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1、第四章 机械振动,4.1 简谐振动的动力学特征,4.2 简谐振动的运动学,4.3 简谐振动的能量,4.4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析,4.5 阻尼振动 受迫振动 共振,* 4.6 非线性振动简介,振动是自然界中最普遍的一种运动形式。物体在平衡位置附近做往复的周期性运动，称为机械振动。电流、电压、电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。,一般地说，任何一个物理量的值不断地经过极大值和极小值而变化的现象，称为振动。,虽然各种振动的具体物理机制可能不同，但是作为振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。,本章主要讨论简谐振动和振动的合成，并简要介绍阻尼振动、受迫振
2、动和共振现象以及非线性振动。,简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移 x（或角位移）随时间 t 按余弦（或正弦）规律变化的振动。, 简谐振动的运动学定义,x 可以是位移、电流、场强、温度,4.1 简谐振动的动力学特征,一、弹簧振子模型,弹簧振子：弹簧 物体系统,平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置,轻弹簧 质量忽略不计，形变满足胡克定律,物体 可看作质点,简谐振动的判据,受力,微分方程,令,单摆,结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。,当 时,二、微振动的简谐近似,摆球对C点的力矩,令,角频率，振动的周期分别为：,复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体,结论：复摆的小角度摆动
3、振动是简谐振动。,当 时,令,角频率，振动的周期分别为：,例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动（自学）,其通解为：,一、简谐振动的运动学方程,简谐振动的微分方程, 简谐振动的运动学方程,令,4.2 简谐振动的运动学,二、描述简谐振动的特征量,1、振幅 A,简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。,若已知初始条件, 由初始条件和系统本身情况决定,频率 ：单位时间内振动的次数。,2、周期 、频率、圆频率,对弹簧振子,角频率 ,固有周期、固有频率、固有角频率,周期T ：物体完成一次全振动所需时间。,2、周期 、频率、圆频率,对弹簧振子,固有周期、固有频率、固有角频率,单摆,复摆
4、,0 是 t =0 时刻的位相 初位相,3、位相和初位相, 位相，决定谐振动物体的运动状态, 由初始条件和系统本身情况决定,位相差 两振动位相之差。,当 =2k , k = 0,1,2, 两振动步调相同,称同相,当 = (2k+1) , k=0,1,2. 两振动步调相反,称反相,2 超前于1 或 1 滞后于 2,位相差反映了两个振动不同程度的参差错落,三、简谐振动的旋转矢量表示法,旋转矢量 确定 和研究振动合成很方便,例如，已知,则由左图给出,用旋转矢量表示相位关系,同相,反相,谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系,由图可见：,例：如图m =210-2kg，弹簧的静止形变为 l = 9.8
5、cm，取平衡位置为坐标原点。t =0时，x0= -9.8cm, v0 = 0 （1） 取开始振动时为计时零点，写出振动方程； （2）若取x0=0，v00为计时零点， 写出振动方程并计算频率。,解：平衡位置处,作谐振动 设振动方程为,在坐标为 x处, 受力为,例：如图m =210-2kg，弹簧的静止形变为 l = 9.8cm，取平衡位置为坐标原点。t =0时，x0= -9.8cm, v0 = 0 （1） 取开始振动时为计时零点，写出振动方程； （2）若取x0=0，v00为计时零点， 写出振动方程并计算频率。,由初条件得,由 x0 = Acos0 = - 0.098 0 cos0 0, 取 0 =
6、,振动方程为：,(2)按题意,t = 0 时 x0 = 0，v0 0,x0=Acos0=0 , cos0=0 ， 0=/2 ,3/2,v0=-Asin 0 , sin 0 0, 取0=3 /2,对同一谐振动取不同的计时起点0不同，但、A不变,固有频率,例：如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、一半径为R、转动惯量为I的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.,解：取位移轴ox，m在平衡位置时，设弹簧伸长量为l，则,当m有位移x时,联立得,例：已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。,解：设振动方
7、程为,故振动方程为,以弹簧振子为例,谐振动系统的能量 = 系统的动能Ek+系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数,4.3 简谐振动的能量,动能,势能,情况同动能,机械能,简谐振动系统机械能守恒,由起始能量求振幅,实际振动系统,系统沿x轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。,在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开,微振动系统一般可以当作谐振动处理,一、同方向、同频率谐振动的合成,合振动是简谐振动，其频率仍为,合振动:,4.4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析,用旋转矢量法讨论,如 A1=A2 , 则
