《自动控制原理 教学课件 ppt 作者 邱德润 第2章 系统的数学模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理 教学课件 ppt 作者 邱德润 第2章 系统的数学模型（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 系统的数学模型 2.1 由原理图画功能方框图 2.2 系统数学模型的建立 2.3 系统的传递函数(系统函数) 2.4 系统数学模型的试验测定 2.5 系统的模拟,2.1 由系统原理图画功能图,为了建立系统的数学模型，往往需要由系统的原理图画出系统的功能方框图。 控制系统数学模型的建立，可以按照图2.1-1的基本步骤进行。,例2.1-1 试由图2.1-2所示水位控制系统原理图画出其功能方框图，并确定其控制方式。,解：由图2.1-2可知 水箱为被控对象； 水位实际高度H y为被控量； 用水Q2 、进水压力、环境温度等为扰动量； 浮子为测量装置； 电位计为比较计算装置； 电动机、变速齿轮、控
2、制阀为执行装置；,由于电位计与电路底板的接点位置与水位的期望高度 H f 相对应，故为被控量。此系统 的功能图如图2.1-3所示。,由图2.1-3可知，此系统属于“按偏差调节”的闭环负反馈控制系统。实际控制过程如下： 当用水Q2使水箱的实际水位高度H y 与期望水位高度H f出现偏差（由电位计与电路底板的接点位置设定），被浮子测量后，通过杠杆带动比较电位计的滑动触点，直接改变电动机电枢电压的极性和大小，经过变速齿轮改变进水控制阀的开启或关闭程度，调节进水量Q1的大小，使水箱的实际水位高度H y 与期望水位高度H f 的偏差减小直至消除，H y = H f时，使电位计的滑动触点与电路底板的零电位
3、相等，电动机因电枢电压为0而停转，系统处于一种新的平衡状态。,由系统原理图画功能方框图的步骤 根据例2.1-1的求解过程，可归纳 “ 由系统原理图画功能方框图 ” 的步骤如下： 1）由系统原理图确定被控对象，这是由系统原理图画功能方框图的主要矛盾，是关键； 2）由被控对象找到被控量、扰动量、控制装置与给定量； 3）对照三种基本控制方式的功能方框图模式，即可完成系统功能方框图的绘制。,2.2 系统数学模型的建立,由系统的功能方框图及各功能方框的输入输出动态关系，可以从入到出建立系统的微分方程组，消去中间变量后，就可得到系统的微分方程。这是一个最基本的方法，也是最笨的方法。 对于线性系统，还可以利
4、用Laplase变换，把系统的功能方框图变为动态结构图，通过等效化简，消去中间变量，直接求取系统的传递函数（系统函数）；或者把系统的功能方框图变为信号流图，通过Mason公式直接求取系统的传递函数（系统函数）。 此外，还可用试验测定的方法建立系统的数学模型。,2.2.1 基本方法 1.一般非线性数学模型的线性化 一般而言，实际控制系统的元件都含有不同程度的非线性特性，如果采用非线性微分方程描述系统，就会导致求解过程的许多困难。因此，只要不是典型的非线性问题，只要分析方法不使系统产生太大的误差，则允许在一定条件下将一般非线形模型近似为线性模型。 小偏差法（小增量法）是常用的近似方法。小偏差法的前
5、提条件是：系统仅在平衡工作点附近的小范围工作；小偏差法的实质是在平衡工作点附近足够小的范围内，用平衡点的切线来取代原来连续变化函数的非线性特性。小偏差法的示意图如图2.2-1所示。,1）单变量非线性函数的线性化：若对连续的非线性函数y = f（x），在工作点A（x0,y0）附近展成Talor级数 （2.2-1） 考虑y0 = f（x0），有 （2.2-2） 令 ，当增量很小时，可以忽略的高次幂项，有如下近似 （2.2-3） 2）双变量非线性函数的线性化：若是有两个或两个以上变量的非线性系统，可以采用与上述单变量线性化基本相同的方法。 设非线性函数 y = f（x1 ，x2），同样可在某工作点（
6、x10，x20），用Talor级数展开，以同样的方法可求得 yk1x1+ k2x2 （2.2-4）,3）注意事项：在上述小偏差线性化过程中，要注意以下几点 线性化参数ki的计算只适于小偏差情况； 入、出变量与系统的实际变化不能太大； 非线性特性必须连续可微； 典型非线性化问题需用第7章专门方法。 4）应用举例： 例2.2-1 设三相桥式可控晶闸管整流电路的输入为触发延迟角 ，输出为整流电压Ud ，二者的非线性关系为 ， 式中U2为交流电源的相电压有效值，U0 为 时的整流电压。试对此表达式，在参考工作点（0 ，Ud0 ）附近，进行局部线性化处理。,解：由单变量非线性函数的线性化方法有 Ud =
7、 Ud - Ud 0 ks = ks ( - 0) 式中 有 Ud = ks 若按约定省略增量符号 ，可得 Ud = ks ， 即：线性化处理后，Ud 将随控制角 的ks倍线性变化。 2. Laplace变换与传递函数（系统函数） 1）Laplace变换（详细介绍见第5章）： 定义：对于一个t 0时有定义的连续时间函数 f(t) ，若积分 在复变量s的某区域内收敛，则f(t)的单边拉氏正变换为 （2.2-5） 其中f(t)为原函数，F(s)为象函数，复变量 。,f (t)的单边拉氏正变换记为 ，而 f (t) 的拉氏 逆变换则为 ，记为 f (t)的单边拉氏正变换与逆变换构成一组变换对，可以简
