二叉树模型入门

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1、,第12章 二叉树模型介绍,2,本章主要内容,二叉树模型的基本思想 12.1 利用二叉树给期权定价 12.2 风险中性定价 12.3 两步二叉树 12.4 看跌期权 12.5 美式期权 12.6 Dalta 12.7 u和d的确定 12.8二叉树其他问题 课堂练习,3,二项式期权定价模型,要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何变动 简单但非常有力的一个模型是二项式模型 - 在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能有两个可能的取值 - 当时间间隔足够短，这是很好的近似 - 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理 - 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价,4,把期权的有效期分为很多

2、很小的时间间隔 ，并假设在每一个时间间隔 内证券价格只有两种运动的可能：,1、从开始的 上升到原先的 倍，即到达 ；,2、下降到原先的 倍，即 相应地，期权价值也会有所不同， 分别为 和,5,相同期限下步长越小,精确度越高,5,二叉树模型的思想实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动,6,此时,因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得,将 代入上式就可得到：,其中,6,无套利定价法： 构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头 当 时,股票价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合,7,本章主要内容,二叉树模型的基本思想 12.1 利用二叉树给期权定价 12.2 风险中性

3、定价 12.3 两步二叉树 12.4 看跌期权 12.5 美式期权 12.6 Dalta 12.7 u和d的确定 12.8二叉树其他问题 课堂练习,8,假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为$22或$18。 假设股票三个月内不付红利。 欧式看涨期权执行价格$21，有效期为三个月后以买入股票的进行估值。,9,单步二叉树模型,10,定价思路： 构造一个股票和期权的组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的。 它的收益率一定等于无风险收益率。 由此得出该期权的价格。 构造组合： 该组合包含一个股股票多头头寸 和一个看涨期权的空头头寸。,11,上升时：股票价格从$20上升到$22，期权的价

4、值为$l，该证券组合的总价值为22-1； 下降时：股票价格从$20下降到$18，期权的价值为零，该证券组合的总价值为18。 如果选取某个值，以使得该组合的终值对两个股票价格都是相等的，则该组合就是无风险的。 221=18 =0.25,12,一个无风险的组合是： 多头：0.25股股票 空头：一个期权 定价： 如果股票价格上升到$22，该组合的价值为： 220.25-14.5 如果股票价格下跌到$18，该组合的价值为：180.254.5 无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。,13,在无套利均衡的情况下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率。 假设在这种情况下，

5、无风险利率为年率12。 该组合现在价值一定是$4.5的现值。 即：4.5e-0.120.25=4.3674 股票现在的价格已知为$20。 假设期权的价格由f来表示。 现在该组合的价值：200.25f=5f=4.3674 即f=0.633,14,偏离均衡价格时的套利： 如果期权的价值超过了$0.633，构造该组合的成本就有可能低于$4.367，并将获得超过无风险利率的额外收益； 如果期权的价值低于$0.633，那么卖空该证券组合将获得低于无风险利率的资金。,15,单步二叉树的一般结论,假设：期权的期限为T，U1,d1 股票上涨的比率为u-1 股票下跌的比率为1-d u+d=2,16,组合 股股票

6、多头 期权空头 当股票上升，有效期末组合价值S0u-fu 当股票下降，有效期末组合价值S0d-fd 得S0u-fu= S0d-fd,17,T0 成本S0-f 组合现值 得 得,18,已知 u=1.1，d=0.9，r=0.12，T=0.25，fu=1，fd=0,19,本章主要内容,二叉树模型的基本思想 12.1 利用二叉树给期权定价 12.2 风险中性定价 12.3 两步二叉树 12.4 看跌期权 12.5 美式期权 12.6 Dalta 12.7 u和d的确定 12.8二叉树其他问题 课堂练习,20,风险中性,上述期权定价是根据标的股票的价格估计期权的价值，未来上升和下降的概率已包括在股票价格

7、中，说明，当根据股票的价格为期权定价时，不需要股票价格上升和下降的概率。,21,E（f）=pfu+（1-p）fd，期权的预期收益 根据p的解释，p是上升的概率，（1-p）下降的概率 得，f的价值是其未来预期收益按照无风险利率的贴现值,22,风险中性,变量p解释为股票价格上升的概率，于是变量1p，就是股票价格下降的概率。 在T时刻预期的股票价格ST： E（ST）=pS0u+(1-p)S0d 即E（ST）=pS0（u-d）+S0d 。 将 代入上式，化简得： E（ST）=S0erT 即：平均来说，股票价格以无风险利率增长。 因此，设定上升运动的概率等于p就是等价于假设股票收益等于无风险利率,23,

8、风险中性的例子,S0=20 S0u=22，S0d=18 K=21 fu=1，fd=0 r=0.12，T=0.25,E（f）=pfu+（1-p）fd,24,12.2,用单步二叉树图说明无套利和风险中性估值方法如何为欧式期权估值 解：在无套利方法中，我们通过期权及股票建立无风险资产组合，使组合收益率等价于无风险利率，从而对期权估值。 在风险中性估值方法中，我们选取二叉树概率，以使股票的期望收益率等价于无风险利率，而后通过计算期权的期望收益并以无风险利率贴现得到期权价值。,25,12.4,某个股票现价为$50。已知6个月后将为$45或$55。无风险年利率为10（连续复利）。执行价格为$50，6个月后

