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1、第23章 锐角三角函数,问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？,这个问题可以归结为，在RtABC中，C90，A30，BC35m，求AB的长.,思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？,情 境 探 究,根据“在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半”，即,在RtABC中，C90，A30，BC35m，求AB的长.,可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管。,在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水
2、管？,结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 。,A,B,C,50m,30m,B ,C ,即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 。,如图，任意画一个RtABC，使C90，A45，计算A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？,A,B,C,综上可知，在一个RtABC中，C90，,一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？,结论,问题,当A30时，A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；,当A45时，A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固
3、定值.,探究,A,B,C,A,B,C,任意画RtABC和RtABC，使得CC90，AA ，那么 与 有什么关系你能解释一下吗？,由于CC90， AA,所以RtABCRtABC,这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值,探究,如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦（sine），记作sinA， 即,例如，当A30时，我们有,当A45时，我们有,c,a,b,对边,斜边,正 弦,注意,sinA是一个完整的符号，它表示A的正弦，记号里习惯省去角的符号“”； sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对
4、边与斜边的比； sinA不表示“sin”乘以“A”。,例1 如图，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值,A,B,C,3,4,例 题 示 范,(1),(2),试着完成图（2）,练习,2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0) 和B(0，-4)，则sinOAB等于_.,3、在RtABC中，C=90，AD是BC边 上的中线，AC=2，BC=4，则sinDAC=_.,4、在RtABC中, C=90, , 则sinA=_.,1、如图，求sinA和sinB的值,5、如图，在ABC中， AB=CB=5，sinA= ，求ABC 的面积。,23.1锐角三角函数（2）,正弦 正切,复习与探究：,1
5、.锐角正弦的定义,在 中，,A的正弦：,2、当锐角A确定时，A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？,新知探索:,1、你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？,2、当锐角A确定时，A的邻边与斜边的比， A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由。,方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；,方法二：根据相似三角形的性质来说明。,如图，在RtABC中，C90，,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的 余弦（cosine），记作cosA， 即,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的 正切（tangent），记作tanA， 即,rldmm
6、8989889,注意,cosA，tanA是一个完整的符号，它表示A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“”； cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比； cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表示“tan”乘以“A”,rldmm8989889,锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.,rldmm8989889,例1 如图，在RtABC中，C90，BC=6， ，求cosA和tanB的值,rldmm8989889,例2 如图，在RtABC中，C90，BC=2，AB=3，求A，B的正弦、余弦、正切值,延伸：由上面的计算，你能猜想A
7、，B的正弦、余弦值有什么规律吗？,结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。,rldmm8989889,练习,课本P114 练习1，2，3. 补充练习 1、在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.,D,rldmm8989889,补充练习,2、如图所示，在ABC中，ACB90，AC=12，AB=13，BCM=BAC，求sinBAC和点B到直线MC的距离,3、如图所示，CD是RtABC的斜边AB上的高， 求证：,23.1锐角三角函数（3）,rldmm8989889,A,B,C,A的对边a,A的邻边b,斜边c,rldmm8989889,
8、请同学们拿出自己的学习工具一副三角尺，思考并回答下列问题：,1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？,2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边的长度。,30,60,45,1,2,1,1,45,新知探索:30角的三角函数值,sin30=,cos30=,tan30=,rldmm8989889,cos45=,tan45=,sin45=,新知探索:45角的三角函数值,sin60=,cos60=,tan60=,新知探索:60角的三角函数值,rldmm8989889,30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：,rldmm8989889,例1
9、 求下列各式的值： （1）cos260sin260 （2）,rldmm8989889,求下列各式的值：,rldmm8989889,例2 （1）如图，在RtABC中，C90， ， 求A的度数,rldmm8989889,（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求 a ,当A，B为锐角 时，若AB，则 sinAsinB, cosAcosB, tanAtanB.,rldmm8989889,1、在RtABC中，C90， ， 求A、B的度数,B,A,C,rldmm8989889,2、求适合下列各式的锐角,rldmm8989889,A,B,C,D,4、如图,ABC中,C=900,BD平分A
10、BC, BC=12,BD= ,求A的度数及AD的长.,rldmm8989889,小结 :,我们学习了30, 45, 60这几类特殊角的三角函数值,23.1锐角三角函数（4）,rldmm8989889,引例 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？,这里的tan42是多少呢？,rldmm8989889,前面我们学习了特殊角304560的三角函数值，一些非特殊角(如175689等)的三角函数值又怎么求呢？,这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.,rldmm89898
11、89,1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：,（1）我们要用到科学计算器中的键：,sin,cos,tan,（2）按键顺序,如果锐角恰是整数度数时，以“求sin18”为例，按键顺序如下：,sin,18,sin18,0.309 016 994, sin18= 0.309 016 9940.31,rldmm8989889,1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：,如果锐角的度数是度、分形式时，以“求tan3036”为例，按键顺序如下：,方法一：,tan,30,36,tan3036,0.591 398 351, tan3036 = 0.591 398 3510.59,方法二：,先转化， 3036 =
12、30.6,后仿照 sin18的求法。,如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求解。,rldmm8989889,（3）完成引例中的求解：,tan,20,42,+1.6,19.608 080 89, AB = 19.608 080 8919.61m,即旗杆的高度是19.61m.,rldmm8989889,练习:,使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到0.01）,（1）sin20，cos70； sin35，cos55； sin1532，cos7428；,（2）tan38，tan802543；,（3）sin15+cos61tan76.,rldmm8989889,SHIFT,2,0,9,
13、17.30150783,4,sin,7,=,已知三角函数值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功能键“sin Cos，tan”键例如：已知sin0.2974,求锐角按健顺序为：,如果再按“度分秒健”就换算成度分秒，,即 17o185.43”,2、已知锐角的三角函数值，求锐角的度数：,rldmm8989889,例 根据下面的条件，求锐角的大小（精确到1） （1）sin=0.4511；（2）cos=0.7857； （3） tan=1.4036. 按键盘顺序如下:,2604851”,0,.,sin,1,1,5,=,4,SHIFT,即 2604851”,rldmm8989889,驶向胜利的彼岸,
14、练习:,1、已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：,（1）sinA=0.627 5，sinB=0.054 7； （2）cosA=0.625 2，cosB=0.165 9； （3）tanA=4.842 5，tanB=0.881 6.,rldmm8989889,2、已知tanA=3.1748，利用计算器求锐角A的度数。(精确到1),答案:A7252,练习:,3、已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确到1） （1）sin a=0.2476；（2）cos a=0.4；（3）tan a=0.1890.,答案: (1)1420;,(3)1042.,(2)6520;,rldmm8989889,A,B,O,R,
