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1、 清华大学土木建管系学交部 多多元函元函数微分学数微分学考题考题 说明：说明： 1 考试时间为 60 分钟，满分为 100 分。 2 每份试卷共有 15 题，其中容易题 6 道，中等题 6 道，难题 3 道。 3 每份试卷中，110 题每题 7 分，1115 题每题 6 分。 4 试题范围：多元函数微分学。 一、容易题一、容易题 1 二元函数 )0 , 0(),(, 0 )0 , 0(),(, ),( 22 yx yx yx xy yxf在点)0 , 0(处 (A) 连续，偏导数存在。(B) 连续，偏导数不存在。(C) 不连续，偏导数存在。 (D) 不连续，偏导数不存在。 答：C 2 设函数)
2、,(),(yxvvyxuu由方程组 22 vuy vux 确定，则当vu 时， x u (A) vu x 。 (B) vu v 。 (C) vu u 。 (D) vu y 答：B 3 设),( 00 yx是二元函数),(yxf定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是 清华大学土木建管系学交部 (A) 若),(yxf在点),( 00 yx连续，则),(yxf在点),( 00 yx的偏导数都存在。 (B) 若),(yxf在点),( 00 yx的两个偏导数都存在，则),(yxf在点),( 00 yx连续。 (C) 若),(yxf在点),( 00 yx的两个偏导数都存在，则),(yxf在点),( 00
3、 yx可微。 (D) 若),(yxf在点),( 00 yx可微，则),(yxf在点),( 00 yx连续。 答：D 4 函数 222 3),(zyxzyxf在点)2 , 1, 1 ( 处的梯度是 (A) ) 3 2 , 3 1 , 3 1 ( 。 (B) ) 3 2 , 3 1 , 3 1 (2 。 (C) ) 9 2 , 9 1 , 9 1 ( 。 (D) ) 9 2 , 9 1 , 9 1 (2 。 答：A 5 (,)(,)f x yf x y xy 和在 00 (,)xy连续对于函数),(yxf在点),( 00 yx可微是 （A）充分条件。 (B)必要条件。 (C)充分必要条件。 (D)
4、无关条件。 答：A 6下列结论中错误的是 (A) 0 lim0(1) x y kx xy k xy 。 (B) 0 11 1 limlim 0 0 0 0 xy yx xy y x y x 。 (C) 1lim 2 0 yx xy xxy x 。 (D) yx xy y x 0 0 lim不存在。 答：B 7设函数 )0 , 0(),(, 0 )0 , 0(),(, ),( 22 yx yx yx yx yxfz，又tytx ,，则下列结论中 正确的是 (A) 0)0 , 0(df。 (B) 0 0 t dz。 (C) 2 1 0 t dz。 (D) dtdz t 2 1 0 。 答：D 8若
5、二元函数),(yxfz 在点),( 000 yxP处的两个偏导数 x z ， y z 存在，则 清华大学土木建管系学交部 （A）),(yxf在 0 P点可微。 （B）( , )f x y在 0 P点连续。 （C）),(yxf在 0 p点沿任何方向 u的方向导数存在。 （D）一元函数 0 ( )( ,)h xf x y在 0 x连续。 答：D 9已知)ln( 22 yxz，则 yx z 2 (A) 222 22 )( )(2 yx xy 。 (B) 222 22 )( )(2 yx yx 。 (C) 222 )( 4 yx xy 。 (D) 222 )( 4 yx xy 。 答：C 10若),(
6、yxf在点),( 00 yx不可微, 则一定有 （A）),(yxf在点),( 00 yx不连续。 （B）),(yxf在点),( 00 yx沿某些方向v 的方向导数不存在。 （C）),(yxf在点),( 00 yx的两个偏导数至少有一个不连续。 （D）),(yxf在点),( 00 yx两个偏导数存在且连续。 答：C 11曲面:S2xyzxyz在点(1, 1, 1)的切平面 (A) 包含y轴。 (B) 平行于y轴。 (C) 垂直于y轴。 (D) A，B，C都不对。 答：B 12设函数),(yxf有连续的偏导数,在点)2, 1 ( M的两个偏导数分别为 1 )2, 1 ( x f ,1 )2, 1
7、( y f ，则),(yxf在点)2, 1 ( M增加最快的方向是 . A i 。 .Bj。 .Cij。 .Dij。 答： D 清华大学土木建管系学交部 13函数 )ln( 1 )arccos( 22 22 yx yxz 的定义域是 (A)10),( 22 yxyxD 。 (B)1),( 22 yxyxD 。 (C)10),( 22 yxyxD 。 (D)1),( 22 yxyxD。 答：A 14已知函数),(yxzz 由方程0),(zyzxF确定，其中函数F具有一阶连 续偏导数，且，则 y z x z (A)1。 (B)0。 (C) 2 1 。 (D)1。 答：D 15二元函数),(yxf
