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1、第3章 立体及交线 学习目标 1、了解平面立体，掌握平面立体三视图的绘制方法，并能确定表面任意点的投影。 2、理解曲面立体，掌握曲面立体三视图的绘制方法，并能确定表面任意点的投影。 3、掌握基本体的尺寸标注方法。 3.1基本几何体的投影 基本体是构成各种机件的基础，按其表面性质可分成平面立体和曲面立体。表面全部由平面围成的立体叫平面立体；表面由曲面或曲面和平面围成的立体叫曲面立体。 3.1.1平面立体 工程上常见的平面立体有棱柱、棱锥。既然平面立体是由若干个平面组成，因此，绘制平面立体三视图可归结为绘制各个表面的投影所得到的图形，即画出多边形的边和顶点的投影。 1棱柱 底面为正多边形的直棱柱叫
2、正棱柱。现已正六棱柱为例说明棱柱三视图的画法和表面取点、取线的作图方法。 立体的投影与立体对投影面的相对位置有关，在绘图前应注意这一点。为使作图简单、画图方便，通常是使立体上尽可能多的表面处于对投影面平行或垂直。如图3-1a所示的正六棱柱，底面与H面平行，有两个侧面与V平行，其余侧面及所有棱线均与H面垂直。,图3-1 正六棱柱及其三视图,正六棱柱的三视图 1） 视图分析 图3-1b为正六棱柱的三视图。俯视图为正六边形，它是棱柱顶面和底面重合的投影并反映实形 。六边形的边和顶点是六个侧面和棱线在H面的积聚性投影；主视图是三个矩形线框，中间的矩形线框是前、后侧面的重合投影，反映实形。左右两个矩形线
3、框是其余四个侧面的重合投影。主视图中上下两条线是顶面和底面的积聚性投影，另外四条铅垂线是六条棱线的投影；左视图是两个矩形线框，分别是左右四个侧面的重合投影，而矩形线框的左右两条边是前后两个侧面的积聚性投影。 2）作图方法 画正六棱柱的三视图时应从俯视图入手（反映实形），再根据投影关系和正六棱柱的高画出其它两个视图。,3）表面取点、取线 在立体表面取点和线的方法与在平面上取点和线的方法相同。点、线投影的可见性取决于所在面的投影的可见性。如图3-1b中，已知K点的正面投影k及M点的侧面投影（m“），求两点的其它投影。因k点可见，所以K点位于六棱柱的左前侧面上；而（m“）不可见，则M点位于右前侧面上
4、。又因两侧面的水平投影具有积聚性，故可根据积聚性投影，先求出该两点的水平投影k和m ，再按投影关系分别求出K点的侧面投影k“及M点的正面投影m，并判别投影的可见性。 在立体表面上取线的作图方法和取点的方法相同。作图时应注意，只有属于同一表面的点的同面投影才能直接连线。如图3-2所示，已知正六棱柱表面的线段KL和LM的正面投影kl和lm，求其它两面投影。由于KL的正面投影可见，故KL属于右前侧面上的线段，而LM的正面投影不可见，应属于右后侧面上的线段，根据水平投影有积聚性的特点，求出两线段的水平投影kl和lm，最后利用投影关系求出k“l“、l“m“。由于它们所在棱面的侧面投影均不可见，故它们的侧
5、面投影k“l“、l“m“也不可见，用虚线画出。,图3-2 正六棱柱表面取点,2棱锥 棱锥可看成由一个底面和若干个侧面组成且所有棱线汇交于顶点的平面立体。当棱锥底面为正多边形、各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。图3-3a所示为正三棱锥S-ABC的三面投影直观图。底面与H面平行，侧面SAC与侧立投影面垂直。,图3-3 正三棱锥的三视图,正三棱锥的三视图 1）视图分析 正三棱锥的三视图如图3-3b所示，由于其底面ABC是水平面，所以其投影abc反映实形，正面投影和侧面投影分别积聚为直线abc和a“（c“）b“。后侧面SAC为侧垂面，故其侧面投影积聚为直线s“a“（c“），水平投影sac和正面投
