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1、2019/5/22,1,第4章 方差分析与析因实验,4.1 方差分析简述 4.2 单因素试验的方差分析 4.3 双因素试验的方差分析,析因实验：通过对试验结果观测值的波动（变差）的分析，寻找影响结果的主要因素，判断因素的影响是否显著的一种方法。常借助于对试验数据的方差分析来实现。,2019/5/22,2,一、变差及变差平方和的加和性:,1、变差（残差）Ri ：表示 n 个试验结果 xi 间的差异。,2、变差平方和 SS：（变差的数量表示方法）,3、方差S：变差平方和 SS与其自由度 f 之比。也叫平均变差 平方和。,4.1 方差分析简述,2019/5/22,3,推论：将实验结果中的总变差平方和
2、分解成来自每一主要因素、交互作用因素和试验误差的平方和，通过比较各因素的变差平方和的大小，即可判断各个因素对总结果影响的显著性。,4、变差平方和的加和性:当一组观测值受多个因素的影响时，这组观测值的总变差平方和等于各因素所引起的变差平方和之和。,2019/5/22,4,二、 方差分析的基本原理,不同组的均值间的差别基本来源有两个： （1）随机误差如测量误差造成的差异，称为组内差异，用指标值在各组的均值与该组内指标值之变差平方和的总和表示，也称为误差变差平方和。 （2）实验条件即不同因素或因素不同的水平造成的差异，称为组间差异。用指标值在各组的均值与总均值之变差平方和表示，称为因素变差平方和。,
3、误差变差平方和与因素变差平方和除以各自的自由度，可得到各自的平均变差平方和，即方差。而当因素的变化对指标确有影响时，组间差异是随机误差与因素变化共同作用的结果，说明各样本来自不同总体，此时因素的方差远远大于误差的方差。,2019/5/22,5,三、方差分析的基本过程,(1) 将各因素的变差平方和分别除以各自的自由度，求得各因素的方差和误差的方差。,，,(2) 计算F值。,(3) 用F检验法检验因素及其交互作用的显著性。把 作为检验因素显著性的判别尺度，即F的临界值。如果 ， 则判定因素i的影响显著。,2019/5/22,6,4.2 单因素试验的方差分析,试验中，使其他因素都尽量维持不变而只对一
4、个因素的水平加以变化，以检验该因素的影响是否显著的方法。,一、单因素方差分析的基本原理,因素A： p个水平，记为 Ai（i=1，2，p，水平数）； 每水平测试重复 n 次，数据记为 yiz ( z1，2，n，测量次数)。,2019/5/22,7,表4-1 A 因素不同水平和测试次序下的测试结果,yiz表示在因素A的第i个水平下，第z次的试验结果。,2019/5/22,8, i 水平下数据结果的平均值：（列内）,1、方差分析的前提, 全部测试数据结果的总平均值：, 总变差的平方和：,1）每一个试验条件看成一个总体（p个总体，每个总体 n 个 数据）。p个总体相互独立。每个总体属于正态分布。 2）
5、每个总体中的方差 S2 相同。,2019/5/22,9,2、总变差平方和的分解,令,误差平方和SS：各水平下变差平方和之总和。由实验误差造成。,因素变差平方和SSA：各水平的均值与总平均值的变差平方和之总和。表示了因素A水平变化对实验结果所造成的变差。,2019/5/22,10,3、方差,SST的自由度fT：SST中独立偏差的个数。fT pn-1 = N-1., 因素方差, 误差方差,比较因素方差与误差方差的大小，可判断因素 A 所引起的结果波动是否比误差引起的波动大。,SSA的自由度fa： fap-1,SS的自由度fe：fp(n-1)N-p,2019/5/22,11,4、F函数,5、F检验步
6、骤：,2、选取显著性水平。从F分布表（附录3）上查F检验的临界值 。,1、计算因素方差MSA和误差方差MS及观测值的F值。,3、如果FAF，认为因素A对试验结果变差的影响在下是显著的；反之，不显著。,显著程度分级： (1) 如FF0.0l，特别显著； (2) 如F0.01FF0.05，显著； (3) 如F0.05FF0.10，有一定影响。,2019/5/22,12,例4-1 在热水管工作温度和充液率一定的稳定工况下，为考察添加剂浓度对热水管传热系数h0（Wm3.）的影响，选取4种浓度的某添加剂，各进行4次测定。试验结果列入表5-3。试分析在风险度取0.05时，添加剂浓度对热水管传热系数的影响是
7、否显著？添加剂的浓度取多大合适？,表4-2 不同添加剂浓度 (ppm)对热水管传热系数 h0 的影响,2019/5/22,13,解：有4种添加剂浓度，因素的水平数p=4；每个水平下重复进行4次试验，n=4。因此总的试验次数N=pn=16。总自由度fT=N-1=15，因素自由度fA=p-1=3，误差自由度f= p(n-1)=12,全部测试数据结果总和T为：,各水平下n次试验结果总和的平方和为：,全部测试数据的平方和为：,2019/5/22,14,求因素变差平方和 SSA 和误差平方和 SS,fA = p-1 = 3， f= p(n-1) =12,计算方差:,2019/5/22,15,F0.01(
