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1、第4章 根轨迹法,根轨迹法是基于系统闭环极点与开环极点、零点之间存在的关系而建立的一种求闭环极点的图解方法。本章将介绍根轨迹的基本概念，导出根轨迹方程。据此，得到闭环系统根轨迹的绘图规则。有了根轨迹，就可以分析系统的性能。这种方法使用简便，是分析和设计线性定常系统的重要方法，在工程中得到广泛应用,4.1 引言,例4-1,根轨迹当系统的某个参数（例如开环增益K）由零变到无穷时，闭环特征根在S平面上移动的根轨迹。,设控制系统如图示,开环极点,绘制,时闭环极点,变化的轨迹，并分析系统性能。,解：,性能分析：,4.2 绘制根轨迹的依据,一、闭环零、极点与开环零、极点的关系,开环、闭环零、极点的关系：
2、(1)闭环根轨迹增益等于前向通路根轨迹增益；单位反馈系统：闭环根轨迹增益等于开环根轨迹增益。 (2）闭环零点由前向通路零点和和反馈通路极点组成；单位反馈系统：闭环零点等于开环零点。 (3）闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益均有关。,二、根轨迹方程,闭环特征方程,根轨迹方程,根轨迹上的点必然满足闭环系统特征方程式,若,则,（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件； （2）由模值条件决定根轨迹上各点相应的 值。,根轨迹方程可用如下相角条件和模值条件表示,例 单位反馈系统开环传递函数为,用根轨迹方程作根轨迹。,-0.5,0,p1,p2,用试探法找到满足相角方程的点： （1）在00.5的负实轴区段上
3、任取一点s1,s1,s2,（2）取一点s2=-0.25+j0.25，,满足相角方程，该区段在根轨迹上。,S2是根轨迹上的点。逐点试探可绘制出全部根轨迹。 根据模值方程，在S1、 S处,4.3 根轨迹绘制规则,一、根轨迹的绘制规则,规则1 根轨迹的分支数和根轨迹的起点、终点,根轨迹的分支数等于闭环系统特征方程的阶数。根轨迹起点为开环极点，终点为开环零点。,闭环系统特征方程式为,特征方程式的阶数或特征根的个数等于Max(m.n),即：根轨迹的分支数等于闭环系统特征方程的阶数。,根轨迹起点是指,时的闭环极点,由上式知：开环极点为根轨迹起点,根轨迹终点是指,时的闭环极点,由上式知：开环零点为根轨迹终点
4、,若系统开环极点的个数等于开环零点的个数，即当,时，系统的,条根轨迹从,个开环极点出发，终止于,个开环零点。,个开环极点出发的根轨迹，有,条终止于,条根轨迹终止于无穷远（此时认为,个开环零点，称其为无限零点）。,时，从,开环零点，另外,系统在无穷远处有,这是因为根轨迹方程可写为,在,时，,是上式当,时的根。,类似地，若,，则有,条根轨迹起始于无穷远，,条根轨迹起始于开环极点，它们分别终止于,个开环零点（此时认为系统在无穷远处有,个开环极点，称其为无限极点）。,若把位于无穷远处开环极点或开环零点包括在内，系统开环零点和开环极点的个数总是相等的。因此根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。,规则2
5、根轨迹的连续性和对称性,根轨迹是连续的并且对称于实轴。,规则3 根轨迹的渐近线,渐近线与正实轴夹角,渐近线与实轴的交点为,证明,当 时，,根据二项式定理,取上式前两项,得,考虑到,令,令,所以渐近线与正实轴交点坐标为,斜率为,渐近线与正实轴夹角为,例42,图示系统，应用已有的绘制根轨迹规则确定根轨迹上有关特征点和渐近线。,根轨迹的起点是开环极点,解,终点为无限零点。系统有3条根轨迹分支,渐近线与正实轴夹角,渐近线与实轴的交点,证明：由相角方程 （1）开环复数零、极点都成对出现， 相角等值反号，在相角条件中相互抵消； （2）位于闭环极点s1左边的开环实数零、极点到s1的向量相角为0； （3）位于