6、影sac均为类似形，前者可见，后者不可见。左、右两个侧面为一般位置平面，它们在三个投影面上的投影均为类似形。 2）作图方法 作图时应画出底面和顶点的三面投影，然后分别连棱线SA、SB、SC的同面投影，即完成三棱锥的三视图。,3）表面取点、取线 棱锥的表面可能是特殊位置平面，也可能是一般位置平面。对于特殊位置平面内点的投影可利用平面投影的积聚性作出，对于一般位置平面内点的投影，则可利用作辅助直线的方法求出。 如图3-4a所示，已知正三棱锥表面内点M的正面投影（m），求其它两面投影。因为M点的正面投影（m）不可见，故M点为侧面SAC内的点，可利用其侧面投影有积聚性的特点，先求出M点的侧面投影m“，
7、再利用投影关系求出其水平投影m。 又如图3-4a中，已知N点的正面投影n，求其水平投影n和侧面投影n“。,图3-4 正三棱锥表面取点、线,因为n可见，所以它是左前侧面SAB内的点。因此求N点的其它投影时，必须利用在平面内过N点作辅助直线的方法求出。在SAB侧面上作辅助直线有三种方法： 1）作过锥顶的直线：过N点和顶点S作连线SD为辅助直线，如图3-4a所示，此方法较为简单。 2）作平行线：如图3-4a所示，过N点作底边AB的平行线LN，此方法也较简单。 3）任意直线：过N点在SAB面上任作直线（图中未画出），此方法不常用。 若在棱锥表面上取线，可先求出端点的投影，再将端点的同面投影连接起来即可
8、。如图3-4b展示了在SAC面上取直线MK的作图方法，仅供参考。,3.1.2曲面立体 曲面立体中最为常见的是回转体，它是由一条母线（直线或曲线）围绕轴线回转一周所形成的表面，其中任意位置的母线称为素线。如圆柱、圆锥、圆球等，画曲面立体的投影就是画外形轮廓的投影，特别指出的是画回转体三视图时，轴线必须用细点划线清晰地画出。 1圆柱 圆柱由柱面、顶面、底面组成。 1）视图分析 图3-5a所示，当圆柱的轴线为铅锤线时，圆柱上的所有素线都是铅锤线，因此，圆柱面的水平投影积聚成一个圆，圆柱面上的点和线的水平投影都积聚在这个圆周上。圆柱的顶面和底面是水平面，它们的水平投影反映实形，也就是这个圆平面。 圆柱
9、的正面投影是矩形acc1a1, ac、a1 c1是圆柱上、下底面的积聚性投影；aa1、cc1是圆柱面最左、最右两素线(AA1、CC1，)的投影。这两条线称为轮廓索线，即圆柱前半部分(可见部分)与后半部分(不可见部分)的分界线。 圆柱的侧面投影是矩形d“ b“1 d“1b“, d“b“、b“1d“1是圆柱上、下底面的积聚性投影；b“b“1 、d“d“1是圆柱面最前、最后两条轮廓素线(BB1、DD1)的投影，即圆柱左半部分（可见部分)与右半部分(不可见部分)的分界线。 2）作图方法 画圆柱投影时应先用细点画线画出投影为圆的中心线和其他两面投影的轴线，然后画积聚为圆的那个投影，再画其他两面投影。 3
10、)圆柱表面取点、取线 如图3-5b所示，已知圆柱表面M和N点的正面投影m和(n),求其他两面投影。首先根据已知投影判断点在圆柱表面的位置。因m在轴线的左边，而且可见，故M点位于左前圆柱面上；(n)在轴线右边，且不可见，故N点位于右后圆柱面上。因圆柱面的水平投影有积聚性，所以先求出水平投影m和n，再根据投影关系求出m“和(n“)。,图35c表明在圆柱表面如何取线。已知圆柱面上的曲线EF的正面投影ef，求其他两面投影时，首先求出该线两端点的两面投影，然后求该线中间若干点的两面投影最后光滑连接并判断可见性。本图求出了中间点I、II的两面投影其中II点是该线和圆柱最前素线BB1的交点，对W面来说II是
11、该线可见与不可见的分界点，故该线位于右半圆柱面上的部分其侧面投影为虚线。,a) b) c) 图3-5 圆柱的三视图及表面去点、线,2圆锥 圆锥由圆锥面和底而围成。母线上任意一点随母线绕轴线旋转的轨迹都是圆，其大小随点在母线上的位置而变化(点离底面越近，则轨迹圆越大)。 1)视图分析 如图36a所示，当圆锥的轴线是铅垂线时，底面的正面投影、侧面投影分别积聚成直线，水平投影反映它的实形圆，中心线的交点为锥顶S的水平投影。 圆锥的正面投影是等腰三角形sac，它表示前、后圆锥面的投影，其中两个腰(sa、sc)是圆锥最左、最右两条轮廓素线的投影；也是前后圆锥面的分界线。因此该两素线是正平线，故投影反映此