8、2 22 2xyxy A. 没有驻点。 B. 至多有一个极值点。 C 至少有两个极值点。 D 至少有三个极值点。 答：B 16椭球面 222 236xyz在点(1,1,1)的切平面方程是 A 6xyz。 B 231xyz。 C 236xyz。 D 233xyz。 答：C 17已知 xy ez cos ，则dz (A)( )sin( cos xdyydxxye xy 。 (B) )( )sin( cos xdyydxxye xy 。 (C) )( )sin( cos ydyxdxxye xy 。 (D) )( cos xdyydxe xy 。 答：B 18设)( x y xyfz ，)(xf可导
9、，则 (A) )(2 x y fzxzy yx 。 (B) )(2 x y fzyzx yx 。 (C) zzxzy yx 2。 (D) zzyzx yx 2。 答：D 0 21 FF 清华大学土木建管系学交部 19已知 xzy zyxu ，则 (A)ln(),ln( 11 xyzxzy y u zxyxzy x u yxzyxz 。 (B) xxzy y u zxyxzy x u yxzyxz ln),ln( 111 。 (C) )ln(,ln 111 xyzxzy y u zxzy x u yxzyxz 。 (D) ,ln 11 zxzy x u yxz xxzy y u yxz ln 1
10、1 。 答：A 20函数 yx xyyxyx yxf 3223 ),(在)0 , 0(),(yx时 (A) 极限存在且等于零。 (B) 极限存在但不等于零。 (C) 极限不存在但是无穷大量。 (D) 极限不存在也不是无穷大量。 答：D 二、中等题二、中等题 1设有直线 03102 0123 : zyx zyx L及平面0224:zyx，则直线L (A) 平行于。 (B) 在上。 (C) 垂直于。 (D) 与斜交。 答：C 2直线zy x 2 2 2 与 02 012 zy yx 之间的关系是 (A) 重合。 (B) 平行。 (C) 相交。 (D) 异面。 答：B 3曲面2132 222 zyx
11、的与平面064zyx平行的切平面方程是 (A) 2 21 64zyx。 (B) 2164zyx 。 (C) 2164zyx。 (D) 2164zyx 答：D 4设函数),(yxf在点)0, 0(处的偏导数(0, 0)4 x f ，1)0, 0( y f，则下列命题中 成立的是 清华大学土木建管系学交部 （A）函数),(yxf在点(0,0)可微且(0, 0)4dfdxdy。 （B）函数),(yxf在点)0, 0(的某邻域内必有定义。 （C）空间曲线 0 ),( y yxfz 在点)0, 0(处的一个切向量为 4ik。 （D）极限),(lim )0, 0(),( yxf yx 必存在。 答：C 5
12、设 , ( , ) . xyxy f x y 和 都是有理数; 0,其它 则 (A)f在 (0,0) 可微且(0,0)0df。 (B)f在 (0,0) 的两个偏导数存在但 不可微。 (C)f在 (0,0) 可微，但(0,0)0df。 (D) A,B,C 都不对。 答：A 6设( , )sinf x yxy,则( , )f x y在)0 , 0(点 （A）连续,但偏导数不存在。 （B）可微。 （C）连续且偏导数存在。 （D）不连续但偏导数存 在。 答：C 7已知),(yxf具有二阶连续偏导数，),(xyxfz ，记xyv ，则下列结论中正 确的是 (A) vx f y x f x z 2 2 2
13、 2 2 。 (B) vx f y x f x z 2 2 2 2 2 2。 (C) 2 22 2 2 2 2 2 v f y vx f y x f x z 。 (D) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v f y vx f y x f x z 。 答：D 8下列命题中正确的是 (A) 若二元函数),(yxfz 连续，则作为任一变量x或y的一元函数必连续。 (B) 若二元函数),(yxfz 作为任一变量x或y的一元函数都连续，则 ),(yxfz 必连续。 (C) 若二元函数),(yxfz 可微，则其必存在连续的一阶偏导数。 清华大学土木建管系学交部 (D) 若二元函数),(yxfz 不连续，则其必不可导。 答：A 9已知f有连续的二阶偏导数， 22 ,yax y f yx x f , 则a 1.A 。 0.B 。 1.C。 . 2.D。 答：C 10二元函数 其他 且 , 0 0) 1(, 1 ),( xxxy yxf在点)0 , 0(处 (A) 连续且偏导数存在。 (B) 连续但偏导数不存在。 (C) 不连续但沿任何方向的方向导数都存在。 (D) 不连续且偏导数不存 在。 答：C 11 设),(yxfz 是由方程3 222 0xyzxyz确定的函数. 则f在(1