8、3,12) =5.95， F0.05(3,12) =3.49；F0.05(3,12)FAF0.01(3,12),比较F值:,计算F值:,结论：在风险度 0.05 时，添加剂浓度对热水管传热系数的影响显著。浓度取4ppm左右时最理想。,2019/5/22,16,4.3 双因素试验的方差分析,交互作用：不同因素不同水平互相搭配联合起来影响试验结果。,交叉分组：把因素 A、B 的每个水平都搭配到。,表4-3 双因素交叉分组试验方案,2019/5/22,17,一、无重复无交互作用的双因素交叉分组试验,表4-4 双因素交叉分组试验,（i=1，2，p）,（j=1，2，q）,2019/5/22,18,1、总
9、变差平方和SST为,2019/5/22,19,令,（因素A的变差平方和。由于因素A的水平变化引起的观测值波动）,（因素B的变差平方和，由于因素B的水平变化引起的观测值波动）,（误差平方和）,2、自由度,f T=N-1=pq-1； fA =p-1； fB=q-1； f =(p-1)(q-1),2019/5/22,20,4、利用F 检验法判断因素的显著性：,3、因素方差和误差方差,先用观测数据分别计算出F：,2019/5/22,21, 将 F(fA，f)与FA； F(fB，f) 与FB分别进行比较。,如 ，认为因素A对试验结果的影响显著；反之，不显著； 如 ，认为因素B对试验结果的影响显著；反之，
10、不显著。, 取显著性水平。对因素A，在F分布表上查得临界值F(fA，f)；对因素B，查得临界值F(fB，f) 。,2019/5/22,22,例4-2 对某型高速钢铣刀进行等温淬火工艺试验，以考察等温温度（因素A）和淬火温度（因素B）对铣刀硬度的影响。已知等温温度和淬火温度对铣刀硬度的影响无交互作用。根据专业知识和实践经验，等温温度和淬火温度各取三个水平，按析因试验安排试验方案，因素水平及试验结果如下表所示。试判断在所选的水平范围内，等温温度和淬火温度对高速钢铣刀的硬度影响是否显著？,2019/5/22,23,分析：对原始试验结果数据均减去66，并求出行总和、列总和及其平方，整理后的结果如下表。
11、,2019/5/22,24,自由度：fA=2； fB=2; f=4; fT=8,2019/5/22,25,方差分析表,结论：在所选的水平范围内，等温温度的水平变化对硬度无显著影响，而淬火温度的水平变化对硬度的影响显著。,2019/5/22,26,二、考虑交互作用的双因素试验,设因素A有p个水平（A1，A2，.，Ai，Ap），因素 B 有 q 个水平（B1，B2，.，Bj，Bq），共有 pq 个不同的水平组合AiBj；每个水平组合 AiBj 重复进行 n 次测量（n2，为恒定值）。水平组合 AiBj 的第 z 次测量值记为 yijz，(z1，2，.，n)。,存在问题：因素间的交互作用，常常是不容
12、忽视的。为了判断两个因素是否存在交互作用，必须做有重复的试验，否则交互作用和试验误差就难以区分。,2019/5/22,27,双因素重复交叉分组试验的试验结果,2019/5/22,28,定义：,2019/5/22,29,1、变差平方和,总变差平方和 SST为：,2019/5/22,30,令：,则：,（试验误差平方和）,（因素A的变差平方和）,（因素B的变差平方和）,（因素A、B交互作用的变差平方和）,2019/5/22,31,2、自由度,f T=pqn-1 fA=p-1， fB =q-1 fAB =（p-1)(q-1） f =pq（n-1）,3、方差,4、F 值,5、F检验,2019/5/22,
13、32,例4-3 为考查电极材料和环境温度对蓄电池输出电压的影响，采用 3 种电极材料和 3 个环境温度，并在每种实验组合下重复测量输出电压 4 次，实验方案及结果见下表 4-3。,表4-3 测量的输出电压值，Vl00,试分析电极材料和环境温度对蓄电池输出电压的影响。,2019/5/22,33,解 p=3， q=3，n=4,分析 本例是双因素、有重复的实验，要考虑交互作用。,2019/5/22,34,方差分析过程如下表,2019/5/22,35,问题：,1、怎样才能减少实验次数呢？ 2、某因素显著，其所有水平对试验结果的影响都显著吗？,对策：正交试验设计。,下一章 正交试验设计,2019/5/2
14、2,36,练习思考题：,1、为了考查油、水和碱水3种冷却液对某种钢的淬后洛氏硬度（HRC）的影响，同一种冷却液下淬火3次，测得淬后硬度如下表所示。以淬后硬度最高的冷却液为最优。试分析冷却液种类对淬后硬度的影响是否显著？并选择较优的冷却液种类。,2019/5/22,37,3、用3台同型号的机器生产规格相同的铝合金薄板。现从3台机器生产出的薄板中各取5块，测出厚度值，结果如下表。试分析各机器生产的薄板厚度有无显著差异（0.05）? 。,2019/5/22,38,7、为分析人造纤维的抗拉强度受掺入其中的棉花的百分比的影响，现取5个棉花百分比15、20、25、30和35，每个棉花百分比下对人造纤维的抗拉强度测试5次，结果列于下表。问人造纤维的抗拉强度是否受掺入棉花百分比的影响（0.01)? 。,2019/5/22,39,9、已知影响某型号钢的冲击值的因素主要是含铜量和试验温度，不同含铜量和试验温度组合状态下冲击值的实测数据如下表。试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异（0.05） 。,2019/5/22,40,12、考察两种摩擦速度和两个使用温度对某材料磨损率的影响。试验结果如表5-33所示（单位为mg.d-1）。试以0.90的置信度决定摩擦速度和使用温度对材料磨损率是否影响显著。,