8、 记为 。 一般，进行拉氏正变换时需：将自变量 t s ，将自变量的函数 f (小写) F ( 大写)。 常用性质如下： 线性性质：若 f(t)=a f1(t)+ b f2(t) ，则 F(s)=a F1(s)+ b F2(s) （2.2-6） 微分性质：若 ，则 （2.2-7） 常用的一阶微分性质为 （2.2-8）, 终值定理：若 ，且 存在，则有 （2.2-9） 常用的单边拉氏变换对如下： ，即 ； ，即 ； ，即 ； ，即 。 2) 用拉氏变换求解线性微分方程 用拉氏变换求解线性微分方程，可将系统的微、积分(高等) 运算简化为代数(初等)运算，为工程计算和分析提供很大的方便, 用拉氏变换
9、求解微分方程的步骤 先将系统的微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，计算中的初始值应取系统在t = 0- 时的对应值； 再求解代数方程，得到系统输出量的象函数表达式； 最后将输出量的象函数表达式展成部分分式，用部分分式法求拉氏反变换（见第5章），即得系统微分方程的时域解。 应用举例 例2.2-3 RC网络如图2.2-3所示，若开关闭合前，电容的初始电压为UC (0-)，开关 s 在0时刻瞬间闭合后，试求电容C两端的电压uC (t) 。,解：开关S在0时刻闭合瞬间，网络微分方程为 （2.2-10） 对式（2.2-10）两边取拉氏变换，得 （2.2-11） 整理（2.2-11）式，可得输
10、出量的象函数表达式 （4.2-12） 对（2.2-12）式两边求拉氏反变换，得 （2.2-13） （3）传递函数（系统函数） 一定条件下，拉氏变换可以把系统微分方程变为复变量 s 的代数方程，使计算与分析过程简化，并把系统的时域数学模型变为系统的复频域数学模型传递函数 ( 系统函数 ) 经典控制理论中十分重要的常用数学模型。, 传递函数（系统函数）的定义 所谓传递函数，即线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。传递函数也可定义为：线性定常系统在零初始条件下，系统单位冲激（脉冲）响应的拉氏变换。 若一般线性定常系统的微分方程表达式为： （2.2-14） 式中：y(
11、t)为系统的输出量，f (t)为系统的输入量。 在初始状态为零时，对（4.2-14）式两边求拉氏变换 得： （2.2-15） 即 （2.2-16） 式（2.2-16）中，Y(s)表示输出量的拉氏变换，F(s)表示输入量的拉氏变换，G(s)表示环节或系统的传递系数（系统函数）；多数情况下，取 a 0 = 1 。, 关于传递函数的几点说明 由于拉氏变换是一种线性积分运算，而传递函数又是从拉氏变换得来的，因此传递函数的概念只能用于线性定常系统； 传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入信号以及初始状态无关，但是，改变输入、输出信号的作用点，将会使同一系统得到不同分子的传递函数（分母不变）； 由于
12、传递函数是在零初始条件下定义的，因此传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律，不能直接求系统的零输入响应，但是可以通过拉氏反变换由传递函数得到系统微分方程，再对系统微分方程求非零初始条件下的拉氏变换，得到零输入响应与零状态响应之和的拉氏变换，最后经拉氏反变换即可得到零输入响应、零状态响应与完全响应； 由于系统的惯性及能源的限制，使传递函数分子多项式的阶次m小于或等于分母多项式的阶次n，即 n m ； 多输入多输出系统多变量之间的关系不可能只用一个传递函数来表征，必须用传递函数矩阵来表示（详见第8章）, 传递函数的几种表达形式 真有理分式表达式式（2.2-16）在ai 、b j
13、均为实数，且n m 时，即为传递函数的真有理分式表达式，其中 n为系统的阶次，分母为系统的特征多项式，若n = m则需用多项式除法把式（2.2-16）（假分式）化为真有理分式与商之和的形式，一般由多项式除法得到的商都与(t)信号有关； 零、极点表达式把式（2.2-16）的分子、分母多项式都分解为单因子因式的乘积，即得到传递函数的零、极点表达式 （2.2-17） 其中Kg = b0 /a0 （a0 = 1）为系统的传递系数或根增益， zj 为系统的零点，p i 为系统的极点；, 典型环节表达式式（2.2-16）的分子、分母多项式都可化为典型环节的形式，从而得到典型环节表达式 （2.2-18） 式
14、（2.2-18）的分子中：K 为放大环节， 为一阶微分环节（可能有几个），而二阶微分环节则为 （也可能有几个）； 式（2.2-18）的分母中： 为积分环节（v为整数，表示积分环节的个数，v 0时表示有纯微分环节）， 为惯性环节（可能有几个）， 为二阶振荡环节（也可能有几个）；令 、 ，式（2.2-18）可变成式（2.2-17），有, 常见元部件的传递函数 比例（放大）环节结构图如图2.2-4所示， 微分方程为 （ t 0 ） 式中：K为比例系数或增益，是一个常数。 传递函数为 (2.2-19),惯性环节结构图如图2.2-5所示， 微分方程为 （ t 0 ） 式中 T为时间常数。 传递函数为 (2.2-20) 积分环节结构图如图2.2-6所示， 微分方程为 （ t 0 ） 传递函
