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1、,一、单元体截面上的应力,正应力：仍以拉压力为正，压应力为负； 切应力：当表示切应力的矢有绕单元体内任一点作顺时针转动趋势时为正，反之为负； 斜截面外法线与x轴所成角度：从 x 轴按逆时针转向转到外法线n时为正，反之为负。,设de斜截面面积为dA，则ae面的面积为dAsin 面的面积为dAcos 。取 t 和 n 为参考轴，建立棱柱体ade的受力平衡方程如下：,由切应力互等定理有x=y，并利用三角关系： 、 及 对以上二式进行整理得到：,利用上述两式可以求得de斜截面上的正应力和切应力。且斜截面上的应力是角度 的函数，正应力和切应力 随截面的方位改变而变化。 若已知单元体上互相垂直面上的应力x
2、、x 、y、y，则该点处的应力状态可由上述两式完全确定。,例8-1 已知构件内某点处的应力单元体如图所示，试求斜截面上的正应力 和切应力 。,解：按正负号规定则有：,代入公式得：,将公式 对 求一阶导数、并令其为0：,则有：,二、主应力和极限切应力,1、主应力和主平面,则,极值正应力所在的平面恰好是切应力等于零的面，即主平面。因此极值正应力就是主应力。,最大主应力和最小主应力的计算式,确定 max 和 min 所在平面的方法,1）若xy，则所求的两个角度0 和90+ 0 中， 绝对值较小的一个确定max所在的平面；,2）若xy，则所求的两个角度0 和90+ 0 中， 绝对值较小的一个确定min
3、所在的平面；,确定max和min所在平面的方法,3）若x=y ，如果有x 使单元体顺时针转动趋势，则 指向为从所在的 x 轴正向沿顺时针转过45，如图a 所示；如果有x 使单元体逆时针转动趋势，则指向 为从所在的x轴正向沿逆时针转过45，如图b所示,2、极限切应力及所在平面,同理：将公式 对 求一阶导数，并令其为0：,则有：,则,上式解得的斜截面角有1 和90+1 两个，其中一个是max所在的平面，另一个是min所在的平面，且两个主平面相互垂直的。,例8-2 扭转试验破坏现象如下：低碳钢试件从表面开始沿横截面破坏，如图a所示；铸铁试件则从表面开始沿与轴线成倾角的螺旋曲面破坏，如图b所示。试分析
4、并解释它们的破坏原因。,解：1）试件横截面最外端切应力最大，所以低碳钢和铸铁两种试件均从表面开始破坏。,2）要解释断口的不同，首先确定最大正应力和最大切应力所发生的平面：,当 时，,当 时，,低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力低于其抗拉能力。 铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低于其抗剪能力。,例8-3 图示单元体，x=100MPa，x= 20MPa， y=30MPa。试求：1） = 40 的斜截面上的 和 ；2）确定A点处的max、max和它们所在的位置。,解：1） ，代入公式,2）A点处的max、max,因 x y ，则所求的两个角度0 和 90 + 0 中，绝对值较小的 1452 确定max所在的平面。,max 所在截面的方位角：,
