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1、,中值定理与导数的应用,第 4 章,主讲教师：,第 4 章 中值定理与导数的应用,中值定理,洛必达法则,函数的单调性与凹凸性,函数的极值与最值,*函数图形的描绘,4.5 函数图形的描绘,1,2,曲线的渐近线,函数作图的步骤,4,一种奇特的美统治着数学王国，这种美不像艺术之美与自然之美那么相类似，但她深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏，与艺术之美是十分相象的。 库默,用一条单独的曲线，像表示棉花价格而画的曲线那样，来描述在最复杂的音乐演出的效果在我看来是数学能力的极好证明。 开尔文,利用函数一阶导数和二阶导数的符号，可以确定函数图形的增减区间，凹凸区间，极值点和拐点。有时函数曲线会无限接
2、近于一条直线，这样的直线称为曲线的渐近线。为了能更好地画出函数图形，我们先研究渐近线的有关内容。,无渐近线 .,点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线 L 为,曲线C 的渐近线 .,例如, 双曲线,有渐近线,但抛物线,或为“纵坐标差”,1. 水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有铅直渐近线,求曲线,的水平渐近线.,，所以,是曲线的一条水平渐近线,因为,解,求曲线,的铅垂渐近线.,所以,是曲线,的一条铅垂渐近线，所以,是曲线,的一条水平渐近线。,因为,且,解,2. 斜渐近线,斜渐近线,若,求曲线,的斜渐近线.,=,=1
3、,=,=,则,为曲线,的斜渐近线。,解,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,期性 ,以及函数与坐标轴的交点 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,为 0 和不存在,的点 ;,并考察其对称性及周,作函数,（1）定义域：,（2）,（3）曲线与坐标轴交点为（0,0）；,（5）一阶可疑点为,二阶可疑点为,（6）,为铅垂渐进线,为斜渐近线,的图形,；,是非奇非偶非周期函数；,（4）,解,（7）把上述信息汇总列表如下：,（8）作出函数的图形，如图4.20,水平渐近线 ; 铅直渐近线;,1. 曲线渐近线的求法,斜渐近线,按作图步骤进行,2. 函数图形的描绘,1. 曲线,(A) 没有渐近线；,(B) 仅有水平渐近线；,(C) 仅有铅直渐近线；,(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,拐点为 ,凸区间是 ,2. 曲线,的凹区间是 ,提示:,及,渐近线 .,
