数字视频图像处理与通信 教学课件 ppt 作者 刘富强 王新红 宋春林 陈康力第3_4章 第3章

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1、第3章 图像变换,目录,3.1 傅里叶变换 3.2 离散余弦变换 3.3 沃尔什-哈达玛变换 3.4 K-L变换 3.5 小波变换,3.1 傅里叶变换,3.1.1 傅里叶变换基本概念,傅里叶变换的数学定义 设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件： 具有有限个间断点 具有有限个极值点 绝对可积 则定义f(x)的傅里叶变换公式为 它的逆反变换公式为 其中，x为时域变量；u为频域变量。,3.1.1 傅里叶变换基本概念,设F(u)的实部为R(u)，虚部为I(u)，则 或者写成指数形式 其中，f(x)的傅里叶幅度谱为 f(x)的相位谱为,3.1.1 傅里叶变换基本概念,将傅里叶变换推广

2、到二维 如果二维函数 满足狄里赫莱条件，那么可以导出二维傅里叶变换及其反变换： 同样，二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱为 定义能量谱为,3.1.2 离散傅里叶变换 (DFT),应用：数字信号处理，数字图像处理 具有快速算法，即快速傅里叶算法(FFT) DFT定义 对于长度为N的数字序列，则其离散傅里叶正变换定义为 傅里叶反变换定义为 式中，x=0，1，2N-1,3.1.2 离散傅里叶变换 (DFT),令 则上述公式变成 矩阵形式分别为,3.1.3 傅里叶变换的性质,线性 设 和 分别为二维离散函数 和 的离散傅里叶变换，则 其中，a、b是常数。 可分离性 其中， 均取,3.1.3 傅里叶变换的性

3、质,可分离性的重要意义在于：一个二维傅里叶变换或反变换都可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅里叶变换或反变换，过程可用下图表示。 平移性 又 平移后幅值不变,3.1.3 傅里叶变换的性质,周期性和共轭对称性 周期性 式中， 共轭对称性,3.1.3 傅里叶变换的性质,旋转不变性 引入极坐标 将 和 分别变为 和 则在极坐标系中，存在以下变换对,3.1.3 傅里叶变换的性质,分配性和比例性 加法分配性 比例性 对于两个标量 和 ，有,3.1.3 傅里叶变换的性质,平均值 二维离散函数的平均值定义为 将 带入二维离散傅里叶定义式，可得 比较上式可得,3.1.3 傅里叶变换的性质,微分性质 二维

4、变量函数 的拉普拉斯算子的定义为 按二维傅里叶变换的定义，可得 卷积定理 两个二维连续函数 和 的卷积定义为,3.1.3 傅里叶变换的性质,设 则 对于离散的二维函数 和 同样可应用。由于离散傅里叶变换和反变换都是周期函数，为了防止卷积后产生交叠误差，需对离散二维函数的定义域加以扩展。 设 和 是大小分别为 和 的离散数组，则补零后的二维周期序列为,MA+C-1 NB+D-1,3.1.3 傅里叶变换的性质,相关定理 二维连续函数相关定理为 离散和连续情况的相关定理都可表示为 式中，“*”表示共轭。对离散变量来说，其函数都是扩充函数，用 、 表示。,3.1.4 快速傅里叶变换,快速傅里叶 算法根

5、据N的组成状况不同可以分为以下三种情况：N为2的整数幂的算法，N为高复合数的算法，和N为素数的算法。这里介绍第一种算法。 令 一维离散傅里叶变换公式变为 分别为 。再令 按照奇偶来将序列f(n)进行划分，设,3.1.4 快速傅里叶变换,一个求N点的DFT可以转换成求两个N/2点的DFT。,以N=8的DFT为例,3.1.4 快速傅里叶变换,和 都是4点的DFT, 周期为4,以N=8的DFT为例,又,3.1.4 快速傅里叶变换,蝶形运算,和 可以继续分解,是2点DFT，不能继续分解可直接，由原始数据计算得出,3.1.4 快速傅里叶变换,和 仅在运算符上不同，同理可以推出 与 、 与 、 与 在运算

6、符上不同。为了快速实现傅里叶变换，要对 进行“逆序”重排。例如， 时，,3.2 离散余弦变换,3.2.1 离散余弦变换的定义,离散余弦变换实际上是傅里叶变换的实数部分，主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式。 具体的做法与DFT 相似，即给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。 一维离散余弦变换与反变换定义,是第 个余弦变换系数， 是广义频率变量， 是时域 点序列，,3.2.1 离散余弦变换的定义,二维离散余弦变换的定义,3.2.1 离散余弦变换的定义,二维离散余弦反变换定义,由傅里叶变换到离散余弦变换,其中,3.2.2 离散余弦变换的正交性,离散余弦变换矩阵定义表达式 F(

7、u)=Af(x) 其中，A为变换矩阵；F(u)=F(0),F(1),F(2),F(3)为变换系数向量；f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)为时域数据向量。同理， f(x)= F(u) 离散余弦变换来自切比雪夫多项式。切比雪夫多项式是正交多项式，所以离散余弦变换是一种正交变换。即，,3.2.3 离散余弦变换的计算,首先，将 进行延拓，得到 由于 为 的 点DFT，离散余弦变换 可以把长度为 的序列 进行DFT，最后取DFT的实部。 同理，对于离散余弦反变换，也可以按照下式延拓,3.2.3 离散余弦变换的计算,从上式可见，离散余弦反变换可以由 的 点的IDFT来实现。,3.2.3 离散

