《数值计算方法 教学课件 ppt 作者 刘玲 第6章 常微分方程数值解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算方法 教学课件 ppt 作者 刘玲 第6章 常微分方程数值解法（88页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第6章 常微分方程数值解法,目 录,6.1 初值问题的Euler方法 6.1.1 Euler方法 6.1.2 误差概述 6.1.3 数值稳定性分析 6.2 Runge-Kutta方法 6.2.1 二阶R-K方法 6.2.2 四阶R-K方法 6.2.3 R-K法的稳定性 6.2.4 一般显式单步法的收敛性 6.2.5 隐式R-K法,6.3 线性多步法 6.3.1 基于数值积分的方法 6.3.2 基于Taylor展开式的方法 6.4 一阶常微分方程组数值解法 6.5 常微分方程边值问题的数值解法 6.5.1 差分方程的建立 6.5.2 打靶法 6.6 MATLAB程序代码与算例,绪论,在工程和科
2、学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。,6.1 初值问题的Euler方法,6.1.1 Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,6.1.2 误差概述,误差概述,误差
3、概述,误差概述,6.1.3 数值稳定性分析,数值稳定性分析,定义6.1.3 若某数值算法的绝对稳定性区域包含h平面上的左半平面Re(h)0，则称该方法是A稳定的。 隐式Euler法是A稳定的。,6.2 Runge-Kutta方法,6.2.1 二阶R-K方法,Runge-Kutta方法,Runge-Kutta方法,Runge-Kutta方法,6.2.2 四阶R-K方法,四阶R-K方法,6.2.3 R-K法的稳定性,R-K法的稳定性,R-K法的稳定性,6.2.4一般显式单步法的收敛性,前面介绍了两大类微分方程数值解法：一类是用差商近似导数得到的尤拉系列公式，另一类是基于平均斜率概念的RungeKu
4、tta公式。基本思想都是通过某种离散化手续，将微分方程转化为差分方程（代数方程）来求解。 Q. 这种转化是否合理？要看差分问题的解yn当h0时是否收敛到微分方程的解y(xn),即是否成立 yn y(xn)， h0. -收敛性问题,收敛性,例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的 x = xi = i h ，有,显式单步法的收敛性,(1),而整体截断误差为,(2)-(1),得,从而,Euler法的收敛性 ： (x,y)=f(x,y),故当f(x,y)满足Lipschitz条件时，尤拉法收敛；, 稳定性,例：考察初值问题 在区间0, 0.5上的解。
5、 分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101,1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104,1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101,1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107,What is wrong ?!,6.2.5 隐式R-K法,隐式R-K法,隐式R-K法,隐式R-K法,隐式R-K法,6.
6、3 线形多步法,单步法主要依据yn的信息去计算yn+1。线性多步法是想依据yn，yn-1，yn-r(r1)的信息去计算yn+1。 考虑到线性组合较为方便，因此，线性多步法一般形式可设为,6.3.1 基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,Adams预估校正法 预估 校正 并取,6.3.2 基于Taylor展开式的方法,基于Taylor展开式的方法,基于Taylor展开式的方法,6.4 一阶常微分方程组数值解法,在许多实际问题中，常常出现高阶微分方程和高阶微分方程组，通过引入新的变量，总可化为一阶微分方程组。 由此可
7、知，讨论一阶常微分方程组的数值解法是很有意义的。,6.4.1 解一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K算法,一阶常微分方程组的R-K方法,6.4.2 刚性方程组,刚性方程组,刚性方程组,6.5 常微分方程边值问题的数值解法,设二阶线性常微分方程为 常见边界条件有三类：,6.5.1 差分方程的建立,差分方程的建立,差分方程的建立,差分方程的建立,算法,二阶常微分方程边值问题的差分算法,例题,例6.5.1 用差分法求解边值问题,例题,6.5.2 打靶法,2 阶常微分方程边值问题, 打靶法 /* shooting method */,先猜测一个初始斜率 y (a) = s，通过解初值问题,找出s*使得(s*) = ，即把问题转化为求方程 (s) = 0 的根。,每计算一个(s) 都必须解一个ODE.,