6、闭环极点s1右边的开环实数零、极点到s1的向量相角为。 只有右边零、极点是奇数时，总相角才 是 。,p1,p2,p3,p4,z1,z2,z3,s1,规则4 实轴上的根轨迹,实轴上某线段右边的开环实数零点数和极点数之和为奇数时，该线段就是根轨迹上的一段。,规则5 根轨迹的分离点和分离角,两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点；,分离点的坐标d是下列方程的解,证明：由根轨迹方程,得到,根轨迹的分离点说明闭环特征方程有重根出现。,设重根为,满足,从上式解出s，即为分离点d。,如果开环传递函数中没有有限零点，,分离点的特点： （1）分离点位于实轴上或以共轭形式出现；
7、（2）根轨迹在实轴上两相邻开环极点（其中一个可为无限极点）之间，至少存在一个分离点；根轨迹在实轴上两相邻开环零点（其中一个可为无限零点）之间，至少存在一个分离点。 （3）分离角可由 决定。,求分离点坐标的第二种方法：设系统开环传递函数为,则分离点的坐标是方程,的解,证明如下,根轨迹的分离点就是闭环特征方程出现重根之处，因此在分离点处有下式成立,推得,考虑到,上式习惯上表示成,例,控制系统开环传递函数为,利用已有的根轨迹绘制规则，画出系统根轨迹并求其分离点。,解,起点为开环极点,根轨迹有4条分支，趋向无限零点。,根轨迹的渐近线,实轴上的根轨迹；实轴上0到之间的线段为根轨迹。,根轨迹的分离点,根据
8、上述计算画出的根轨迹如图,根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角 ；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角,规则 6 根轨迹的起始角和终止角,证明：在十分靠近待求起始角（或终止角）的复数极点（或复数零点）的根轨迹上，取一点s1。根据相角条件有 移项后得证。,例,单位反馈系统的开环传递函数为,试画出该系统的根轨迹。,解 1.根轨迹的起点是开环极点：,有4条根轨迹。根轨迹终点是开环零点，包括有限零点：,和一个无限零点,2.根轨迹的渐近线。,只有一条渐近线,取,即渐近线位于负实轴上,3.实轴上的根轨迹,实轴上,，,和,，0区段为根轨迹,4.根轨迹的起始角和终止角,
9、若根轨迹与虚轴相交，则交点上的 值和 值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的 ，然后分别令其实部和虚部为零而求得。,规则7 根轨迹与虚轴的交点,规则8 闭环特征方程的根之和,在 时，开环n个极点之和总是等于闭环n个极点之和，即,证明：系统的闭环特征方程为,当 时，特征方程中 项系数与 无关，因此，无论 为何值，都有,若闭环一部分根轨迹分支向右半S平面移动，必定有另一部分根轨迹分支向左半S平面移动。该规则对于判断根轨迹的走向是有用的。,例4-,已知开环传递函数,试绘制K由 时的闭环根轨迹。,解：,1、根轨迹分支数：4 2、实轴上的根轨迹：（20，0） 3、渐近线：,4、根轨迹的起始角,6、根
10、轨迹与虚轴的交点,规则9 根轨迹上各点对应的,例非最小相位系统开环传递函数 试作闭环根轨迹。 解：1、根轨迹分支数：4 开环极点 开环零点 2、实轴上的根轨迹： 3、渐近线：,4、分离点：,5、起始角： 6、根轨迹与虚轴的交点：,例46,负反馈控制系统的开环传递函数为,绘制系统根轨迹，证明其复数部分是圆并求出圆心和半径。,解 闭环系统的特征方程为,令,令上式中实部和虚部分别为零，有,圆心,半径,二 控制系统闭环极点的确定,1.确定指定根轨迹增益时的闭环极点,先确定位于实轴上的闭环极点，然后利用综合除法等方法求得其余的闭环极点。,2.确定指定系统某个特征参数时的闭环极点,设控制系统闭环主导极点,