12、素线的实长，三角形的底边是圆锥底面的积聚性投影。 圆锥的侧面投影是等腰三角形s“b“d“，它表示左右两个圆锥面的投影，其中两腰（s“b“、s“d“）是圆锥最前、最后两条轮廓素线的投影，也是左、右两个圆锥面的分界线。三角形的底边是圆锥底面的积聚性投影。 2）圆锥表面取点、线 在圆锥表面上取点，通常采用如图3-6b所示的两种方法：,b) 图3-6 圆锥的三视图,（I）辅助圆法：过圆锥表面上任意一点作平行于底面的圆，且该点的投影均位于此圆的同面投影上。例如，已知圆锥面上N点的正面投影n，求其它两面投影。先过n作水平线，交圆锥轮廓线于ef, ef即为辅助水平圆的直径，其水平投影为以s为圆心，以se或s
13、f为半径的圆，点n在该圆上。然后根据n和n 即可求出n“，并判断可见性。 （II）辅助素线法：过已知点和锥顶两点在圆锥表面上作一条素线，求该素线的各面投影，则已知点必在该素线的同面投影上。例如已知锥面上M点的正面投影m，求其它两面投影。连接sm并延长与圆锥底面的正面投影交与l，求出其水平投影sl，自m引投影连线交sl与m,则m即为M点的水平投影，根据投影关系求出m“。 如图3-7所示，已知圆锥面上过锥顶的直线段SA、曲线ABCD和直线DE的正面投影sabcde，求该线的其它两面投影。,图3-7 圆锥表面取线,圆锥表面取线的方法是先求出线上特殊位置点的投影后，在已知的投影上选取适量的一般位置点，
14、利用素线法或辅助平面法，求出这些点的水平投影和侧面投影，光滑连接各点的同面投影，并判断可见性，即可完成求作其他两面投影。 图中SA过锥顶，所以其三面投影都是直线，用辅助素线法可求得sa和s“a“。曲线ABCD上的点A求出后，再求出点B、C、D，其中B点位于圆锥侧面投影轮廓线上，点B的侧面投影必在圆锥面的侧面投影轮廓线上，由b直接求得b“。再由b和b求得b；C、D两点的水平投影可用辅助圆法求出，由c、d求得c、d，再由c、d和c、d求得c“、d“。de是一段水平线，故DE弧是圆锥面上平行于底圆的一段圆弧，其水平投影反映实形，侧面投影为一水平直线。 在连线时，应先判别可见性。圆锥面上三段线的正面投
15、影和水平投影均可见，所以水平投影sa、abcd、de均画成粗实线；侧面投影中，因E、C、D在左半锥面上可见，而点B是曲线侧面投影上可见与不可见的分界点，所以b“c“d“e“画成粗实线。点A在右半圆锥面上，其侧面投影a“不可见，所以s“a“及部分曲线a“b“画成虚线。 3圆球 圆母线以其任意一直径为轴线回转而形成的曲面称为圆球面，如图38a所示。母线上任一点的轨迹都是圆，其大小随点在母线上的位置而改变。 1)视图分析 如图3-8a、b所示，圆球的三个视图都是直径相等的圆。正面投影是圆球上最大的正平圆A的投影a；水平投影是圆球上最大的水平圆B的投影b；侧面投影是圆球上最大的侧平圆C的投影c“。这三
16、个圆分别是圆球相对于V、H和W面的转向线，即投影时圆球面可见与不可见两半球面的分界线。,图3-8 圆球的三视图,2）圆球表面上取点 在圆球表面上取点可利用辅助圆的方法。如图3-8c所示，已知球面上A点的水平投影（a），求出a、a“。 以O为圆心，o(a)为半径作辅助水平圆，此圆与前后分界圆交于l、2两点，自1、2作投影连线与正面投影的轮廓线交于两点1、2，连接1、2，则12是辅助水平圆的正面投影，利用投影关系求出a、a“。本题若改为已知(b)，则可以过(b)作一个辅助侧平圆，然后利用投影关系求出b“、b(见图38d)。,3.2 基本体的尺寸标注 标注基本体的尺寸时，应将长、宽、高这三个方向的尺寸标注齐全。 3.2.1平面立体的尺寸标注 棱柱、棱锥应标注决定底面大小和高度的尺寸（图3-9 a、b、c、d），棱台除注出前述尺