8、余弦变换的计算,离散余弦变换的效果,3.3 沃尔什-哈达玛变换,3.3.1沃尔什变换,一维离散沃尔什变换 若N=2n，则离散f(x)（x=0,1,2,N-1）的沃尔什变换对为,沃尔什变换具有能量集中的作用，原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此沃尔什变换可以压缩图像信息，且沃尔什变换比傅里叶变换快。,3.3.1沃尔什变换,二维离散沃尔什变换 二维离散沃尔什变换的正反变换核相同，均为 二维离散沃尔什变换对为 快速沃尔什变换为,3.3.2哈达玛变换,一维离散哈达玛变换 当N=2n时，一维哈达玛正变换核与反变换核相同，为 一维哈达玛变换对可表示为 哈达玛变换核除了 因子

9、之外，由一系列的+1和-1组成。,3.3.2哈达玛变换,二维离散哈达玛变换 二维离散哈达玛变换的正变换核和反变换核相同，为 式中M=2m，N=2n，则对应的二维哈达变换对可表示为 式中u=01,2,M-1;v=0,1,2,N-1； 和 式中，x=0,1,2,.,M-1；v=0,1,2,.,N-1,3.4 K-L变换,K-L变换（Karhunen-Loeve Transform）,K-L变换（Karhunen-Loeve Transform）是建立在统计特性基础上的一种变换，有的文献也称为霍特林（Hotelling）变换，这是因为霍特林在1933年最先给出将离散信号变换成一串不相关系数的方法。

10、K-L变换的突出优点是相关性好，是均方误差（Mean Square Error，MSE）意义下的最佳变换，它在数据压缩技术中占有重要地位。 假定一幅NN的数字图像通过某一信号通道传输M次，由于受随机噪声干扰和环境条件影响，接收到的图像实际上是一个受干扰的数字图像集合即 , , ,K-L变换（Karhunen-Loeve Transform）,对第i次获得的图像 ,可用一个含 个元素的向量Xi表示，即 Xi=Xi1Xi2XiNXijXiN2T 该向量的第一组分量（N个元素）由图像 的第二行像素组成，依此类推。也可以按列的方式形成这种向量。 X向量的协方差矩阵定义为 Cf=E（X-mf）（X-mf

11、）T 平均值向量 定义为,K-L变换（Karhunen-Loeve Transform）,对于M幅数字图像，平均值向量mf和协方差矩阵Cf可由下述方法近似求得 mf = EX Cf=E（X-mf）（X-mf）T mf mfT 可以看出，mf是 个元素的向量；Cf是 的方阵。 根据线性代数理论，可以求出协方差矩阵的 个特征向量和对应的特征值。假定i(i=1,2,N2)是按递减顺序排列的特征值，对应的特征向量 ei= ei1, ei2, ,eiN2(i=1,2,N2),K-L变换矩阵A定义为 从而可得K-L变换的变换表达式为 Y=A*（X-mX） 该变换式可理解为，由中心化图像向量X-mX与变换矩

12、阵A相乘即得到变换后的图像向量Y。Y的组成方式与向量X相同。,K-L变换（Karhunen-Loeve Transform）,3.5 小波变换,3.5.1 小波的基本概念 3.5.2 小波变换 3.5.3 多分辨率分析 3.5.4 Mallat算法 3.5.5 图像的小波变换及算法,3.5.1 小波的基本概念,小波，顾名思义就是小区域的波，长度有限，平均值为0。 小波具有两大特点： 一在时域都具有紧支集或者近似紧支集，即具有时域局限性，同时又具有正则性。 二小波具有正负交替的波动性。,如图3-5所示，在傅里叶分析中所用的正弦波在时间上没有限制，但是小波倾向于不规则和不对称。傅里叶分析是将信号分

13、解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个基本小波函数经过平移与尺度伸缩得来。,图 3-5 （a）正弦波 （b）小波,小波函数的定义是，将某一平方可积函数 ( )，称为基本小波，此时， 为一个基本小波或者小波母函数，将小波母函数 进行伸缩和平移，其伸 缩因子为 ， 也叫尺度因子，其平移因子为 。经过平移和伸缩后的函数为 ， 那么有： ， ， (3-86) 这里 叫做依赖于参数 ， 的小波基函数。尺度因子 和平移因子 都是连续变化的 值，因此 也叫做连续小波基函数。它们是由同一母函数 记过伸缩和平移后得到 的一组函数系列。,3.5.2

14、 小波变换,连续小波变换（Continue Wavelet Transform, CWT）定义为：将任意 空间中的函数 在小波基下进行展开，那么这种展开就叫做函数 的连续小波变换，表达式： （3-87） 为小波变换系数，由于小波基函数不同于傅里叶基函数，所以小波变换与傅里叶变换有很多不同，最显著的地方就是小波基函数具有尺度 和平移 两个参数，将函数在小波基下展开，就等于将一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上。,常见的连续小波基函数有：,Morlet小波 Marr小波 DOG（Difference of Gaussian）小波,Morlet小波 时域形式： 频域形式： Morlet是一种复

15、数小波，时域和频域都具有良好的局部性，一般用于复信号的分解和时频分析。它在推广到 维时具有良好的角度选择性。,图3-6 （a）Morlet小波波形（b）Morlet小波频谱,Marr小波 Marr小波形状类似墨西哥草帽，所以也被称作墨西哥草帽小波（Mexican hat function）。 时域形式： 频域形式：,图3-7（a）Marr小波波形（b）Marr小波频谱,DOG（Difference of Gaussian）小波 DOG小波是两个尺度差一倍的高斯函数的差。 时域形式为：,图3-8（a）Marr小波波形（b）Marr小波频谱,3.5.3 多分辨率分析,多分辨率分析（Multi-resolution Analysis MRA），也叫做多尺度分析。多分辨率分析的概念式由S.Mallat和Y.Mcyer于1986年提出的。多分辨率分析将之前的所有正交小波基的构造统一了起来，使小波理论产生了突破性的