11、则阻尼比 衰减系数 振荡频率 等均可以作为系统主导极点的特征参数 ，当指定某个特征参数值时，可以确定对应这个数值时的闭环极点。例如求阻尼比为时的闭环极点，可以做一条阻尼比为的等阻尼线，求出其与根轨迹的交点，以及根轨迹增益，利用综合除法再求出其余极点,例4,系统开环传递函数为,要求画出闭环系统的根轨迹。,确定,时的闭环极点,求阻尼比,时系统闭环极点,解,根轨迹起点为开环极点,根轨迹有4个分支，终点为无限零点,渐近线与正实轴的夹角,渐近线与实轴交点,实轴上，的线段为根轨迹,分离点,（舍去）,分离角为,起始角,根轨迹与虚轴交点,令劳斯表中,行的系数为零，求得,辅助方程,解出根轨迹与虚轴交点为,确定,
12、时的闭环极点,将试探区域选在负实轴上,是闭环极点,利用综合除法，可以求得其余两个极点,求阻尼比,时系统闭环极点,可以在根轨迹图上画出一条,的等阻尼线,等阻尼线与根轨迹相交，交点为,对应的根轨迹增益,闭环系统特征方程为,用综合除法得到,4.4 利用根轨迹分析系统性能,1.系统瞬态性能,闭环系统的传递函数,在单根情况下，单位阶跃响应,(1)、稳定性 所有闭环极点均位于s平面的左半部，则系统稳定。,(2)、快速性 系统快速性好，即每一项 应衰减快,1） 衰减快，则闭环极点 应远离虚轴 2）要求 小，则 要大， 要小，即闭环极点之间距离要大，零点要尽量靠近该极点。,(3)、运动形式 希望系统瞬态过程是
13、单调的，即系统是临界阻尼或者过阻尼，则要求闭环极点全部位于S平面的负实轴上。瞬态过程的调节时间主要取决于距离虚轴最近的极点。,（4）要求系统平稳性好，则复数主导极点应在S左半平面且与负实轴成 的阻尼线附近。,（5）闭环极点中，若距虚轴最近的实数或复数极点附近无其它零、极点，其它零、极点的实部绝对值比主导极点实部的绝对值大5倍以上，则称这样的极点为主导极点。 如果系统除了一对主导极点之外，还具有实数零、极点，则零点的存在会减小系统的阻尼，使系统响应速度加快，但超调量增大。零点越接近S平面的坐标原点，这种作用越明显。而实数极点的存在，会增大系统的阻尼，使响应速度变慢，超调量变小。,（6）闭环系统零
14、、极点中，将靠得很近的一对零点和极点称为偶极子。“很近”常指它们之间的距离比其模值小一个数量级。在一般情况下，偶极子对系统瞬态响应的影响可以忽略。,例 系统开环传递函数 试用根轨迹法分析 系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有 时的性能指标。 解：,三、动态指标的定量估算,s1,2. 稳定性分析：系统稳定域 3. 确定,2.附加开环零点对根轨迹的影响,设反馈控制系统开环传递函数为,按照根轨迹绘制规则，画出无附加零点时系统根轨迹,如果引入附加负实数零点,画出系统根轨迹,通过相对原有的开环极点分布情况而言，上面几种附加实数开环零点的配置，对系统瞬态性能改善的效果不尽相同。,一般地说，附加的开环零点越
15、接近虚轴，使根轨迹向左半S平面弯曲得越厉害。,3.附加开环极点对根轨迹的影响,设反馈控制系统的开环传递函数为,无附加开环极点和时系统的根轨迹如图所示。,引入附加开环极点对系统稳定性和瞬态性能有不利影响,4.5 参数根轨迹,在绘制参数根轨迹时，首先应当根据闭环特征方程式确定等效的开环传递函数。,例如开环传递函数为,闭环特征方程式为,假设要绘制以z1为参变量的根轨迹,就是绘制以z1为参变量的根轨迹时,所需要的等效开环传递函数,绘制参数根轨迹方法如下：,（1）对于开环传递函数为G(s)H(s)的负反馈系统，求出闭环特征方程式。,（2）把闭环特征方程式变为,为绘制参变量的根轨迹时的等效开环传递函数,（3）根据等效开环传递函数，用常规根轨迹绘制规则绘制,时的根轨迹，即为参数根轨迹。,等效开环传递函数是根据闭环特征方程式得到的，因此，“等效”的含义仅在闭环极点相同这一点上等效。在确定闭环传递函数时，只能由参数根轨迹上得到指定参数后的闭环极点，而系统的闭环零点应由原系统的开环传递函数求得。,例48,控制系统