8、 A=0,两分振动相互加强,两分振动相互减弱,讨论,合振动不是简谐振动,随t 快变,合振动可看作振幅缓变的准简谐振动,二、同方向不同频率简谐振动的合成,分振动,合振动,当21时,拍 合振动忽强忽弱的现象,拍频 单位时间内强弱变化的次数,*三、振动的频谱分析,振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。,谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。,若周期振动的频率为 :0,则各分振动的频率为:0、20、30,(基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , ),按傅里叶级数展开,方波的分解,一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。,*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成,质点合振动
9、的轨迹方程：,分振动,合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线,质点离开平衡位置的位移,讨论,合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线,质点离开平衡位置的位移,合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆,质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。,合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆,质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。,*五、垂直方向不同频率,可看作两频率相等而 随t 缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。,两分振动频率相差很小,为整数比,合成轨迹为稳定的闭合曲线 李萨如图,例如右图：,一、阻尼振动,阻尼振动,能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。,摩擦阻尼： 系统克服阻力作功使振
10、幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。,辐射阻尼： 振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。,4.5 阻尼振动 受迫振动 共振,阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）,振子动力学方程,振子受阻力,系统固有角频率,阻尼系数,弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比, 阻力系数,其解分三种情形,1、弱阻尼,每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。,阻尼振动的振幅按指数衰减,阻尼振动的准周期,2、临界阻尼,系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来,3、过阻尼,系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置,二、受迫振动,
11、受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动,弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程,令,周期性外力策动力,该方程的解为,稳定解,(1)频率: 等于策动力的频率,(2)振幅:,(3)初相:,特点：稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化,三、共振,在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象。,1、位移共振,(1)共振频率:,(2)共振振幅:,2、速度共振,一定条件下, 速度振幅极大的现象。,速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。,不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。,1、内在的非线性因素,发生非线性振动的原因：,振动系统内部出现非线性回
12、复力,振动系统的参量不能保持常数， 如漏摆、荡秋千。,一、非线性振动概述,单摆（或复摆）的回复力矩,自激振动,* 4.6 非线性振动简介,2、外在的非线性影响,非线性阻尼的影响,策动力为位移或速度的非线性函数,如,如,线性振动与非线性振动的最大区别：,线性振动满足叠加原理 非线性振动不满足叠加原理,近似简化、图解、计算机处理,研究方法：,微扰法,二、非线性振动研究的方法及意义,相平面法,7.4 非谐振动的傅氏分解 频谱,任何一个周期性复杂振动都可分解为一系列 谐振动的叠加,例如:,方波： （基频为v0）,由傅里叶理论，有,x(t),结论：,1.方波可分解为 v0 ，3 v0 ，5 v0 等 谐
13、振动的叠加。,2.谐频次数越高的项振幅越小。,A,v,v0,3v0,5v0,方波频谱图,7v0,O,O,方波的分解图,v0,3v0,5v0,（基频为v0）,x1+ x3+ x5,方 波,O,O,O,O,O,北京大钟寺内的巨钟的频谱图,0,100,200,300,400,500,v (Hz),7.5 两个自由度系统自由振动简介,一. 多自由度振动系统,(三自由度振动系统),二. 两自由度振动系统,两摆的运动微分方程为,其特解为,（1）,（2）,(二自由度振动系统),由(1)、(2)两式决定的特解表示两摆以相同的频率 作简谐振动的情况，振幅分别为A1、A2。,将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率：, 1 、 2分别为第一和第二简正频率,结论：,(1) 当两摆以相同的频率 1振动时，振幅相等、相位相同，如图所示。,(2) 当两摆以相同的频率 2 振动时，振幅相等、相位相反，如图所示。,(3) 一般情况下耦合摆的运动是两简谐振动的叠加，即,
