偏微分方程的边值问题 全部点的位移集合反映结构的变形 弹性结构上有无穷多个点，所以有无穷多个自由度 由位移函数可求得应变 由应变可求得应力,平面问题基本方程,平面问题：2维（x,y) 位移：u,v 应力： 应变： 两类平面问题：平面应力、平面应变,工程中很多问题，由于结构和受
13、力载荷上的特点，其某个方向的应力或应变等于0，分别称为平面应力和平面应变问题，统称平面问题。 平面问题是2维问题，求解比空间3维大为简单,a,b,x,y,平面应力,载荷条件：薄板上无表面载荷，所有外载荷均作用于板的侧面，且平行于板面，沿厚度方向不变,几何条件：物体在某坐标方向（z）上的几何尺寸远小于其他两个方向（x,y)的尺寸，即薄板,平面应力问题基本方程 平衡方程：两个微分方程 边界条件,几何方程：三个偏微分方程 物理方程：三个线性代数方程,弹性矩阵,几何条件：Z方向尺寸远大于x、y方向，横截面沿z轴不变化 载荷条件：载荷平行于横截面，且沿z轴不变化 结论：任一横截面均可看成对称面（简化成平
14、面问题） 典型结构如大坝,x,y,z,y,x,平面应变,位移、应力和应变分量 位移分量: 应变分量 应力分量,由虎克定律求得,平面应变问题的由来,平衡方程,几何方程 物理方程 边界条件,处理方法 过程同平面应力 计算时材料常数的处理 理论公式上对平面应力公式做如下变换 程序应用中 选择平面应变选项即可 几何模型为结构的横截面,虚位移 结构约束所允许的任何微小位移 虚应变 虚位移所产生的应变 虚位移原理 外力在虚位移上所做的功等于弹性体内应力在相应的虚应变上所做的功,弹性体虚位移原理,第7章 弹性力学有限元法,有限元求解问题的基本步骤,问题分类 对所要求解的物理问题进行分析，确定问题的物理背景以
15、及分析所要达到的目的，从而决定将进行分析类型 例如，对某一汽车底盘结构进行分析，可以进行静力学分析，从而得到底盘在载荷作用下的应力与变形，以判断结构的强度和刚度；可以进行模态分析，从而得到底盘的制动模态和振型，判断结构在某些激励下是否会发生共振；也可以进行瞬态动力学分析，以得到结构的动态响应,建模,根据问题的类型，决定所要研究的对象范围，并进行简化后建立几何模型 几何模型根据问题特征，可以建立为三维实体、二维的平面应力和平面应变、板壳和一维的杆梁等类型 在几何模型建立中，对于一些细小的工艺结构特征，如退刀槽、小固定螺孔等应予以忽略。,连续体离散化,将建立的几何模型转换成单元网格组成的有限元模型
16、过程称之为离散化 在有限元模型中，单元之间以节点互相连接，并传递作用力；相邻单元边的位移（变形）需要一致，称为协调 有限元模型与原几何模型的差别，称为离散误差 增加有限元的单元数量，划分更多的单元，可以减小离散误差,单元分析,选择单元位移模式 按照问题对单元特性、精度、计算量等要求，选择合适的单元位移模式（位移函数次数） 刚度矩阵分析 根据假设位移模式，计算单元的应变、应力和应变能及势能，由能量原理得到单元刚度矩阵 等效节点载荷 按照位移同样的离散原则，把作用在单元上的体力、面力、非节点集中力等外载荷等效地离散作用到单元节点上，形成等效节点载荷,整体方程组的形成,将各个单元的刚度矩阵、未知位移、等效节点载荷并起来，形成