9、到期的欧式看跌期权的价值为多少？,-f+50=-26.16 所以，f =-50*0.5+26.16=1.16,看跌期权的价值f=（0*0.7564+5*0.2436）e-0.1*0.5 =1.16,26,12.16,某个股票现价为$50。已知在6个月后，股价将变为$60或$42。无风险年利率为12（连续复利）。计算执行价格为$48，有效期为6个月的欧式看涨期权的价值为多少。证明无套利原理和风险中性估价原理得出相同的答案。,27,12.16,28,12.16,29,12.1,股票现价为$40。已知在一个月后股价为$42或$38。无风险年利率为8（连续复利）。执行价格为$39的1个月期欧式看涨期权

10、的价值为多少？ 解：考虑一资产组合：卖空1份看涨期权；买入份股票。 若股价为$42，组合价值则为423； 若股价为$38，组合价值则为38 当42338，即0.75时， 组合价值在任何情况下均为$28.5，其现值为： 28.5e0.08*0.08333=28.31 即：f4028.31 其中f为看涨期权价格。 所以，f400.75 - 28.31=$1.69 另解：（计算风险中性概率p） 42p+38(1-p)=40erT =40e0.08*0.08333 4p=40e0.08*0.08333 -38 P=0.5669. 期权的价值应是其预期收益以无风险利率的贴现值。 f=(3*0.5669+

11、0*0.4331) e-0.08*0.08333 =1.69美元,30,本章主要内容,二叉树模型的基本思想 12.1 利用二叉树给期权定价 12.2 风险中性定价 12.3 两步二叉树 12.4 看跌期权 12.5 美式期权 12.6 Dalta 12.7 u和d的确定 12.8二叉树其他问题 课堂练习,31,两步二叉树图的例子 1）条件： 开始的股票价格为$20，并在两步二叉树图的每个单步二叉树图中，股票价格可以上升10或者下降10。 我们假设在每个单步二叉树的步长是三个月，无风险利率是年率12。 期权的执行价格为$21,32,33,34,35,计算在节点B的期权价格： u=1.1,d=0.

12、9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 节点B的期权价格为： e-0.120.25(0.65233.2十0.34770)=2.0257 同理求出节点C的期权价格为：0 计算节点A的期权价格: 知道在节点B的期权价值为2.0257;以及在节点C的期权价值为零。 因此，节点A的期权价值： e-0.120.25(0.65232.0257十0.34770)=1.2823 于是期权的价格为:$1.2823,36,二叉树的一般结论,无风险利率是r。每个单步二叉树的时间长度t,37,因为 所以 将1式，2式，带入3式，得到,38,p2, 2p(1-p), (1-p)2是达到最后上、中、下三个节点

13、的概率。 衍生证券的价格等于它在它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的值。,39,12.5,某个股票现价为$100。有连续2个时间步，每个时间步的步长为6个月，每个单步二叉树预期上涨10，或下降10。无风险年利率为8（连续复利）。执行价格为$100的一年期欧式看涨期权的价值为多少？,40,41,12.6,考虑习题12.5中的情况，执行价格为$100的一年期欧式看跌期权的价值为多少？证明欧式看涨期权和欧式看跌期权满足看涨看跌期权的平价关系。,42,12.6,43,本章主要内容,二叉树模型的基本思想 12.1 利用二叉树给期权定价 12.2 风险中性定价 12.3 两步二叉树 12.4 看跌

14、期权 12.5 美式期权 12.6 Dalta 12.7 u和d的确定 12.8二叉树其他问题 课堂练习,44,看跌期权的例子P203,两年欧式看跌期权，K=52,S0=50,t=1，股票价格或者按比例 （+-）=20%,u=1.2,d=0.8,r=0.05，风险中性概率p,45,12.9,某个股票现价为$50。已知在两个月后，股票价格为$53或$48。无风险年利率为10（连续复利）。请用无套利原理说明，执行价格为$49的两个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？,46,12.9,u1,d1 股票上涨的比率为u-1=0.06 股票下跌的比率为1-d=0.04 u+d=2 3/50=0.06,2/

15、50=0.04,47,12.10,某个股票现价为$80。已知在4个月后，股票价格为$75或$85。无风险年利率为5（连续复利）。请用无套利原理说明，执行价格为$80的4个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？,48,12.10,49,12.12,某个股票现价为$50。有连续2个时间步，每个时间步的步长为3个月，每个单步二叉树的股价或者上涨6或者下跌5。无风险年利率为5（连续复利）。执行价格为$51,有效期为6个月的欧式看涨期权的价值为多少？,50,12.13,考虑习题12.12中的情况，执行价格为$51，有效期为6个月的欧式看跌期权的价值为多少？证明欧式看涨期权和看跌期权满足看涨看跌期权平价关系

16、。如果看跌期权是美式期权，在树图上的任何节点，提前执行期权是否会更优呢？ 解：（1）如上题u=1.06, d=0.95,p=0.5689 计算二叉树图的结果如下,51,如上图，当到达中间的终节点时，期权的损益为5150.350.65；当到达最低的终节点时，期权的损益为5145.1255.875。 因此，期权的价值为：,（3）为确定提前执行是否会更优，我们要计算比较每一节点处立即执行期权的损益。 在C节点处，立即执行期权的损益为5147.53.5，大于2.8664。因此，期权必须在此节点处被执行，在A、B节点处均不执行。,52,12.17,某个股票现价为$40。有连续2个时间步，每个时间步的步长为3个月，每个单位二叉树的股价或者上涨10或者下跌10。无风险年利率为12（连续复利）。 (A)