《应用微积分(上册) 教学课件 ppt 作者 刘春凤《应用微积分》第6章 6.1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用微积分(上册) 教学课件 ppt 作者 刘春凤《应用微积分》第6章 6.1（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第 6 章 定积分及其应用,定积分的概念与性质,定积分的计算,定积分的应用,6.1定积分的概念与性质,定积分问题举例,1,定积分的定义,2,定积分的几何意义,3,定积分的性质积分中值定理,4,实例1 （曲边梯形的面积问题）,求其面积 A .,矩形面积,梯形面积,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列
2、演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和
3、与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,解决步骤,1) 分割.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 近似代替.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应窄,曲边梯形面积,得,3) 求和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,实例2
4、 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,1）分割,3）求和,4）取极限,路程的精确值,2）近似代替,得,解决步骤,即,在区,任一种分法,任取,总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数,上的定积分,记作,间,6.1.2定积分定义,积分上限,积分下限,积分和,此时称 在 上可积 .,(1) 函数在区间上可积,要求区间有限.函数在这区间内是有界的.,【注】虽然在划分和选点是任意的,但其和式只有唯一的极限.这样,对于函数如果可积,则可用特殊的点和特殊的划分使问题简单
5、.,(2) 定义中对小区间的划分和选点是任意的.,(3) 定积分和积分变量的字母的选取无关.,例如,(4) 定积分只与被积函数和积分区间有关.与区间的 划分和选点无关.,由积分定义,可知以 上连续曲线 为 曲边的曲边梯形的面积,利用定义计算定积分,为方便计，将区间 n 等分，,在 上连续，故 在 上可积,左侧取点,解,于是有,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,利用定义几何意义计算定积分,定积分 表示曲线 与直线,及x轴围成的图形面积，该图形是圆,心在原点，半径为1的四分之一圆,其面积为,解,(设所列定积分都存在),（线性）线性组合的定积分等于定积分,的线性组合,即存在ki
6、(i = 1,2.n)为常数,使得,性质的好处是把较复杂的积分变成几个简单的积分.,（可加性）,c点可在a,b的区间内,也可在区间外.,【注】,【注】,（单位性） 如果在 上 ,则,其几何意义是高为1的矩形面积等于底边乘高.,如,则,【注】,(可估性) 设M与m分别是f ( x )在区间a,b是的最大值与最小值,则,该性质可用来计算不等式.具体做法是利用被积函数的性质;如极值,单调性等得到在该区间中的最大值M和最小值m.,-定积分中值定理,积分中值公式的几何解释：,几何意义: 是曲边梯形的面积 等于以 为底边, 为高的矩形面积,由性质6.5，得,比较下列各对积分值的大小。,(1),与,(2),
7、与,(1) 因为在,上，,(2) 令, 在区间,上，,所以,，又,，当,时，,解,即,从而,由性质6.5，得,估计定积分,的值。,在区间,上的最大值和最小值。,，得驻点,，因为,比较驻点,，区间端点,得最小值,，最大值,根据估值定理得,先求,令,的函数值,解,证明,因为,，不妨设,，则,在,由积分中值定理知，,使,所以,上连续，,证,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,典型问题,定积分的实质？,定积分的思想与方法？,定积分的实质: 特殊和式的极限,定积分的思想与方法,分割,化整为零,求和,积零为整,取极限,精确值定积分,求近似,取极限,习 题 6.1,习题答案：,
