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1、随机过程 生灭过程及排队论 初步分析,主要内容,生灭过程 特点 稳态分析 排队论基础 排队过程的基本参数和问题 排队问题的分析方法 排队问题的Little定律 排队问题举例 例1 M/M/1/、例2 M/M/1/N 例3 顾客成批到达的排队问题 例4 电话交换问题（M/M/N/N） 例5 M/M/s/排队系统、例6 M/M/s/k 例7 机器维修问题,生灭过程,任何时刻，状态最多只能转移到临近状态 若处于0状态，则只能转移到状态1。 若在 t 时刻处于n状态，在(t,t+t)间隔内 转移到状态（n+1）的概率为 n(t)t+o(t) 转移到状态（n-1）的概率为 n(t)t+o(t) 转移到其
2、他状态的概率为 o(t),生灭过程：稳态分析,稳态方程 与wn=1联立，可解 平稳的条件：0nn,生灭过程：稳态分析,平稳的条件：0nn 平衡方程 局部平衡方程 与wn=1联立，得,生灭过程：实例,排队问题(排队论分析) 可靠性问题(可靠性分析)： M个元件组成的系统中失效元件数 每个元件的正常工作时间服从负指数分布 若t时刻有n个元件失效，则在(t,t+t)时间间隔内产生一个新的失效元件的概率是nt+o(t)，修复一个元件的概率是nt+o(t) 在(t,t+t)间隔内多个元件失效或修复的概率是o(t) 系统正常工作至少要有k个元件正常工作当（M-k+1）元件失效时系统就停止工作，等待修复,例
3、,例,排队系统的基本模型,A/R/S/N/D：常见为 A/R/S，或A/R/S/N A：到达类型 R：服务时间分布 S：服务者个数 N：系统容量（含服务中用户数），默认无限大 D：排队规则，FIFO,排队系统的到达过程,到达过程：到达的业务/顾客流构成的随机过程 可以用一定间隔内到达的顾客数的分布来表征 也可以用顾客到达的时间间隔的分布来表征 典型的到达过程：泊松过程 一定间隔内到达的顾客数服从泊松分布，到达率 到达的时间间隔服从负指数分布，平均到达时间 1 / ,排队系统的服务时间,服务时间：服务器处理每个顾客业务所需的时间 是与服务器对具体业务的处理能力有关的随机量 一般用处理业务所需的时
4、间的分布来表征 典型的服务时间：负指数分布 服务时间服从负指数分布，平均服务时间 1 / 顾客离开率： ,排队系统的基本问题,概率分布特征: 系统中顾客数的概率分布（及 平均值L） 在排队等候的平均顾客数 LQ 用户在系统中花费时间的概率分布（及 平均值W或D） 顾客排队等候的平均用时 WQ 或 DQ 服务器忙或空闲的概率 服务器处于工作状态的持续时间的分布 用户因为队列满而离开的概率,排队问题的Little定律,排队系统中普适性的定律，统计量服从的公式 对到达过程、服务时间分布、服务规则无特殊要求 描述长时间平稳后的系统 形式为：L = W L ： 系统中的平均顾客数 ： 平均(有效)到达率
5、 W： 顾客在系统中所消耗的平均时间,M/M/1 或 M/M/1/排队模型,到达系统的顾客数服从泊松分布，参数 服务时间服从负指数分布，平均服务时间是1/ 只有一个服务器 若服务器正忙，则加入排队行列（不限长） 服务器空闲时间到达的顾客立刻得到服务 服务时间与到达过程独立 顾客数组成一个生灭过程 顾客到达和离开对应于生灭过程的生和灭 任意时刻和状态，到达率和离开率均为相同常数 n=，n=,0,1,2,3,4,M/M/1 排队模型：应用生灭过程的结论,负载因子= /1 的条件下，具有稳态分布： 系统中有n个顾客的概率 系统平均用户数： 用户数的方差： 平均延迟：根据little公式 D = L
6、/ 轻负载情况下： ，延迟近似为平均服务时间 业务极度繁忙情况下：，几乎无限延迟,典型排队问题：,最普通情形 M/M/1/ 队列有限 M/M/1/N M元件1维修工人 批量发生 MX/M/1/ 每次三个 电话接入 M/M/N/N S个侍者 M/M/S/,稳定状态时，各状态的概率,写出Q，列稳态分布方程 w= wQ=0 稳态的“概率流”平衡： 解得 考虑到： M/M/1/ ：,解 法 1,2, 解得最终结果,稳定状态时，系统中的顾客数（分布和均值）,M/M/1/为例 已得 wn=(1-)n 定义母函数： 系统中用户数： 排队中的用户数：,0,1,2,3,稳定状态时，顾客的耗时平均值,M/M/1/
7、 母函数 平均耗时： 在队列中的平均耗时： 验证 Little 定律： 延迟时间的分布如何推导？,0,1,2,3,稳定状态时，L 和 W与负载的关系,轻负载 ，W 1/，基本呈线性关系 负载较重时，系统不稳定 负载微小变化都将导致系统滞留顾客数和延迟急剧增加 极度繁忙：，几乎无限延迟,M/M/1/N 排队模型,稳态方程 或 而 Wn = 1 母函数： 平均用户数 平均排队用户数 平均延迟时间 平均排队时间 可验证符合Little定律,M/M/1/N 排队模型,阻塞概率：离去概率 系统中用户满的情形,定 义,电话交换问题（M/M/N/N）,概率流平衡 阻塞概率： Erlang-B公式,例,M/M/S 或 M/M/S/ 排队模型,平衡流关系： 能够平衡的条件：/S 1 排队概率： Erlang-C公式,例,负载因子,M/M/S 或 M/M/S/ 排队模型（续）,平均顾客数： 平均排队顾客数： 平均排队时间： 平均延时： 或者应用 Little 定律 特殊关系： WQ /Pq = /(S - ),例,机器维修问题,平衡流关系： 损坏状态的机器的平均数： 等待维修机器数的平均值,例,
